26.4 实际问题与二次函数（第2课时）教案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

26.4　实际问题与二次函数（第2课时） 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 26.4　实际问题与二次函数（第2课时） 教学目标 1．经历运用二次函数解决最大利润问题的过程，能建立数学模型、求解模型并验证反思，发展抽象能力、运算能力和模型观念． 2．能根据具体情境，分涨价、降价两种情况分别分析、综合比较，确定最大利润，发展推理能力和应用意识． 教学内容 教学重点 建立二次函数模型解决最大利润问题． 教学难点 根据实际问题中的数量关系建立二次函数模型；涨价、降价两种情况的分析与比较． 教学过程 教学环节 主要师生活动 新课导入 引导语：上节课我们运用二次函数性质解决了生活中一些最大（小）值问题，本节课我们再来看一个最大利润问题． 问题1：请大家回顾上节课的内容，我们是怎样用二次函数解决实际生活中最大值问题的？ 师生活动：学生回顾并口述解题步骤，教师板演： （1）分析题目数量关系，列出二次函数解析式，结合实际确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用二次函数性质求函数最大值或最小值； （3）回归具体情境解答实际问题． 进一步强调：就是将实际问题转化为二次函数模型，从而解决实际问题． 设计意图：通过回顾已有学习经验，搭建新旧知识关联，为解决最大利润问题作铺垫． 新知探究 问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 师生活动：教师出示探究问题，引导学生审题，提取进价、售价、销量等已知条件，理清调价规则，明确需要解决的问题．学生依托已有知识自主探究． 追问1：不调整单价时，每星期售出商品的利润是多少？你能写出它的计算公式吗？ 师生活动：学生独立计算后交流，有的学生用“单件利润×销量”计算：(60－40)×300＝6 000（元）；有的学生用“总销售额－总成本”计算：60×300－40×300＝6 000（元）．教师引导学生对比两种方法，发现：两种方法都可以，根据乘法分配律可以相互转化．这里先按“总销售额－总成本”的思路来分析，教师板书：每星期售出商品的利润＝每星期售出商品的销售额－每星期售出商品的买进费用＝商品的单件售价×每星期的销量－商品的单件进价×每星期的销量． 追问2：如果调整单价，涨价1元或降价1元，每星期售出商品的利润会怎样变化？请你算一算，并说说你是怎么算的． 师生活动：学生尝试计算．教师巡视，及时点拨．学生展示：涨价1元时，每星期售出商品的利润＝(60＋1)×(300－10)－40×(300－10)＝6 090（元）．降价1元时，每星期售出商品的利润＝(60－1)×(300＋20)－40×(300＋20)＝6 080（元）；与原利润6 000元相比，涨价1元和降价1元，每星期售出商品的利润都增加了．进一步点明：涨价1元，商品单件售价变为(60＋1)元，同时根据调价规则，商品少卖10件，所以每星期售出商品的销量从300件变为(300－10)件；降价1元，商品单件售价变为(60－1)元，同时根据调价规则，商品多卖20件，所以每星期售出商品的销量从300件变为(300＋20)件．教师引导发现：计算价格调整后每星期售出商品的利润，都是先算商品单件售价和销量，再算每星期售出商品的利润． 追问3：涨价1元和降价1元，利润都增加了，但增加的幅度一样吗？为什么？这说明了什么？ 师生活动：学生对比数据，发现：涨价1元，每星期售出商品的利润增加90元；降价1元，每星期售出商品的利润增加80元，增幅不同．进一步发现：根据调价规则，涨价时售价增加但销量减少，降价时售价减少但销量增加，且变化的幅度不同，所以涨价和降价不能混在一起算，需要分涨价和降价两种情况进行研究． 追问4：现在分析涨价的情况．涨价2元、3元时，每星期售出商品的利润是多少？（只列式，不必计算）涨价金额越大，每星期售出商品的利润就越大吗？你能用一个式子表示涨价任意金额时，每星期售出商品的利润吗？ 师生活动：学生列式：涨价2元，每星期售出商品的利润＝(60＋2)×(300－10×2)－40×(300－10×2)；涨价3元，每星期售出商品的利润＝(60＋3)×(300－10×3)－40×(300－10×3)．学生围绕“涨价金额越大，每星期售出商品的利润是否越大”发表看法，教师适时点拨：每星期售出商品的利润与两者均有关联，只考虑单一因素不够全面．为方便分析，我们能否用统一式子表示不同涨价金额对应的每星期售出商品的利润呢？设商品每件涨价x元，则商品的单件售价为(60＋x)元，同时每星期要少卖10x件，即每星期商品的销量是(300－10x)件，因此，每星期售出商品的利润＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)． 追问5：刚刚我们得到了每星期售出商品的利润的表达式，要求这个表达式的最大值，你想到了可以用什么知识来解决吗？ 师生活动：学生经过思考后作答：可以把这个表达式看成一个函数，再借助函数的性质求解最大值．教师板书：设商品每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元．所得利润y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，即y＝－10x2＋100x＋6 000．进一步点明：实际问题转化为二次函数，就可以利用函数的性质求最值，最大利润问题就转化成求二次函数最大值的问题． 追问6：自变量x的取值范围是多少？为什么？ 师生活动：学生从实际意义出发分析：单价为整数，则涨价额x也是整数．涨价额不能为负数，即x≥0，且销量不能为负，即300－10x≥0，因此自变量x的取值范围是0≤x≤30，x为整数．教师强调：自变量的范围由实际问题的条件限定，受具体情境的约束，分析时要避免遗漏． 追问7：当x取何值时，每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？此时定价为多少？ 师生活动：学生求解二次函数的最大值，教师提醒：算得最大值后，都要注意检验：自变量x的取值范围是0≤x≤30，x为整数，x＝5在此范围内，符合实际，所以在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6 250元． 追问8：上面我们设涨价x元，建立每星期售出商品的利润与涨价金额的函数关系，求出了最大利润．你还有不同的列式方法吗？请分享你的方法． 师生活动：学生交流展示不同的列函数解析式的方法．例如设商品每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，但用“单件利润×销量”列式：y＝(60＋x－40)(300－10x)；又如设单件商品的定价为x元，每星期售出商品的利润为y元，则单件商品涨价(x－6)元，每星期要少卖10(x－60)件，即每星期商品的销量是[300－10(x－60)]件，y＝x[300－10(x－60)]－40[300－10(x－60)]或(x－40)[300－10(x－60)]，这里自变量x的取值范围是60≤x≤90，x为整数．教师引导学生发现：列式的关键是找到变量间的数量关系，从而建立函数模型． 追问9：请你类比涨价情况的探究过程，求降价情况下的最大利润． 师生活动：学生先独立完成，再交流汇报，教师点评．学生类比涨价的情况：设降价x元，每星期售出商品的利润为y元．则商品单件售价(60－x)元，商品单件利润是(60－x－40)元，每星期商品的销量是(300＋20x)件，因此，每星期售出商品的利润y＝(60－x－40)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6 000，其中，0≤x≤20，x为整数．由二次函数性质可知，当时，y有最大值，但x＝2.5不是整数，不符合自变量取值要求，因此需再根据二次函数的性质，在自变量取值范围内，求得x＝2或3时，y有最大值6 120，也就是说，在降价的情况下，降价2或3元，即定价58或57元时，利润最大，最大利润是6 120元． 追问10：结合以上情况，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 师生活动：学生比较两种情况及现在的销售状况，做出决策：涨价时的最大利润6 250元>降价时的最大利润6 120元＞现在销售状况下的利润6 000元，因此定价65元时，利润最大，最大利润是6 250元．教师呈现完整的解题过程． 设计意图：通过层层追问引导学生探究最大利润问题，兼顾不同学情，让每位学生都学有所获，加深对数量关系的理解，深化对函数模型的认知，归纳运用二次函数解决实际问题的思路与方法，发展模型观念和应用意识． 问题3：回顾解决利润最值问题的探究过程，你认为用二次函数解决实际问题的一般步骤是什么？ 师生活动：教师引导学生基于问题2的探究经验，思考交流后，梳理解决问题的一般方法： （1）建立模型．分析实际问题的数量关系，选择合适的变量建立二次函数解析式，并根据实际意义确定自变量的取值范围．当问题情境存在多种变化规则时，需要分别建立对应的函数模型． （2）求解最值．在自变量的取值范围内，利用函数性质求出最大值或最小值，并验证结果是否符合问题情境． （3）解释决策．结合问题情境解释数学结果，当存在多种可能情况时，需综合比较，做出最优选择． 设计意图：引导学生回顾解题步骤、反思建模关键、提炼思想方法，丰富原有认知结构．进一步培养学生模型观念和应用意识，为解决复杂的实际问题奠定思维基础． 课堂小结 师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）运用二次函数解决最大利润问题的一般步骤是什么？ （2）建立函数模型时，需要注意什么？为什么要分情况讨论？怎样选择合适的变量？ （3）本节课我们用到了哪些数学思想方法？ 设计意图：依托问题引领课堂小结，梳理本节课的知识脉络，归纳解题方法和数学思想，发展学生归纳概括能力与自我反思能力． 课后任务 教科书第53页练习第2题． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $