第7讲·二次函数与一元二次方程 ·培优讲义 ·2026-2027学年人教版九年级数学上册

第7讲·二次函数与一元二次方程·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系 · 会用判别式判断抛物线与x轴交点的个数 · 能由图象求一元二次方程的解及不等式的解集 · 能求抛物线与直线、坐标轴的交点坐标 · 能综合运用二次函数与方程、不等式的知识解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根 Δ=b2-4ac>0：抛物线与x轴有两个交点（方程两个不等实根） Δ=0：抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上，方程两个相等实根） Δ<0：抛物线与x轴无交点（方程无实数根） 概念辨析例题：抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点个数是（　　） 答案：2个 解析：Δ=(-2)2-4×1×(-3)=4+12=16>0，抛物线与x轴有两个交点。也可由x2-2x-3=0解得x=-1或3。 ☆ 2.由图象求方程的解与不等式的解集 求方程ax2+bx+c=0的解：看抛物线与x轴交点的横坐标 求ax2+bx+c>0的解集：图象在x轴上方的部分对应的x范围 求ax2+bx+c<0的解集：图象在x轴下方的部分对应的x范围 抛物线与直线的交点横坐标即对应方程组的解 概念辨析例题：如图，抛物线与直线y=3交于横坐标为-1和2的两点，则ax2+bx+c=3的解是（　　） 答案：x=-1或x=2 解析：方程ax2+bx+c=3的解就是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=3交点横坐标，即-1和2。 ☆ 3.抛物线与直线及坐标轴的交点 与y轴交点：令x=0得y=c，交点(0,c) 与x轴交点：令y=0解方程，交点(x1,0)、(x2,0) 与直线y=kx+m的交点：联立方程组，消元得一元二次方程 交点坐标即方程组的解，联立后的判别式判断交点个数 概念辨析例题：抛物线y=x2+2x-3与y轴的交点坐标是（　　） 答案：(0,-3) 解析：令x=0，y=0+0-3=-3，与y轴交点(0,-3)。与y轴交点横坐标为0，纵坐标为常数项c。 ☆ 4.二次函数与一元二次方程的综合应用 由根求参数：已知方程根的情况（如根在区间），用判别式和根的范围列不等式 抛物线与线段只有一个公共点：考虑端点和相切情形 表格对应值估算根：看函数值变号区间 实际应用（如抛球、滑行）中，落地、落地时即函数值取0 概念辨析例题：若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　） 答案：m≤1 解析：图象与x轴有交点即Δ≥0：(-2)2-4×1×m=4-4m≥0，解得m≤1。注意有交点含相切情形，取等号。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 根与交点 方程根=交点横坐标 令y=0即得 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0两交点、=0一交点、<0无交点 与y轴交点 (0,c) 令x=0 解不等式 图象在x轴上方(下)方 对应>0(<0)解集 与直线交点 联立方程组 消元后判别式定个数 有交点条件 Δ≥0 相切时Δ=0 ⚠️ 核心考点 【考点1】图象信息与系数判断（第1-10题） · 由图象读a、b、c符号：a看开口、c看截距、b看对称轴 · a+b+c=f(1)、a-b+c=f(-1)，利用图象上的点判断 · 多结论判断题逐一验证，排除法最有效 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．①由抛物线的开口方向，可得的符号；②抛物线与轴交点的位置、对称轴、的符号即可确定、的符号，即得的符号；③由抛物线与轴有两个交点判断即可；④由对称轴，，可得． 【详解】解：①由开口向下，可得，故①正确； ②又由抛物线与轴交于正半轴，可得，然后由对称轴在轴左侧，得到与同号，则可得，，故②错误； ③由抛物线与轴有两个交点，可得，故③正确； ④抛物线对称轴，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有2个． 故选：B． 2．（25-26九年级上·海南·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标是 C．与y轴交点是 D．当时，y随x增大而增大 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数顶点式，分析a的符号判断开口方向，顶点坐标，与y轴交点求时的y值，以及对称轴两侧的增减性． 【详解】解：∵二次函数为， ∴，开口向上，故A错误； 顶点坐标为，故B错误； 当时，，与y轴交点为，故C错误； ∵对称轴为，且， ∴当时，y随x增大而增大，故D正确， 故选：D． 3．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（    ） A． B．图象与x轴的负半轴交于点 C．函数的最大值为 D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】由抛物线开口方向，与y轴交点坐标和对称轴公式求出，，，然后逐项判断即可． 【详解】解：由图象得，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，故A正确； 由图象得，抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的负半轴交于点，故B正确； 由图象得，抛物线开口向下， ∴， ∴当时，函数的最大值为，故C正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故D错误．符合题意. 4．（2026·陕西西安·模拟预测）关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 【答案】B 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】把代入计算，得出，故该抛物线一定经过点；对于选项，将抛物线解析式化为顶点式，求顶点纵坐标关于的表达式的最小值；对于选项，利用抛物线对称性，由点和求出对称轴，进而求的值；先得出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点的横坐标，再列式计算，即可作答． 【详解】解：将代入抛物线解析式，得， ∴该抛物线一定经过点， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴顶点纵坐标为， ∵， ∴顶点纵坐标的最小值为，不是， 故B选项符合题意； ∵点和纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为直线， 又抛物线对称轴为， ∴， 得， 故C选项不符合题意； 当时，抛物线解析式为， 令，得， 解得，， 即两个交点之间的距离为， 故D选项不符合题意． 5．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数下列叙述正确的是（   ） A．图象开口向上 B．图象与轴只有一个交点 C．当，随的增大而减小 D．当时，有最大值 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算二次函数的对称轴、判别式和特定点的函数值，判断各选项的正误． 【详解】解：二次函数，其中，，， ∵ ∴抛物线开口向下，A选项说法错误； ∵， 故抛物线与轴无交点，B选项说法错误； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴当时随增大而增大，当时随增大而减小，故C选项说法错误； ∵当时，，且抛物线的对称轴为直线，， 故抛物线有最大值，最大值为，故D选项说法正确． 故选：D． 6．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．关于x的一元二次方程的两个根是， D．（x为任意实数） 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，，对称轴为直线，则，，可判断B的正误；当时，，则，可判断A的正误；由题意知，关于x的一元二次方程的两个根是，，可判断C的正误；当时，，则，可判断D的正误． 【详解】解：由题意知，，对称轴为直线， ∴， ∴，B错误，故符合要求； 当时，， ∴，A正确，故不符合要求； 由题意知，关于x的一元二次方程的两个根是，，C正确，故不符合要求； 当时，， ∴，D正确，故不符合要求； 故选：B． 7．（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）已知抛物线，且，，下列结论：①，②，③抛物线与轴正半轴必有一个交点，④当时， ，⑤抛物线与直线，有一个交点，其中正确结论的个数有（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】由题意得：，，则，进而可判断①②；当时，，当时，，根据抛物线的开口向上，则可判断③；由题意知抛物线的对称轴为直线，则当时，随x的增大而增大，进而可得当时，有最小值，进而可判断④；联立抛物线及直线，得，利用判别式可得，进而可判断⑤． 【详解】解：，， 两式相减得：，两式相加得， ， ，，， ，故①正确； ，故②正确； 当时，，当时，，且抛物线的开口向上， 当时，则方程的两个根一个小于，一个根大于1，故③正确； 由题意知抛物线的对称轴为直线， 当时，随x的增大而增大， 当时，有最小值，为：，故④正确； 联立抛物线及直线， 可得： ， 整理得：， ， 该抛物线与直线有两个交点，故⑤错误， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程、二次函数的最值，综合性较强，灵活运用二次函数的相关知识是解题的关键． 8．（24-25九年级上·山东临沂·阶段检测）抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图，则下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）．⑥若，是抛物线上两点，则，正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点问题．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， ，，， ，故①正确， 该函数图象与轴两个交点，则，即，故②正确， 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间， 与轴的另一个交点在和之间， 当时，，故③错误， ，得， 当时，，得，故④正确， 当时，取得最大值， ，即（为任意实数），故⑤正确， ∵，又开口向下， ∴，故⑥不正确， 故选：A． 9．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，抛物线（，，，为常数）的顶点坐标为，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了抛物线与直线的交点问题，解题的关键是将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题． 将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此分析解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线与直线有交点， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知二次函数，下列五个结论：①对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点和两点；②该函数图象与x轴一定有交点；③若，当时，y随x的增大而减小；④若a为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标都为整数，那么；⑤若，则关于x的方程的根有4个，其中正确的是__________．（只需填写序号） 【答案】①②③④⑤ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键：对于结论①，将点和代入函数解析式，验证是否成立；对于结论②，由于函数必过点，因此与x轴至少有一个交点；对于结论③，时函数开口向上，求对称轴并比较与的关系；对于结论④，利用根与系数的关系，结合整数条件分析；对于结论⑤，图象法进行判断即可． 【详解】解：①当时，； 当时，； ∴对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点和两点；故①正确； ②由①可知，函数图象必经过点，故该函数图象与x轴一定有交点；故②正确； ③当时，抛物线的开口向上， ∵， ∴对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；故③正确； ④由①可知，该二次函数的图象与x轴的一个交点为， 当时，方程的一个根为，设另一个根为， 则：， ∴， ∵为整数，也为整数， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，；符合题意； 故；故④正确； ⑤当时，抛物线的开口向下，对称轴为直线， 由①知：抛物线过点， ∴抛物线上存在另一个点纵坐标为1，且抛物线上一定存在2个点，点的纵坐标为， ∴与直线和直线均有2个交点， 即：关于x的方程的根有4个；故⑤正确； 故答案为：①②③④⑤． 【考点2】抛物线与x轴的交点及方程的解（第11-16题） · 令y=0解方程求交点横坐标 · 由图象读交点横坐标直接写方程的解 · 由交点与对称轴关系求另一交点坐标（x1+x2=-） 11．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图抛物线，则关于x的方程的解是（　　）    A．无解 B． C． D． 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】令，根据函数图象得函数图象与x轴相交于，，即可得． 【详解】解：令，根据函数图象得函数图象与x轴相交于，， 则的解是， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程． 12．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知方程的两个解满足，则抛物线的对称轴为直线______． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线与轴的交点求对称轴是解题的关键．若抛物线与轴的交点为和，则其对称轴为直线，即可得解． 【详解】解：依题意，抛物线与轴的交点为和， 对称轴为直线，即， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为 __________． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；由题意易得二次函数的对称轴为直线，然后问题可求解． 【详解】解：由抛物线可知对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴此抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴此抛物线与x轴的另一个交点坐标为； 故答案为． 14．（22-23九年级上·广东肇庆·期中）二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 15．（24-25九年级上·天津·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______． 【答案】 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与x轴两交点的横坐标为一元二次方程的两个根，是解题的关键． 根据二次函数图象与x轴的交点得方程的两个根为． 【详解】∵二次函数的图象与x轴交于 ，两点， ∴关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 16．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】将不等式变形为，结合函数图像，找出抛物线在直线下方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线与直线交于，两点， 当或时，， 观察函数图像可知，当时，抛物线的图像在直线的下方， 不等式的解集为． 【考点3】判别式与交点个数（第17-20题） · Δ>0两交点、Δ=0一交点、Δ<0无交点 · 顶点在x轴上⇔Δ=0 · 由交点个数列不等式（组）求参数范围 17．（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中）已知二次函数的图象的顶点在x轴上，则m的值是 ___________． 【答案】6或/或6 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象顶点在x轴上时，顶点的纵坐标是0． 先整理得对称轴为直线，再根据二次函数的图象的顶点在x轴上，把代入进行求解，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵二次函数的图象的顶点在x轴上， ∴该函数顶点的纵坐标为0， ∴把代入， 得， 整理得， ∴， 解得，， 故答案为：6或． 18．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知二次函数（是常数且），若该函数的图象与轴只有一个公共点，则的值为______． 【答案】/ 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，根据二次函数图象与轴只有一个公共点，则判别式，然后求解的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴只有一个公共点， ∴， ， 解得：， 故答案为：． 19．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数（m是常数），求证：该二次函数的图象与x轴始终有交点． 【答案】 证明：∵抛物线为， ∴ ． ∵对于任意的m都有， ∴该二次函数的图象与x轴始终有交点． 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，一元二次方程根的判别式．解题的关键在于对知识的灵活运用．由题意得一元二次方程，判断根的判别式与的大小即可． 【详解】略 20．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知二次函数(是常数)，求证：无论为何值，该二次函数的图象与轴总有两个交点． 【答案】 对于二次函数，对应的一元二次方程为． ∵此方程中，，， ∴判别式， 即恒成立． ∴无论为何值，一元二次方程总有两个不相等的实数根， ∴该二次函数的图象与轴总有两个交点． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，核心知识点是利用一元二次方程根的判别式判断交点个数．二次函数图象与轴的交点个数对应其对应的一元二次方程的实数根个数，要证明总有两个交点，只需证明对应方程的判别式恒成立． 【详解】略 【考点4】与直线交点及不等式（第21-26题） · 联立方程组求交点坐标，判别式判断交点个数 · 看图解不等式：图象在上方（下方）对应x的范围 · 注意交点横坐标是解集的边界 21．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，则方程的解是_____． 【答案】， 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键． 根据抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 22．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）函数的图象与函数的图象交于，两点，若，则当时自变量的取值范围是_____． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数和不等式的关系．先根据直线的性质及方程和函数的关系求出交点的横坐标，现利用函数和不等式的关系求解． 【详解】解：设，两点的横坐标分别为，，作轴，轴，两线相交于点，设函数的图象分别交坐标轴于点， 对于，则点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，是方程的两个根， 即方程的两个根， ∴， 解得，， 观察图象，当时自变量的取值范围是或， 故答案为：或． 23．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则m的取值范围是．其中正确结论的有________． 【答案】②③⑤ 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据开口方向、对称轴可判断a、b的正负及其关系可判定①③；由函数对称性可知当时，函数值等于零，据此可判定②；由于抛物线与x轴有两个交点，其对应方程由两个不等的实数根，由根的判别式可判定④；根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴， ∴，即①错误； ∴，即③正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴当时，， ∵对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等， ∴时，，即，即②正确； ∵二次函数图象与轴有两个交点，则，即，故④错误； ∵对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等， ∴ ∵，是抛物线上两点，且， ，故⑤正确． 故正确的是②③⑤． 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系、二次函数与一元一次不等式、根据图象判断方程的根的情况、二次函数的对称性等知识点，掌握二次根式图象的性质是解题的关键． 24．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查函数图象的应用， 画出的图象，分别画出经过、的图象，然后然后数形结合即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根， ∴与有4个交点， ∵中，当即时，， ∴经过定点， 对于，当时，， 当时，，解得， ∴与y轴交于，与x轴交于，， 当经过时，如图， 则，解得， ∴， 此时与有3个交点， 当经过时，如图， 则， 解得， ∴， 此时与有3个交点， 观察图象发现：当时，与有4个交点， 故答案为：． 25．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，直线经过点和，与抛物线在第三象限内交于点的面积为1． (1)求抛物线解析式和直线解析式： (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）先把代入直线，得到直线解析式为，再设点的坐标为，结合的面积为1，求出点，再代入二次函数得到解析式即可； （2）设直线与二次函数交于另一点，联立得到点，再结合图像写解集即可． 【详解】（1）把代入得，， 解得， 直线解析式为； 设点的坐标为，则， 解得， 点的坐标为， 把代入得，， 抛物线解析式； （2）设直线与二次函数交于另一点， ，即， 解得或， ， 又，即直线图像要在二次函数图像上方， 所以不等式的解集为或． 26．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线交与x轴于A、B两点，交y轴于点C． (1)A点坐标为 ，B点坐标为 ； (2)抛物线的顶点坐标是 ； (3)当时，求y的取值范围； (4)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)； (4)或． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，求二次函数的顶点坐标，求二次函数函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当时，x的值即可求出A、B的坐标； （2）把解析式化为顶点式即可求出顶点的坐标； （3）先根据解析式求出当时，函数有最大值4，再分别求出和时的函数值即可得到答案； （4）求得时，x的值；时，x的值，根据函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，则， 解得或， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标是； 故答案为：； （3）解：∵， ∴当时，函数有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是； （4）解：在中，当时，则，即， 解得或， 当时，则， 解得或， ∴当时，x的取值范围是或． 【考点5】综合应用（第27-36题） · 由根的情况或交点条件列不等式求参数 · 表格估算根：找函数值变号的相邻x值 · 实际应用（抛球、滑行等）中令函数值取0求落地时间等 27．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表所示，设方程的一个根为m，则m的取值范围可能是（     ） x … 1 … y … … A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一元二次方程的解的估算 【分析】通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间；当函数值由负变正时，对应区间内必有一根． 【详解】解：当时，， 当时，， 在到之间，函数值由负变正， 故方程的一个根m在至的范围内． 28．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．一元二次方程有实数根 D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由图象开口方向判断出a，由对称轴得出b，抛物线与y轴的交点判断c，抛物线与x轴的交点的个数确定，再结合的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可求解． 【详解】解：抛物线顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 抛物线与轴的一个交点在点和之间， 当时，，即，故A选项错误，不符合题意； 抛物线顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， ， ，故B选项正确，符合题意； 抛物线的开口向下， 抛物线的最大值为， 直线与抛物线没有交点， 一元二次方程没有实数根，故C选项错误，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线，即， ， 时，， ，即，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 29．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数与轴的交点问题、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，由二次函数的图象得出、、，即可判断①；由二次函数与轴有两个交点得出，结合，即可判断②；求出，代入抛物线解析式得出，即可判断③；解一元二次方程即可判断④，从而得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ，故①正确，符合题意； 抛物线与轴有两个交点， ， ， ，故②错误，不符合题意； 在中，当时，， ， ， ， 把代入得：， ，故③正确，符合题意； ， ， ， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共个， 故选：B． 30．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，且点在点的左侧，其中，．有下列结论： ①；②；③若，则； ④关于的一元二次方程无实根； ⑤点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，都有，则． 以上结论正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】由M、N两点可得出对称轴为直线，进而根据所给图像可以画出抛物线草图，即可判断①；根据对称轴可得到，进而代入特殊值得到，即可判断②；根据，即可判断③；将有无实根问题转化为和交点问题，即可判断④；由图像可知，当开口向上时，离对称轴越近，则越小，所以点或点有一个在顶点时，取最小值，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，且， ∴对称轴为直线， 抛物线草图如图， ∴，， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线， ∴， 由图像易得，当时，，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故③正确； 将可写成， ∴的实根可以看成和交点问题， ∵， ∴， ∴抛物线和直线有两个交点，即有两个不相等的实数根，故④错误； ∵， ∴两点的水平距离恒定为2， 由图像可知，当开口向上时，离对称轴越近，则越小， ∵总有， ∴点或点在顶点处时为临界点， 如在顶点，则时，或时，有最小值， ∴， ∴， ∴，故⑤正确． 综上，正确的有4个． 31．（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）能使分式方程有非负实数解，且使二次函数的图象与轴交点在原点的上方的的取值范围是______ ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、根据分式方程解的情况求值、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题综合考查了分式方程和抛物线与坐标轴的交点问题，对于分式方程求字母系数问题，先解方程，根据解的情况列不等式，要注意分母不为时的情况，结合抛物线与轴交点在原点上方，从而得的范围． 【详解】解：由题意，分式方程有非负实数解， 且． 且． 又二次函数的图象与轴交点在原点的上方， ∴当时，， ． 故答案为：． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【答案】4 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 33．（26-27九年级上·全国·单元测试）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为______________s．（结果取整数） 【答案】2 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】物体落回地面时离地高度为0，据此列方程求解，舍去不符合实际意义的解，结果取整数即可． 【详解】解：物体落回地面时，离地高度为0，可得方程 提取公因式得 解得或 ∵是物体抛出的初始时刻，不符合落回地面的要求，题目要求结果取整数， ∴ 即该物体落回地面所需要的时间约为． 34．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段检测）无论取任何实数，代数式都有意义，则的最大值为_____________． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次根式有意义的条件，根的判别式，熟练掌握条件是解题的关键． 令，根据题意，得，解答即可． 【详解】解：令， ∵无论取任何实数，代数式都有意义， ∴， ∴的判别式 解得， ∴的最大值为． 故答案为：． 35．（23-24九年级上·北京·阶段检测）如图，一条抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动，点的坐标分别为，点的横坐标的最大值为4，则点的横坐标的最小值为_______．    【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】根据题意可知当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在点A时，点M的横坐标最小，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 【详解】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4， 则此时抛物线的解析式为． 把点N的坐标代入得，解得． 当图象顶点在点A时，点M的横坐标最小， 此时抛物线的解析式为． 令，则或1， 即点M的横坐标的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点B时，点N的横坐标最大；当图象顶点在点A时，点M的横坐标最小． 36．（2024·江苏泰州·三模）规定：若关于x的二次函数与同时满足，且，则称函数与函数互为“反序对称”函数．根据以上规定，解答下列问题： (1)已知关于x的二次函数，写出它的“反序对称”函数______； (2)对于任意非零实数m，n，已知点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“反序对称”函数． ①函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； ②若直线在x轴的下方，求直线与x轴间距离的最大值． 【答案】(1) (2)①是过两个定点，，；② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）根据题意得到，，，即可求解； （2）①求出函数的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②由点的坐标特征得到轴，将点的坐标代入函数表达式得即可得到答案． 【详解】（1）解：根据定义， 二次函数的“反序对称”函数为． （2）解：①是过两个定点， ∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动， 函数的对称轴为． ， 令， 解得或， ∴过函数图象过定点，， ∴函数的图像过定点， ②点与点可知，轴， 将代入得 ， ， 即直线与x轴间距离的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及新定义函数、函数过定点、函数的图象与性质，解题的关键是理解题意并掌握二次函数的性质及新定义函数． 【考点6】求解析式与交点坐标（第37-45题） · 按已知条件选一般式、顶点式、交点式求解析式 · 求交点坐标：令y=0或联立方程组 · 综合探究题按步骤书写，注意数形结合 37．（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 【答案】 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组即可． 【详解】解：联立方程组， 解得， ∴二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． 38．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线过点和点．抛物线的对称轴为直线． (1)当时，比较的大小； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解不等式组，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据可得抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，据此即可解答； （2）同理，根据抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，列得，计算即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上， ∵点和点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴； （2）解：∵抛物线开口向上，且，都有， ∴点在对称轴的左侧，点在对称轴上或对称轴的右侧，点在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，大于点到对称轴的距离， ∴，解得， ∴的取值范围是． 39．（24-25九年级上·浙江·期末）已知二次函数 （ 为常数） 的图象经过点 和 ．    (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标 为 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，根据函数值求自变量的取值范围等等： （1）利用待定系数法求出解析式，再把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）求出函数值为3时自变量的值，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入到中得， ∴， ∴二次函数表达式为，即， ∴顶点坐标 为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴由函数图象可知，当时，的取值范围为． 40．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线交x轴正半轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，连接，．若的面积为3． (1)求抛物线的解析式． (2)不等式的解集为______． 【答案】(1) (2)且 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次不等式的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法． （1）分别令求出点A、B、C的坐标分别为，再根据的面积求出，继而求出函数解析式； （2）的解集化为和的解集的公共部分，借助图象法求解即可． 【详解】（1）解：由题意，令， 或3． 令，则， 点A、B、C的坐标分别为． 又， 解得：． 抛物线的表达式为：． （2）解：不等式即为：， ∴当，则， ∴， ∴， 当时，可知抛物线与轴交点横坐标分别为， 而抛物线开口向上， ∴的解集为， ∴的解集为：且， 故答案为：且． 41．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数的顶点为． (1)求二次函数的解析式及图象与x轴交于A、B两点的坐标； (2)将二次函数的图象沿x轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式． 【答案】(1); (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的图象与x轴的交点坐标，轴对称变换，熟练掌握二次函数解析式的顶点式为解题的关键． （1）直接利用顶点坐标得出二次函数解析式，进而可求出图象轴坐标； （2）利用轴对称点的坐标性质得出新的抛物线的顶点坐标，进而得出新的抛物线解析式． 【详解】（1）二次函数的顶点为， 二次函数的解析式为：， 当，则， 解得， A、B两点的坐标为：； （2）由题可知，新的抛物线顶点坐标为，， 新的抛物线的解析式为：． 42．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线过点． (1)求抛物线的函数解析式及顶点坐标； (2)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了求抛物线解析式、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点等知识点，正确求出抛物线的解析式是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，然后将已知点代入求出解析式，然后再化成顶点式即可解答； （2）由抛物线与x轴的交点为，再结合抛物线开口向上，当时，对应图像是抛物线在x轴上方的部分即为x的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为,则： ，解得： ∴， ∴所求抛物线的函数解析式为， ∴顶点坐标为． （2）解：由抛物线与x轴的交点为， 又∵抛物线， ∴开口向上， ∴当时，对应图象是抛物线在x轴上方的部分， ∴或． 43．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数． (1)这个二次函数图象与轴交点坐标为__________，这个二次函数图象的最低点的坐标为__________； (2)当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)与；． (2)． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）直接令，求出的解，即可知道二次函数图象与轴交点坐标；再将二次函数化为顶点式，即可知道最低点的坐标； （2）通过判断二次函数的开口以及对称轴，再利用二次函数的基本性质即可求解； 【详解】（1）解：∵二次函数． ∴当时，，解得， 故二次函数图象与轴交点坐标为与 ∵二次函数． ∴二次函数图象的最低点的坐标为， 故答案为与，． （2）∵二次函数． ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为， ∴当离对称轴越近，二次函数值越小；离对称轴越远，二次函数值越大； 当时，由于，，， ∴在时，函数值最大，，但是不能取到， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 44．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）抛物线的顶点坐标为，并经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是能熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）设二次函数的解析式为顶点式，将顶点坐标及任一点代入求出即可； （2）根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为, 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即； （2）解：∵，且函数开口向下，抛物线顶点坐标为， ∴当时，函数值最大，此时； 当时，函数值最小，此时； ∴当时，函数值的取值范围是． 45．（23-24九年级下·广东珠海·阶段检测）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，过点P作轴交x轴于点D，交直线于点，连接，，，与直线交于点F．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)当的面积等于面积的时，求点P的坐标； (3)抛物线上是否存在点P使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为 (3)存在点P使，点的坐标为 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）对于函数，分别令，求，，三点的坐标，利用待定系数法求直线的函数表达式； （2）由想到构造三角形相似，通过对应边成比例建立方程求点； （3）通过推理得到，则，通过对应边成比例建立方程求点． 【详解】（1）解：当时，， ， 令得或， ，， ，，； （2）设直线为，代入得， ， ∴直线的函数表达式为， 过作轴交于点，     轴， ， ，， ， ， ， ， 设，， ， ，， ， ， 或， ， ， 点的坐标为； （3）存在点使，点的坐标为，理由如下： 连接， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或， ， ， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形面积，两角和为，用到了三角形相似和方程思想．对于（2），由想到构造三角形相似是关键，对于（3），一般是寻找或构造角和角相等． 💯 课后巩固 复习建议 · 抛物线与x轴交点横坐标即一元二次方程的根，令y=0 · 判别式定交点个数：Δ>0两个、=0一个、<0无 · 看图解不等式：图象在上（下）方对应解集 · 与直线交点联立方程组求解 · 综合题先求解析式，再数形结合逐问求解 【作业1】．（24-25九年级上·云南普洱·期末）已知二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由题意知，，，，则，进而可判断A、C的正误；根据抛物线与x轴的交点个数，即可判断B正误；当，，则，可判断D的正误． 【详解】解：由题意知，，，， ∴，即， ∴，故A、C错误，不符合要求； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，有两个解， ∴，即，故B错误，不符合题意； 当，， ∴，故D正确，符合题意． 故选：D． 【作业2】．（23-24九年级上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴只有一个交点，则k的值可能为（　　） A． B． C． D．0 【答案】D 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【分析】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程的判别式．根据二次函数与一元二次方程的关系可得，不能有两个不等的实数根，即，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与坐标轴只有一个交点， ∴， 解得， 故选：D． 【作业3】．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，则关于的方程的解是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，根据抛物线与轴交于点，得出令，即，解得，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴令，即，解得， ∴关于的方程的解是， 故选：C 【作业4】．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况．由抛物线对称轴求出b，将方程转化为抛物线与水平线的交点问题，根据在给定区间内有两个不等实根的条件，确定的范围，进而得到t的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴， ∴， 即， ∴， ∴抛物线为， 方程可化为， 即函数与在内有两个交点， 当时，， 当时，， 当时，， ∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根， ∴需满足， 即， 故选：D． 【作业5】．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式、根据交点确定不等式的解集 【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 【作业6】．（25-26九年级上·上海·期中）二次函数的图像与x轴的交点坐标是______． 【答案】和 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，要求二次函数与轴的交点，即要，得到关于的方程来求解． 令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标． 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案是：和． 【作业7】．（22-23九年级下·江苏泰州·阶段检测）二次函数的图像与x轴的公共点的个数为______． 【答案】1 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∴二次函数的图像与轴的公共点的个数为1． 【作业8】．（24-25九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键．根据图像即可得出时，抛物线的图像在直线的下方，即可得出x的取值范围． 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是． 故答案为：． 【作业9】．（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）若二次函数的图像与y轴的交点坐标为，则该函数图像与x轴的交点坐标为______． 【答案】或 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点问题，解题的关键是求出函数解析式． 先根据抛物线与y轴的交点坐标求出，得到函数解析式，再令，求出函数图像与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵二次函数的图像与y轴的交点坐标为， ∴， ∴解析式为， 当时，， 解得或， ∴该函数图像与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 【作业10】．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】图象法解一元二次不等式、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围． 【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点， ∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即， 根据图象可知，当时，， 故答案为：． 【作业11】．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 【作业12】．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 【答案】(1) (2)、 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，理解并掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）设抛物线的解析式为，把点代入解析式中可求得a的值，从而确定函数解析式； （2）当时，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 即， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，即， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 【作业13】．（23-24九年级上·广西贺州·期中）当x为何值时，函数的值等于0？ 【答案】1或3 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了求二次函数的自变量的值．令，可得，利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：当时，， ， 解得或， 所以当或时，函数的值等于0． 【作业14】．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数（是常数）． (1)若该函数的图像的对称轴为直线，求的值． (2)求证：不论为何值，该函数图像与轴没有公共点． 【答案】(1) (2) 证明：∵二次函数 ∴ ∴不论为何值，该函数图像与轴没有公共点． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握判别式与函数图像与轴交点的关系是解题的关键． （1）根据题意得到对称轴为，即可求出m的值； （2）根据题意计算判别式，即可证明． 【详解】（1）∵二次函数，对称轴为直线， ∴对称轴为， 解得； （2）略 【作业15】．（25-26九年级上·陕西延安·阶段检测）已知二次函数的解析式为，求该二次函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】和 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，将与x轴交点的问题转化为一元二次方程是解答本题的关键． 令得到，然后解方程即可确定与x轴的交点的坐标． 【详解】解：令得到， 解得，． ∴与x轴的交点坐标为和． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲·二次函数与一元二次方程·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系 · 会用判别式判断抛物线与x轴交点的个数 · 能由图象求一元二次方程的解及不等式的解集 · 能求抛物线与直线、坐标轴的交点坐标 · 能综合运用二次函数与方程、不等式的知识解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根 Δ=b2-4ac>0：抛物线与x轴有两个交点（方程两个不等实根） Δ=0：抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上，方程两个相等实根） Δ<0：抛物线与x轴无交点（方程无实数根） 概念辨析例题：抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点个数是（　　） 答案：2个 解析：Δ=(-2)2-4×1×(-3)=4+12=16>0，抛物线与x轴有两个交点。也可由x2-2x-3=0解得x=-1或3。 ☆ 2.由图象求方程的解与不等式的解集 求方程ax2+bx+c=0的解：看抛物线与x轴交点的横坐标 求ax2+bx+c>0的解集：图象在x轴上方的部分对应的x范围 求ax2+bx+c<0的解集：图象在x轴下方的部分对应的x范围 抛物线与直线的交点横坐标即对应方程组的解 概念辨析例题：如图，抛物线与直线y=3交于横坐标为-1和2的两点，则ax2+bx+c=3的解是（　　） 答案：x=-1或x=2 解析：方程ax2+bx+c=3的解就是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=3交点横坐标，即-1和2。 ☆ 3.抛物线与直线及坐标轴的交点 与y轴交点：令x=0得y=c，交点(0,c) 与x轴交点：令y=0解方程，交点(x1,0)、(x2,0) 与直线y=kx+m的交点：联立方程组，消元得一元二次方程 交点坐标即方程组的解，联立后的判别式判断交点个数 概念辨析例题：抛物线y=x2+2x-3与y轴的交点坐标是（　　） 答案：(0,-3) 解析：令x=0，y=0+0-3=-3，与y轴交点(0,-3)。与y轴交点横坐标为0，纵坐标为常数项c。 ☆ 4.二次函数与一元二次方程的综合应用 由根求参数：已知方程根的情况（如根在区间），用判别式和根的范围列不等式 抛物线与线段只有一个公共点：考虑端点和相切情形 表格对应值估算根：看函数值变号区间 实际应用（如抛球、滑行）中，落地、落地时即函数值取0 概念辨析例题：若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　） 答案：m≤1 解析：图象与x轴有交点即Δ≥0：(-2)2-4×1×m=4-4m≥0，解得m≤1。注意有交点含相切情形，取等号。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 根与交点 方程根=交点横坐标 令y=0即得 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0两交点、=0一交点、<0无交点 与y轴交点 (0,c) 令x=0 解不等式 图象在x轴上方(下)方 对应>0(<0)解集 与直线交点 联立方程组 消元后判别式定个数 有交点条件 Δ≥0 相切时Δ=0 ⚠️ 核心考点 【考点1】图象信息与系数判断（第1-10题） · 由图象读a、b、c符号：a看开口、c看截距、b看对称轴 · a+b+c=f(1)、a-b+c=f(-1)，利用图象上的点判断 · 多结论判断题逐一验证，排除法最有效 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·海南·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标是 C．与y轴交点是 D．当时，y随x增大而增大 3．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（    ） A． B．图象与x轴的负半轴交于点 C．函数的最大值为 D． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 5．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数下列叙述正确的是（   ） A．图象开口向上 B．图象与轴只有一个交点 C．当，随的增大而减小 D．当时，有最大值 6．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．关于x的一元二次方程的两个根是， D．（x为任意实数） 7．（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）已知抛物线，且，，下列结论：①，②，③抛物线与轴正半轴必有一个交点，④当时， ，⑤抛物线与直线，有一个交点，其中正确结论的个数有（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（24-25九年级上·山东临沂·阶段检测）抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图，则下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）．⑥若，是抛物线上两点，则，正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．5 9．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，抛物线（，，，为常数）的顶点坐标为，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知二次函数，下列五个结论：①对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点和两点；②该函数图象与x轴一定有交点；③若，当时，y随x的增大而减小；④若a为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标都为整数，那么；⑤若，则关于x的方程的根有4个，其中正确的是__________．（只需填写序号） 【考点2】抛物线与x轴的交点及方程的解（第11-16题） · 令y=0解方程求交点横坐标 · 由图象读交点横坐标直接写方程的解 · 由交点与对称轴关系求另一交点坐标（x1+x2=-） 11．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图抛物线，则关于x的方程的解是（　　）    A．无解 B． C． D． 12．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知方程的两个解满足，则抛物线的对称轴为直线______． 13．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为 __________． 14．（22-23九年级上·广东肇庆·期中）二次函数的图象与轴交点坐标是________． 15．（24-25九年级上·天津·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______． 16．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 【考点3】判别式与交点个数（第17-20题） · Δ>0两交点、Δ=0一交点、Δ<0无交点 · 顶点在x轴上⇔Δ=0 · 由交点个数列不等式（组）求参数范围 17．（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中）已知二次函数的图象的顶点在x轴上，则m的值是 ___________． 18．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知二次函数（是常数且），若该函数的图象与轴只有一个公共点，则的值为______． 19．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数（m是常数），求证：该二次函数的图象与x轴始终有交点． 20．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知二次函数(是常数)，求证：无论为何值，该二次函数的图象与轴总有两个交点． 【考点4】与直线交点及不等式（第21-26题） · 联立方程组求交点坐标，判别式判断交点个数 · 看图解不等式：图象在上方（下方）对应x的范围 · 注意交点横坐标是解集的边界 21．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，则方程的解是_____． 22．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）函数的图象与函数的图象交于，两点，若，则当时自变量的取值范围是_____． 23．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则m的取值范围是．其中正确结论的有________． 24．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 25．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，直线经过点和，与抛物线在第三象限内交于点的面积为1． (1)求抛物线解析式和直线解析式： (2)结合图象直接写出不等式的解集． 26．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线交与x轴于A、B两点，交y轴于点C． (1)A点坐标为 ，B点坐标为 ； (2)抛物线的顶点坐标是 ； (3)当时，求y的取值范围； (4)当时，求x的取值范围． 【考点5】综合应用（第27-36题） · 由根的情况或交点条件列不等式求参数 · 表格估算根：找函数值变号的相邻x值 · 实际应用（抛球、滑行等）中令函数值取0求落地时间等 27．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表所示，设方程的一个根为m，则m的取值范围可能是（     ） x … 1 … y … … A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．一元二次方程有实数根 D． 29．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 30．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，且点在点的左侧，其中，．有下列结论： ①；②；③若，则； ④关于的一元二次方程无实根； ⑤点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，都有，则． 以上结论正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 31．（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）能使分式方程有非负实数解，且使二次函数的图象与轴交点在原点的上方的的取值范围是______ ． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 33．（26-27九年级上·全国·单元测试）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为______________s．（结果取整数） 34．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段检测）无论取任何实数，代数式都有意义，则的最大值为_____________． 35．（23-24九年级上·北京·阶段检测）如图，一条抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动，点的坐标分别为，点的横坐标的最大值为4，则点的横坐标的最小值为_______．    36．（2024·江苏泰州·三模）规定：若关于x的二次函数与同时满足，且，则称函数与函数互为“反序对称”函数．根据以上规定，解答下列问题： (1)已知关于x的二次函数，写出它的“反序对称”函数______； (2)对于任意非零实数m，n，已知点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“反序对称”函数． ①函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； ②若直线在x轴的下方，求直线与x轴间距离的最大值． 【考点6】求解析式与交点坐标（第37-45题） · 按已知条件选一般式、顶点式、交点式求解析式 · 求交点坐标：令y=0或联立方程组 · 综合探究题按步骤书写，注意数形结合 37．（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 38．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线过点和点．抛物线的对称轴为直线． (1)当时，比较的大小； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 39．（24-25九年级上·浙江·期末）已知二次函数 （ 为常数） 的图象经过点 和 ．    (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围． 40．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线交x轴正半轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，连接，．若的面积为3． (1)求抛物线的解析式． (2)不等式的解集为______． 41．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数的顶点为． (1)求二次函数的解析式及图象与x轴交于A、B两点的坐标； (2)将二次函数的图象沿x轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式． 42．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线过点． (1)求抛物线的函数解析式及顶点坐标； (2)直接写出时，x的取值范围． 43．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数． (1)这个二次函数图象与轴交点坐标为__________，这个二次函数图象的最低点的坐标为__________； (2)当时，的取值范围是__________． 44．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）抛物线的顶点坐标为，并经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求函数值的取值范围． 45．（23-24九年级下·广东珠海·阶段检测）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，过点P作轴交x轴于点D，交直线于点，连接，，，与直线交于点F．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)当的面积等于面积的时，求点P的坐标； (3)抛物线上是否存在点P使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 抛物线与x轴交点横坐标即一元二次方程的根，令y=0 · 判别式定交点个数：Δ>0两个、=0一个、<0无 · 看图解不等式：图象在上（下）方对应解集 · 与直线交点联立方程组求解 · 综合题先求解析式，再数形结合逐问求解 【作业1】．（24-25九年级上·云南普洱·期末）已知二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24九年级上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴只有一个交点，则k的值可能为（　　） A． B． C． D．0 【作业3】．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，则关于的方程的解是(   ) A． B． C． D． 【作业4】．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 【作业5】．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【作业6】．（25-26九年级上·上海·期中）二次函数的图像与x轴的交点坐标是______． 【作业7】．（22-23九年级下·江苏泰州·阶段检测）二次函数的图像与x轴的公共点的个数为______． 【作业8】．（24-25九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，的取值范围是________． 【作业9】．（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）若二次函数的图像与y轴的交点坐标为，则该函数图像与x轴的交点坐标为______． 【作业10】．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 【作业11】．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【作业12】．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 【作业13】．（23-24九年级上·广西贺州·期中）当x为何值时，函数的值等于0？ 【作业14】．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数（是常数）． (1)若该函数的图像的对称轴为直线，求的值． (2)求证：不论为何值，该函数图像与轴没有公共点． 【作业15】．（25-26九年级上·陕西延安·阶段检测）已知二次函数的解析式为，求该二次函数的图象与轴的交点坐标． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $