第07讲二次函数与一元二次方程 2026-2027学年人教版九年级数学上册暑假预习讲义（知识点+题型精讲）

第07讲 二次函数与一元二次方程 目录 知识点1 二次函数与一元二次方程的核心关系 2 知识点2 判别式Δ与抛物线交点个数关系（必考） 3 知识点3 抛物线与坐标轴交点规律 3 知识点4 抛物线截线长公式 3 知识点5 二次函数与一元二次不等式的数形关系 4 知识点6 一元二次方程近似根估算原理 4 题型1 求抛物线与x轴的交点坐标 5 题型2 求抛物线与y轴的交点坐标 7 题型3 已知二次函数的函数值求自变量 10 题型4 抛物线与x轴的交点问题 17 题型5 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 20 题型6 求x轴与抛物线的截线长 24 题型7 图象法确定一元二次方程的近似根 28 题型8 图象法解一元二次不等式 30 题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 34 题型10 根据交点确定不等式的解集 39 题型11 一元二次方程的解的估算 43 1. 知识目标：理解二次函数与一元二次方程的内在联系，掌握抛物线与坐标轴交点的求解方法，熟记判别式与交点个数的对应关系，了解二次函数与一元二次不等式的数形结合规律。 2. 能力目标：能熟练求解抛物线与x轴、y轴交点坐标，掌握方程根的判定、截线长计算、方程近似根估算方法；能利用函数图象解一元二次不等式、确定变量取值范围，攻克相关高频题型。 3. 素养目标：强化数形结合核心思想，建立函数、方程、不等式三位一体的转化思维，提升图象分析、逻辑推理与综合解题能力。 知识点1 二次函数与一元二次方程的核心关系 求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 核心结论：一元二次方程的实数根 = 抛物线与x轴交点的横坐标，实现函数与方程的相互转化。 知识点2 判别式Δ与抛物线交点个数关系（必考） 设 ，对应三种位置关系： 1. ：方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有两个不同交点； 2. ：方程有两个相等实数根（一个实数根），抛物线与x轴有唯一一个交点（顶点在x轴上）； 3. ：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 知识点3 抛物线与坐标轴交点规律 1. 与x轴交点：令 ，解一元二次方程，解得的 值即为交点横坐标，交点坐标为 ； 2. 与y轴交点：令 ，得 ，抛物线与y轴有且只有一个交点 。 知识点4 抛物线截线长公式 若抛物线与x轴交于 ，则x轴上截线长度：，可快速求解两点间距。 知识点5 二次函数与一元二次不等式的数形关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 1. ：对应抛物线在x轴上方的部分，对应x的取值范围即为不等式解集； 2. ：对应抛物线在x轴下方的部分，对应x的取值范围即为不等式解集； 3. 解集分界点统一为抛物线与x轴的交点横坐标，开口方向决定解集区间。 知识点6 一元二次方程近似根估算原理 利用函数值变号规律：若连续两个自变量 对应的函数值 异号，则方程的根必然在 之间，逐步缩小区间即可估算近似根。 题型1 求抛物线与x轴的交点坐标 解题技巧：1. 赋值列式：令二次函数解析式中，得到一元二次方程 ；2. 解方程：用因式分解、配方法、公式法求解方程；3. 写坐标：将解得的根作为横坐标，纵坐标为0，写出交点坐标；4. 无解判定：若 ，直接判定无x轴交点。 易错提醒：切勿只写横坐标，必须书写完整坐标 。 【典例1】．如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用抛物线的对称性分析是解题关键．直接利用抛物线的对称性进而得出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点是：． 故选：D． 【变式1】．抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．求出一元二次方程的两个根，，即可得出抛物线与x轴的两个交点，． 【详解】解：令， 即， 解得一元二次方程的根为：，； 则抛物线与x轴的两个交点分别为和； 故答案选：A． 【变式2】．二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：连接， 把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴, 的面积为：． 题型2 求抛物线与y轴的交点坐标 解题技巧：1. 直接赋值：令解析式中 ；2. 快速求值：代入后仅剩常数项，得 ；3. 固定坐标：抛物线与y轴交点恒为 ；4. 特殊情况： 时，抛物线过坐标原点。 秒杀结论：y轴交点只看常数项，无需复杂计算。 【典例2】．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的横坐标为0，将代入二次函数解析式，计算得到的值，即可确定交点坐标． 【详解】解：令，代入得， ∴二次函数与轴的交点坐标为． 【变式1】．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，由解析式直接判断开口方向，对称轴，顶点坐标，再求出与y轴交点坐标，逐一判断选项即可. 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中二次项系数 ∴抛物线开口向上，A错误； 令，得，因此抛物线与y轴交于点，B错误； 对于形如的二次函数，对称轴为直线，因此C正确； 的顶点坐标为，因此D错误. 【变式2】．抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 【答案】 【分析】先设抛物线与x轴交点坐标，根据抛物线性质得到与y轴交点C的坐标，再结合推导得到边的关系，结合根与系数的关系求出参数c的值，解方程得到抛物线与x轴交点，确定A点坐标． 【详解】解：设，，且，坐标原点为O， 对于抛物线，令，得，即， 令，得，整理得， 由根与系数的关系得，， 如图， ∵，， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴，即， ∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点， ∴，且， ∴， ∴， 代入，得，即， 解得或（舍去），不符合抛物线与x轴交于两个点的条件. 将代入得， 解得，， ∵， ∴， ∴点A坐标为 ． 【变式3】．二次函数（，，是常数，且）的图像如图所示，给出下列结论：①；②；③，其中正确的结论有___________．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴、轴的交点坐标以及最大值和最小值进行综合判断即可． 【详解】解：由图可知，当时，，故①正确 抛物线开口向下，则， 又∵对称轴，即 ∴，则，故②错误， ∵对称轴，， ∴， 抛物线与轴交于负半轴，则 ∴，故③正确 故答案为：①③． 题型3 已知二次函数的函数值求自变量 解题技巧：1. 列方程：将已知函数值 代入解析式，整理得 ；2. 判根情况：通过 判断方程根的个数；3. 解方程：规范求解自变量 的值；4. 结合题意取舍，保留符合取值范围的解。 核心逻辑：函数值固定，本质是解一元二次方程。 【典例3】．点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 【变式1】．如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点）则下列结论：①当时，；②有两个实数根；③当的面积为时，；④当为直角三角形时，在内存在唯一一点，使得的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】①先求出抛物线于x轴的另一个点的坐标，根据图象即可判断①是否正确；②根据二次函数与一元二次方程关系，利用数形结合思想即可判断②是否正确；③利用割补法用a表示出面积，再求出a的值，即可判断③是否正确；④过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接、、，运用分类讨论思想，求出a的值，再将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点T，作轴于点Q，推出当点O，点P，点，点共线时，值最小，最小值为，此时，设，在和中，利用勾股定理列出方程组，求出m，n的值，进而求出，并与比较，即可判断④是否正确． 【详解】解：①∵抛物线经过点，顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，， 故①正确； ②方程有两个实数根相当于函数的图象与函数的图象有两个交点， 画出函数图象如下，由图可知，这两个图象没有交点， 故②正确； ③将，代入， 得， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点为， 设抛物线对称轴交x轴于H，如图， 则， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④如图，过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接、、， 则四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，，，，，， ∵为直角三角形，有三种情况：或或， 显然， ∴只能或， 若，则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； ∵点B在与之间（不含端点）， ∴， 解得， ∴， ∴，， 如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点T，作轴于点Q， ∴，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴当点O、P、、共线时，值最小，最小值为， 此时， 设， 则，，，， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 故④错误； 综上，正确的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法，二次函数于一元二次方程关系，图形的旋转变换，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二元二次方程组，能灵活运用上述知识是解题的关键． 【变式2】．已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【答案】0或 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 【变式3】．二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【答案】5 【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入函数解析式得到关于x的二次方程，解方程求得两个点的横坐标，再计算两点间的水平距离． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴， ∴二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为5． 故答案为：5． 题型4 抛物线与x轴的交点问题 解题技巧：1. 定性判断：根据 正负，判断交点个数（2个、1个、0个）；2. 定量求解：需要坐标时，令 解方程求交点；3. 定点验证：已知交点在抛物线上，可代入解析式求参数；4. 顶点相切： 时，顶点即为唯一交点，顶点纵坐标为0。 必考陷阱：题目隐含“与x轴有交点”时，需满足 ，不可忽略等于0的情况。 【典例4】．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象与x轴的一个交点在和之间，且对称轴为直线，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【分析】先根据对称轴公式得到与的关系，设二次函数与轴的左交点横坐标为，右交点横坐标为，根据对称性可得，结合该二次函数的增减性，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， 设二次函数与轴的左交点横坐标为，右交点横坐标为， 由题意得， ∵两个交点关于对称轴对称， ∴，即， ∵， ∴， ∵，抛物线开口向上， ∴在对称轴的左侧，即时，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大， ∵当时，，时，，又， ∴，故A选项正确； ∵当时，， ∵， ∴，故B选项正确； ∵当时，，当时，， 又， ∴，故C选项错误； ∵当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故D选项正确． 【变式1】．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 【变式2】．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 【变式3】．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的对称性可知交点B的坐标为，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：的图象经过，对称轴为直线， 交点B的坐标为， 可设表达式为， ， ∴， 二次函数与y轴交点在x轴下方， ， ， 当时，，即时， ， 该二次函数的表达式可以是（答案不唯一）． 题型5 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 解题技巧：1. 看图定根：抛物线与x轴交点个数 = 方程实数根个数；2. 正负判断：交点在原点右侧根为正、左侧根为负、过原点有一根为0；3. 结合对称轴：可判断两根大小、对称关系；4. 逆向推导：已知根的情况，可反推 符号、参数取值范围。 核心口诀：图象交点即方程根，个数正负一眼判。 【典例5】．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【答案】B 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：该函数的对称轴为， ， 当时，，故A正确，不符合题意； 由题意，当时，该函数取得最大值，故为任意实数）， 即为任意实数），故B错误，符合题意； 对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， 当时，， 当时，，故C正确，不符合题意； 的函数图象即为的轴下侧图象翻转到轴上方， 的根个数即为图象和直线的交点个数，根据图象可得为4个，故D正确，不符合题意． 【变式1】．已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：把，和 代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，故选项错误； ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误； ∴当时，可知时函数取最大值， 又由表格知，时， ∴当 时，的取值范围为，故选项错误； ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确． 【变式2】．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 【变式3】．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据开口方向和对称轴可得的符号，即可判断①；根据抛物线经过点，可得，即得到，即可判断②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，即可判断③；由抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即可判断④；由直线经过点，可得，得到，即可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的两根为，，故③正确； 由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即， ∴不等式的解集是，故④正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，故⑤错误， 综上，正确的有①③④． 题型6 求x轴与抛物线的截线长 解题技巧：1. 常规法：求出抛物线与x轴两个交点坐标，用横坐标差值的绝对值求长度；2. 公式秒杀法：直接代入 快速计算截线长；3. 特殊情况： 时，截线长为0，抛物线与x轴相切；4. 计算校验：结合图象位置验证长度合理性。 【典例6】．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 【变式1】．抛物线（，，为常数）开口向下且过点，．以下结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则； ④抛物线与轴交于，两点，则，其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口方向、二次函数对称轴位置及，从而判断①②，将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断③；根据二次函数图象与系数的关系求得抛物线与x轴交于M、N两点的坐标，进而求得，结合，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，抛物线交y轴于正半轴，即 ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线开口向下，， ∴时，， 故②正确； ∵抛物线（，，为常数）开口向下且过点，， ∴抛物线解析式可化为， ∵有两个不相等的实数根， ∴，有两个不相等的实数根，即抛物线与直线有两个交点， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线顶点纵坐标大于1，即， ∴ 故③正确； ∵抛物线（，，为常数）开口向下且过点，， ∴，， ∴，， 令，则， 即， 解得或， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故④正确； 综上，正确的个数为4． 故选：D． 【变式2】．下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【答案】③ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，通过求解每个抛物线与x轴的交点坐标，计算两点之间的距离，比较得出最短距离即可得出结论． 【详解】解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 【变式3】．如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 题型7 图象法确定一元二次方程的近似根 解题技巧（区间缩小区间法）：1. 列表取值：选取连续自变量，计算对应函数值；2. 锁定区间：找到函数值由正变负、或由负变正的两个相邻x值，根必在此区间内；3. 逐步细化：在区间内再次取值，不断缩小范围；4. 精准估算：根据函数值接近0的程度，确定方程近似根。 核心原理：连续函数跨越x轴，函数值异号，区间内必有一根。 【典例7】．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 【变式1】．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 【变式2】．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 【变式3】．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与x轴两交点的横坐标为一元二次方程的两个根，是解题的关键． 根据二次函数图象与x轴的交点得方程的两个根为． 【详解】∵二次函数的图象与x轴交于 ，两点， ∴关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 题型8 图象法解一元二次不等式 解题技巧（数形结合三步法）：1. 找交点：求出抛物线与x轴的所有交点横坐标；2. 看上下： 取x轴上方图象对应x范围， 取x轴下方图象对应x范围；3. 定区间：结合开口方向，准确书写不等式解集；4. 特殊处理：无交点时，根据开口方向判定恒正或恒负。 解题关键：开口方向决定区间取舍，交点是解集分界点。 【典例8】．如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤若m为任意实数，则．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 根据抛物线的开口向下得到，结合抛物线的对称轴直线为，得到，根据抛物线的对称轴直线为， 且抛物线与x轴的一个交点坐标为得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，当时，，得到，根据函数图象可知，在范围内，，将代入函数解析式得到该函数的最大值，再将代入函数解析式，从而得出结论即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴直线为， ∴， ，故①正确； 抛物线的对称轴直线为， 且抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 方程的两个根是，，故②正确； 当时，， ， ，即，故③错误； 由于抛物线开口向下，且与x轴两交点的坐标为与， 结合图象可知，当时，，故④错误； 由得， 当时，抛物线最大值为， 当时，， 则对于任意实数m，总有，故⑤正确， 综上所述，正确的应该为①②⑤， 故答案为：C． 【变式1】．如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要掌握抛物线顶点、对称轴、与x（y）轴交点等知识．根据二次函数的图象及性质，逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，①正确； ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴②不正确； ∵图象过点， ∴图象与x轴左侧的交点为， 将代入得： ，③正确； 由图象知顶点在x轴下方， ∴，即， 而开口向上，， ∴， ∴，④正确； ∵抛物线与x轴两个交点分别为，，且开口向上， ∴时，，⑤正确； ∴正确的有①③④⑤， 故选：D． 【变式2】．若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 【变式3】．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 解题技巧：1. 数形定位：结合抛物线开口、对称轴、与x轴交点，锁定图象对应区间；2. 分类求解：已知y范围求x范围看图象上下，已知x范围求y范围看区间最值；3. 边界取舍：严格区分不等号是否含等号，确定端点是否可取；4. 区间整合：多段区间用“或”连接，规范书写解集。 易错点：忽略端点取值、区间范围书写混乱、开口方向判断错误。 【典例9】．已知点和在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算点M的纵坐标，可知当时，．再分a的正负讨论，结合抛物线的图像性质，推导出满足条件的a的取值范围． 【详解】解：∵，代入得：，由题意可得对于，，都有，此时当时，． ∵抛物线的对称轴为直线， 当 时，抛物线开口向下，对称轴 当时，随着的增大而减小，故最小值在处，此时， ∵， ∴， ∴，不满足条件； 当时，抛物线开口向上，对称轴 当时，随着的增大而增大，故最小值在处，此时， ∵， ∴要使，则有， 解得， ∴． 综上所述，． 【变式1】．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题关键．先求出抛物线的对称轴，结合开口方向判断增减性，转化为不等式并求解即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴离直线越近，函数值越小， ∵， ∴，即， 两边平方，得， 解得． 故选：D． 【变式2】．定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 【答案】或 【分析】先求出关于x的二次函数图象的对称轴为直线，得到当或时，二次函数的函数值相等，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴关于x的二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当或时，二次函数的函数值相等， 当时，二次函数有最小值为， 在范围内，当或时，有最大值为， ∵二次函数是在范围内的“2倍界”函数， ∴， ∴； 当时，二次函数有最大值为， 在范围内，当或时，有最小值为， ∴， ∴； 综上，或． 【变式3】．已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确结论的个数为_____． 【答案】4 【分析】①由二次函数图像性质知，开口向下，则．再结合对称轴，有，即，则．据二次函数图像与轴正半轴相交得；②由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，则当时，，即可判断；③，得，当时，，即，所以，把替换成计算；④时函数有最大值，所以当时的值大于当时的值，即，所以成立；⑤当时，有，此时有，当时，有，此时有，则有，即可判断． 【详解】解：∵图像开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交于轴正半轴， ∴， ∴，故①正确； 由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间， ∴当时，， 即，故②正确； ∵根据图像可知，当时，， 即， ∴， ∴结合，有， ∴，故③正确； ∵时，有，且此时y值达到最大， 又∵时，有， ∴， ∴成立，故④正确． 根据有四个根， 可得和各有两个根， 当时，有，此时有， 当时，有，此时有， 则有， ∵， ∴，即：的四个根和为4，故⑤错误． 综上：①②③④正确，共4个． 题型10 根据交点确定不等式的解集 解题技巧：1. 定分界：以抛物线与x轴交点为解集唯一分界点；2. 判开口：开口向上，两边大中间小；开口向下，两边小中间大；3. 套不等式：大于0取外侧区间，小于0取内侧区间；4. 精准书写：多个区间分开写，杜绝区间重叠、遗漏。 秒杀口诀：上大下小，开口定区间，交点定边界。 【典例10】．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 【变式1】．已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 【变式2】．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 【变式3】．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ， ， ， 又， ；故①正确； 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， 函数草图如图： 由图像可知当时，，则，故②错误； 抛物线经过点， ， ， 解得， ， ， 又， ； ； 解得，故③错误； 关于的不等式变形得， 经过， 由图象可知，不等式解集为，故④正确； 点在抛物线上，抛物线的对称轴为，总有， ，且，解得， ∵， ． 故⑤正确； 综上，正确的结论有①④⑤. 题型11 一元二次方程的解的估算 解题技巧：1. 函数转化：将一元二次方程转化为对应二次函数；2. 数值试算：代入不同x值，观察函数值趋近于0的变化；3. 锁定近似值：函数值越接近0，对应x值越接近方程的根；4. 精度取舍：根据题目要求保留小数位数，完成估算。 得分要点：估算无需精准解方程，依托数值变化趋势即可解题。 【典例11】．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 【变式1】．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键．根据二次函数的函数值在时为负、时为正，进而判断出方程的一个解的取值范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 【变式2】．在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本题的关键． 根据表格得：当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，； ∴一元二次方程的近似解的大致范围为：． 故答案为：． 【变式3】．抛物线与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上，且的面积是4． （1）抛物线与x轴的两个交点之间的距离______； （2）若满足条件的P点恰好有3个，则______． 【答案】 4 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点的坐标，一元二次方程的解，掌握函数与x轴交点的坐标的求法，以及通过判别式分析一元二次方程根的情况是解题的关键． （1）通过求抛物线与x轴的交点坐标，计算两点距离． （2）利用三角形面积公式得出点P的纵坐标绝对值为2，代入解析式得到两个方程，根据点P个数要求，令其中一个一元二次方程判别式为零求解． 【详解】解：（1）抛物线 与x轴交于点A和点B，令，得或， 故， 所以． （2）的底边，面积为4，设点P到的垂直距离为h， ，解得， 在x轴上， 为点P纵坐标的绝对值，即， 解得或， 根据题意，可知点P在抛物线上，代入函数解析式得方程： 和 ，每个都是关于x的二次方程，最多有2个解， 满足条件的点P恰好有3个， 其中一个方程有两个相等的实数根，另一个方程有两个不等实根， 方程一，即 ， 判别式 ， 方程二，即， 判别式 令，得， 解得（舍去）或， 此时，符合条件， 令 ，得，解得（舍去）或， 此时，符合条件， 故． 故答案为：4，． 1．二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 【答案】D 【分析】当，，即可判断A选项；根据函数图象，求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断B选项；根据函数图象开口向下，即可判断C选项；得到，根据对称轴为直线，得到，即可判断D选项． 【详解】解：由图象可得，当，，故A正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可得，当时，，故B正确，不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下， ∴，抛物线开口向下，故函数有最大值，故C正确，不符合题意； ∵对称轴为直线 ∴ ∴点在第二象限，故D错误，符合题意． 2．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … 8 9 5 0 … 下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．函数图象与x轴的一个交点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】利用表格中的已知点求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：将代入，得， 将，分别代入，得 解得：， 二次函数解析式为． ， 函数图象开口向下，A错误． 图象的对称轴为直线，B错误． 令，得 解得或， 函数图象与轴的一个交点为，C正确． ，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，D错误． 3．如图，抛物线与轴交于点A、B，其顶点为．把这条抛物线在轴及其上方的部分记为，将向右平移得到与轴交于点的顶点为，连接．则图中阴影部分图形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】过点作于点，根据题意和平移的特点，可以发现图中阴影部分图形的面积等于矩形的面积，然后根据抛物线解析式可以求得和的长，然后即可得到矩形的面积，从而可以得到阴影部分的面积． 【详解】过点作于点，如图所示， 则阴影部分的面积等于四边形的面积， 当时，， 解得，， ， 根据解析式可得，该抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵这条抛物线在x轴及其上方的部分记为，将向右平移得到，与x轴交于点B、D，的顶点为F， ， ， ， ， 四边形是矩形， 则矩形的面积是， ∴图中阴影部分图形的面积为4． 4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入，求解对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 5．若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的函数值．正确计算是解题的关键． 将点代入求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 故选：A． 6．如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴， 又， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程一定有一个根在2和3之间，故③正确； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的最大值为， ∴对于任意实数，都有， ∴对于任意实数，，即，故④正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， 又， ∴， ∴,故⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共4个． 7．老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 8．在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线与轴的交点坐标，根据平移规则，将二次函数的图象向下平移5个单位得，再求出与x轴的交点坐标即可得解． 【详解】解：把函数，向下平移5个单位得， 令，得， 解得：，， 图象与x轴的两个交点为， ∴两交点距离为2，满足要求． 故选：． 9．已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由点A存在可得，再根据恒成立，推导出或，结合点A存在条件得的取值范围． 本题考查了二次函数的增减性，解不等式，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在函数图象上，且， ∴ ， 解得； ∵ 函数开口向上，对称轴， ∴到对称轴的距离大，其点对应的函数值也大， ∵， 且， ∴范围内，处取得最大值， ∴ ； ∵点也在函数图象上，且， ∴ ， 由恒成立，得， 化简得，即， 解得或， 结合点A存在条件， ∴ 或； 故选：D． 10．已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数顶点坐标和经过点，利用顶点式求出参数关系，再结合m的范围确定a的范围，最后逐一判断各结论． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴当时，， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故①正确； ∴对称轴为直线，即， ∴， 设二次函数为，代入点， 得， ∴． 代入点得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，的值随值的增大而增大，故②错误； ∵，即， ∴， ∴，故结论④正确； 由对称性可得函数与x轴交于和， ∵二次函数的图象开口向下， ∴当时，，故③错误． 综上，正确结论有①④共2个． 故选：B． 11．已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【答案】 ， 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 12．已知二次函数，当时，的值为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式化简函数表达式，再代入x的值计算． 【详解】解：由二次函数，根据平方差公式，得， 当时，， 故答案为：6． 13．已知二次函数的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 根据抛物线的对称性，可知的图象与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵二次函数的对称轴是直线，关于的一元二次方程的一个根为 ∴， 解得， ∴另一根为， 故答案为：． 14．如图，在二次函数的图像中，顶点的纵坐标为1．下列结论：①②③④⑤关于x的一元二次方程无实数根．其中，正确结论的序号是_________． 【答案】①④⑤ 【分析】由抛物线与x轴有两个交点可判断①；由抛物线开口朝下、对称轴在y轴左边、抛物线与y轴交点在正半轴上可判断②；由抛物线在处的函数值小于0，可得，再由对称轴可得可判断③；由抛物线顶点的纵坐标为1可得抛物线与直线只有一个交点可判断④；由抛物线与直线没有交点可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴令，即有两个不相等的实数根， ∴，即，故①正确． 由图象可知：抛物线开口朝下，对称轴在y轴左边，抛物线与y轴交点在正半轴上， ∴，，， ∴， ∴，故②错误． 由图象可知：抛物线在处的函数值小于0， ∴令，即， ∵由图象可知：对称轴， ∴， ∴， ∴，故③错误． ∵抛物线顶点的纵坐标为1， ∴抛物线与直线只有一个交点， ∴令，即有两个相等的实数根， ∴，即，故④正确． ∵抛物线顶点的纵坐标为1，且抛物线开口朝下， ∴抛物线与直线没有交点， ∴令，即无实数根，故⑤正确． 综上所述，正确结论的序号是①④⑤． 15．根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是___________． x 0.4 0.5 0.6 0.7 【答案】 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数y的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间， 即． 故答案为：． 16．已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线开口向上及点坐标区间关系，确保函数值不等式恒成立，需满足区间包含关系及参数范围． 【详解】解：在抛物线中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 要使恒成立，则的上界须小于等于的下界， ∵， ∴的下界是， 因此，对于任意都必须满足，即， ∴且， 解得且． 同时，要使，成立，解得，． 综上，t的取值范围是． 故答案为：． 17．在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式计算即可得出结果； （2）当时，，求出点的坐标为，由二次函数图象的平移法则可得新的抛物线的解析式为，将代入，计算即可得出结果； （3）求出，令，则，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵该函数图象经过原点， ∴将代入解析式得， 解得； （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线的解析式为， 将代入得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴令，则，， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，此时无解， 综上所述，． 18．抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 19．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 20．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)①证明：∵令，则，即，，， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线与轴恒有两个交点； ②抛物线与轴交点坐标为和 ． (2)①；②或或． 【分析】（1）①将二次函数转换成一元二次方程，利用判别式判断出一元二次方程解的情况即二次函数与轴交点的情况，②再运用公式法求解交点即可； （2）①先根据题意求出二次函数解析式和一次函数解析式，以及点坐标，再根据题意判断出三点共线，即，即可求出，最后根据求解即可；②根据题意判断出三点共线，即，即可求出，再根据求出是关于的二次函数解析，分类讨论（），（），根据二次函数的性质和不等方程的性质分别求解即可． 【详解】（1）①略； ②由①得且， ∴， ∵， ∴解得：，， ∴抛物线与轴交点坐标为和 ； （2）①∵， ∴抛物线解析式为：，直线解析式为：， ∵， ∴， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴； ②∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴， 分类讨论： （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， ∵， ∵，， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴ ∴当，的长随的增大而增大，求的取值范围为或或． 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标． (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R． ①若，矩形R的垂直高度，则矩形R的水平宽度p的取值范围是_______； ②若矩形R的水平宽度，则矩形R的垂直高度h的取值范围是_______； ③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点坐标为 (2)①   ②    ③点M的坐标为或 【分析】（1）将点和分别代入，即可求得抛物线的表达式，再将抛物线的表达式转换为顶点式即可得出顶点坐标； （2）①根据题意知点，可得，再分当点N在点M上方的抛物线上时，当点N在点M下方的抛物线上时，两种情况分别求得矩形宽度的最小、最大值即可得出取值范围； ②根据题意得到矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称，再由矩形R的水平宽度，得，进而得，可得矩形R的垂直高度h的取值范围； ③根据题意设，则，然后，再分四种情况：第一种情况：当，即时， 第二种情况：当，即时，第三种情况：当，即时，第四种情况：当时，分别进行分类讨论，最后得出结论即可． 【详解】（1）解：将点和分别代入，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∵， ∴它的顶点坐标为； （2）①解：根据题意知点， 当时，， ∴， 当点N在点M上方的抛物线上时， ∵矩形R的垂直高度， ∴， ∴点N的纵坐标为2，即，此时，矩形宽度的最小值为； 当点N在点M下方的抛物线上时， ∵矩形R的垂直高度， ∴， 当时，，解得(舍去)或， ∴，此时，矩形宽度的最大值为． 综上，矩形R的水平宽度p的取值范围是 ； ②解：根据题意知，矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称， ∵矩形R的水平宽度， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴矩形R的垂直高度h的取值范围是； ③解：根据题意设，则， 第一种情况：当，即时，， ∴(舍去)； 第二种情况：当，即时，， ∴或(舍去)， 当时，， ∴； 第三种情况：当，即时，， ∴或(舍去)， 当时，， ∴； 第四种情况：当时，， ∴(舍去)； 综上，点M的坐标为或． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求出的长； (2)连接，若，求出的值； (3)连接，过点作直线，交轴于点．过点作轴交直线于点，交直线于点． ①如图2，当时，若点和点到直线距离之和不超过，求的取值范围； ②如图3，当点在对称轴右侧的抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足分别为点，点．若四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②或 【分析】（1）当时，则，即可求出点B，进而可求出，当时，则，求出点A，B的坐标，进而可求出． （2）由全等三角形的性质得出点E在一三象限的角平分线上，即直线在一次函数上，又点E在二次函数解析式上，联立建立关于m的一元二次方程，求解即可得出m的值． （3）①过点作于点，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得出，，根据三角形直角边小于斜边得出，根据一次函数的图象和性质求出点E的坐标，得出，进而可求出m的取值范围，最后结合题干m的范围得出最终的范围． ②分两种情况求解，四边形为矩形或者正方形，根据矩形或者正方形的性质结合四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半建立关于m的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， ∴， ∴， 当时，则， 解得：，， ∴，， ∴． （2）解：由（1）可知， 若， ∴， ∴点E在一三象限的角平分线上 ∴， ∴点E到x轴的距离等于点E到y轴的距离， 即直线在一次函数上， ∵是抛物线上一动点， ∴， 又∵在一次函数上， ∴， ∴ 解得：． （3）解：①过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵点和点到直线距离之和不超过， ∴， ∴，即， 设的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴直线的一次系数为， 故设直线的解析为， 把代入， 则， ∴， ∴直线的解析为， 把代入，得， ∴点， 又∵点， ∴， 则，解得 或， ∵， ∴，或； ②根据题意可知四边形为矩形或者正方形， ∵，点，点， ∴，， 根据题意可知当时，四边形为正方形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 则，解得，或， ∵点在对称轴右侧的抛物线上， ∴， ∴； 设线段与直线交于点I，线段与直线交于点K，根据题意可知当时，四边形为矩形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 同理可得，点，点，点， ∵直线的解析式为， ∴点，点， 则，解得，或， ∵， ∴， 综上所述，当或时，四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，难度较大，涉及二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式和性质、等腰三角形的性质和判定、解不等式、正方形的性质和矩形的性质等知识点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和特殊四边形的性质，以及动态思想的应用． 23．如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）设抛物线解析式为，利用待定系数法求解； （2）首先求出，，得到直线的解析式为，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质得到当时，取得最大值为，然后求解即可； （3）首先表示出，然后根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值为， ∴此时点P的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴当时， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为； 当， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 24．如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． (1)填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标      （__________，__________） __________ （__________，__________） (2)观察图象，解答下列问题： ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围． (3)如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． ①请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)①或；② (3)①是；②或或 【分析】（1）根据顶点式写出点的坐标，根据抛物线的平移规律写出的解析式，进而根据顶点式写出顶点的坐标，即可求解； （2）①根据函数图象，即可求解． ②令：，求得的值，结合函数图象即可求解； （3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点的坐标，根据点的平移，得出平移后的坐标，即可求解； ②根据的图象，分三段讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据函数图象，找到最高点和最低点，进而求得，结合，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②令：， 解得：（舍去）， 如图， 又∵ 根据函数图象可得：当时， （3）①∵，：， 点为上一点，横坐标为，则， 点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到， 点为上一点，横坐标为，，即 ∴点，是平移前后的一组对应点； ②解：∵点为上一点，横坐标为3． ∴时，，则， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， 即 ∴， 情形一：当时，点在轴及其上方部分， 最高点为， （i）如图，当时，最低点为 ∴ 当时，， 此方程无解，不存在此情形； （ii）如图，当时，最低点为 ∴ 当时， 解得：（舍去）或 情形二：当时，此时如图， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：或（舍去）； 情形三：当时， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：（舍去）或， 综上所述，当时，或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二次函数与一元二次方程 目录 知识点1 二次函数与一元二次方程的核心关系 2 知识点2 判别式Δ与抛物线交点个数关系（必考） 3 知识点3 抛物线与坐标轴交点规律 3 知识点4 抛物线截线长公式 3 知识点5 二次函数与一元二次不等式的数形关系 4 知识点6 一元二次方程近似根估算原理 4 题型1 求抛物线与x轴的交点坐标 5 题型2 求抛物线与y轴的交点坐标 6 题型3 已知二次函数的函数值求自变量 6 题型4 抛物线与x轴的交点问题 7 题型5 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 8 题型6 求x轴与抛物线的截线长 10 题型7 图象法确定一元二次方程的近似根 10 题型8 图象法解一元二次不等式 11 题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 13 题型10 根据交点确定不等式的解集 14 题型11 一元二次方程的解的估算 15 1. 知识目标：理解二次函数与一元二次方程的内在联系，掌握抛物线与坐标轴交点的求解方法，熟记判别式与交点个数的对应关系，了解二次函数与一元二次不等式的数形结合规律。 2. 能力目标：能熟练求解抛物线与x轴、y轴交点坐标，掌握方程根的判定、截线长计算、方程近似根估算方法；能利用函数图象解一元二次不等式、确定变量取值范围，攻克相关高频题型。 3. 素养目标：强化数形结合核心思想，建立函数、方程、不等式三位一体的转化思维，提升图象分析、逻辑推理与综合解题能力。 知识点1 二次函数与一元二次方程的核心关系 求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 核心结论：一元二次方程的实数根 = 抛物线与x轴交点的横坐标，实现函数与方程的相互转化。 知识点2 判别式Δ与抛物线交点个数关系（必考） 设 ，对应三种位置关系： 1. ：方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有两个不同交点； 2. ：方程有两个相等实数根（一个实数根），抛物线与x轴有唯一一个交点（顶点在x轴上）； 3. ：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 知识点3 抛物线与坐标轴交点规律 1. 与x轴交点：令 ，解一元二次方程，解得的 值即为交点横坐标，交点坐标为 ； 2. 与y轴交点：令 ，得 ，抛物线与y轴有且只有一个交点 。 知识点4 抛物线截线长公式 若抛物线与x轴交于 ，则x轴上截线长度：，可快速求解两点间距。 知识点5 二次函数与一元二次不等式的数形关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 1. ：对应抛物线在x轴上方的部分，对应x的取值范围即为不等式解集； 2. ：对应抛物线在x轴下方的部分，对应x的取值范围即为不等式解集； 3. 解集分界点统一为抛物线与x轴的交点横坐标，开口方向决定解集区间。 知识点6 一元二次方程近似根估算原理 利用函数值变号规律：若连续两个自变量 对应的函数值 异号，则方程的根必然在 之间，逐步缩小区间即可估算近似根。 题型1 求抛物线与x轴的交点坐标 解题技巧：1. 赋值列式：令二次函数解析式中，得到一元二次方程 ；2. 解方程：用因式分解、配方法、公式法求解方程；3. 写坐标：将解得的根作为横坐标，纵坐标为0，写出交点坐标；4. 无解判定：若 ，直接判定无x轴交点。 易错提醒：切勿只写横坐标，必须书写完整坐标 。 【典例1】．如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】．二次函数与轴交于，则的值为______． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 【答案】6 题型2 求抛物线与y轴的交点坐标 解题技巧：1. 直接赋值：令解析式中 ；2. 快速求值：代入后仅剩常数项，得 ；3. 固定坐标：抛物线与y轴交点恒为 ；4. 特殊情况： 时，抛物线过坐标原点。 秒杀结论：y轴交点只看常数项，无需复杂计算。 【典例2】．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【变式2】．抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 【变式3】．二次函数（，，是常数，且）的图像如图所示，给出下列结论：①；②；③，其中正确的结论有___________．（填序号） 题型3 已知二次函数的函数值求自变量 解题技巧：1. 列方程：将已知函数值 代入解析式，整理得 ；2. 判根情况：通过 判断方程根的个数；3. 解方程：规范求解自变量 的值；4. 结合题意取舍，保留符合取值范围的解。 核心逻辑：函数值固定，本质是解一元二次方程。 【典例3】．点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点）则下列结论：①当时，；②有两个实数根；③当的面积为时，；④当为直角三角形时，在内存在唯一一点，使得的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式2】．已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【变式3】．二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 题型4 抛物线与x轴的交点问题 解题技巧：1. 定性判断：根据 正负，判断交点个数（2个、1个、0个）；2. 定量求解：需要坐标时，令 解方程求交点；3. 定点验证：已知交点在抛物线上，可代入解析式求参数；4. 顶点相切： 时，顶点即为唯一交点，顶点纵坐标为0。 必考陷阱：题目隐含“与x轴有交点”时，需满足 ，不可忽略等于0的情况。 【典例4】．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象与x轴的一个交点在和之间，且对称轴为直线，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时，y的值随x值的增大而增大 【变式1】．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【变式3】．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 题型5 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 解题技巧：1. 看图定根：抛物线与x轴交点个数 = 方程实数根个数；2. 正负判断：交点在原点右侧根为正、左侧根为负、过原点有一根为0；3. 结合对称轴：可判断两根大小、对称关系；4. 逆向推导：已知根的情况，可反推 符号、参数取值范围。 核心口诀：图象交点即方程根，个数正负一眼判。 【典例5】．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【变式1】．已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【变式2】．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【变式3】．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 题型6 求x轴与抛物线的截线长 解题技巧：1. 常规法：求出抛物线与x轴两个交点坐标，用横坐标差值的绝对值求长度；2. 公式秒杀法：直接代入 快速计算截线长；3. 特殊情况： 时，截线长为0，抛物线与x轴相切；4. 计算校验：结合图象位置验证长度合理性。 【典例6】．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式1】．抛物线（，，为常数）开口向下且过点，．以下结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则； ④抛物线与轴交于，两点，则，其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【变式3】．如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 题型7 图象法确定一元二次方程的近似根 解题技巧（区间缩小区间法）：1. 列表取值：选取连续自变量，计算对应函数值；2. 锁定区间：找到函数值由正变负、或由负变正的两个相邻x值，根必在此区间内；3. 逐步细化：在区间内再次取值，不断缩小范围；4. 精准估算：根据函数值接近0的程度，确定方程近似根。 核心原理：连续函数跨越x轴，函数值异号，区间内必有一根。 【典例7】．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【变式1】．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【变式2】．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【变式3】．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______． 题型8 图象法解一元二次不等式 解题技巧（数形结合三步法）：1. 找交点：求出抛物线与x轴的所有交点横坐标；2. 看上下： 取x轴上方图象对应x范围， 取x轴下方图象对应x范围；3. 定区间：结合开口方向，准确书写不等式解集；4. 特殊处理：无交点时，根据开口方向判定恒正或恒负。 解题关键：开口方向决定区间取舍，交点是解集分界点。 【典例8】．如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤若m为任意实数，则．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【变式3】．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 解题技巧：1. 数形定位：结合抛物线开口、对称轴、与x轴交点，锁定图象对应区间；2. 分类求解：已知y范围求x范围看图象上下，已知x范围求y范围看区间最值；3. 边界取舍：严格区分不等号是否含等号，确定端点是否可取；4. 区间整合：多段区间用“或”连接，规范书写解集。 易错点：忽略端点取值、区间范围书写混乱、开口方向判断错误。 【典例9】．已知点和在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】．定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 【变式3】．已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确结论的个数为_____． 题型10 根据交点确定不等式的解集 解题技巧：1. 定分界：以抛物线与x轴交点为解集唯一分界点；2. 判开口：开口向上，两边大中间小；开口向下，两边小中间大；3. 套不等式：大于0取外侧区间，小于0取内侧区间；4. 精准书写：多个区间分开写，杜绝区间重叠、遗漏。 秒杀口诀：上大下小，开口定区间，交点定边界。 【典例10】．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【变式1】．已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【变式2】．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【变式3】．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 题型11 一元二次方程的解的估算 解题技巧：1. 函数转化：将一元二次方程转化为对应二次函数；2. 数值试算：代入不同x值，观察函数值趋近于0的变化；3. 锁定近似值：函数值越接近0，对应x值越接近方程的根；4. 精度取舍：根据题目要求保留小数位数，完成估算。 得分要点：估算无需精准解方程，依托数值变化趋势即可解题。 【典例11】．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【变式3】．抛物线与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上，且的面积是4． （1）抛物线与x轴的两个交点之间的距离______； （2）若满足条件的P点恰好有3个，则______． 1．二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 2．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … 8 9 5 0 … 下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．函数图象与x轴的一个交点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 3．如图，抛物线与轴交于点A、B，其顶点为．把这条抛物线在轴及其上方的部分记为，将向右平移得到与轴交于点的顶点为，连接．则图中阴影部分图形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 6．如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 9．已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 10．已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 12．已知二次函数，当时，的值为______． 13．已知二次函数的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________． 14．如图，在二次函数的图像中，顶点的纵坐标为1．下列结论：①②③④⑤关于x的一元二次方程无实数根．其中，正确结论的序号是_________． 15．根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是___________． x 0.4 0.5 0.6 0.7 16．已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____． 17．在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 18．抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 19．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标． (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R． ①若，矩形R的垂直高度，则矩形R的水平宽度p的取值范围是_______； ②若矩形R的水平宽度，则矩形R的垂直高度h的取值范围是_______； ③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求出的长； (2)连接，若，求出的值； (3)连接，过点作直线，交轴于点．过点作轴交直线于点，交直线于点． ①如图2，当时，若点和点到直线距离之和不超过，求的取值范围； ②如图3，当点在对称轴右侧的抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足分别为点，点．若四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 23．如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 24．如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． (1)填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标      （__________，__________） __________ （__________，__________） (2)观察图象，解答下列问题： ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围． (3)如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． ①请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； ②当时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $