第1讲·一元二次方程及其解法·培优讲义 ·2026-2027学年人教版九年级数学上册

第1讲·一元二次方程及其解法·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程并化为一般形式，确定各项系数 · 掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法四种解法，能灵活选择合适的方法求解 · 理解根的判别式的意义，能用判别式判断一元二次方程根的情况 · 能根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围，能由方程的根求参数 · 理解一元二次方程根与系数的关系，能利用整体代入求代数式的值 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 判断要点：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0 把方程化为一般形式时，移项合并同类项后按降幂排列，注意各项系数的符号 概念辨析例题：下列方程中，是一元二次方程的是（　　） 答案：x2+3x-1=0 解析：一元二次方程必须满足：整式方程、一个未知数、最高次数2、二次项系数不为0。选项如x2+=0含分式不是整式方程，2x+y=1含两个未知数，x3=1最高次数是3，均不符合；x2+3x-1=0符合定义。 ☆ 2.直接开平方法与因式分解法 直接开平方法：形如x2=p（p≥0）或(x+m)2=n（n≥0）的方程，直接开平方得x=±或x+m=± 因式分解法：把方程化为一边为0、另一边分解成两个一次因式乘积的形式，令每个因式等于0求解 常用因式分解：提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法 换元法：含重复式子的方程，设t换元降次后再解，注意检验根的合理性 概念辨析例题：方程x(x-2)=0的解是（　　） 答案：x1=0，x2=2 解析：用因式分解法：x(x-2)=0，令x=0或x-2=0，解得x1=0，x2=2。注意不能把方程两边同除以x，否则会丢根x=0。 ☆ 3.配方法与公式法 配方法步骤：移常数项→二次项系数化为1→两边加一次项系数一半的平方→写成(x+m)2=n的形式→开平方 公式法：ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式x=，当b2-4ac≥0时有实数根 判别式Δ=b2-4ac：Δ>0方程有两个不相等的实数根；Δ=0有两个相等的实数根；Δ<0无实数根 选择方法：缺一次项优先直接开平方；易分解优先因式分解；不能分解用公式法或配方法 概念辨析例题：用公式法解方程x2-3x+1=0，其根的判别式Δ的值是（　　） 答案：5 解析：a=1，b=-3，c=1，Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=9-4=5。判别式Δ>0，方程有两个不相等的实数根。 ☆ 4.一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1+x2=-，x1x2= 把方程的根代入方程，满足等式成立，可由此求参数或建立关系式 整体代入：已知根的代数式（如x12+x22）可化为(x1+x2)2-2x1x2后用韦达定理求值 常见变形：+=，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 概念辨析例题：若x1、x2是方程x2-2x-3=0的两个根，则x1+x2的值是（　　） 答案：2 解析：由韦达定理，x1+x2=-=-=2。注意符号：两根之和等于一次项系数相反数除以二次项系数。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 整式、一个未知数、最高次数2、a≠0 直接开平方法 x2=p⇒x=±（p≥0） 注意±号，p<0无实数根 因式分解法 ab=0⇒a=0或b=0 不能两边同除以含未知数的式子 配方法 (x+m)2=n⇒x=-m± 配方时加一次项系数一半的平方 公式法 x= 先算判别式Δ，Δ≥0才有实数根 根与系数关系 x1+x2=-，x1x2= 仅用于有两个实数根时，注意符号 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与一般形式（第1-11题） · 识别一元二次方程：看是否整式、是否一个未知数、最高次数是否为2、二次项系数是否不为0 · 化为一般形式：移项、合并、按降幂排列，再读二次项系数、一次项系数、常数项（含符号） · 由定义求参数：根据x的最高次数为2且二次项系数不为0列方程（组）求参数 1．（24-25九年级上·山西晋中·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根据题意可得，然后求出的范围即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：． 2．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程中未知数的最高次数为1，不是二次方程，故该选项不符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元方程，故该选项不符合题意； C、方程不是整式方程，故该选项不符合题意； D、方程中含有1个未知数，且未知数的最高次数为2，且是整式方程，故该方程是一元二次方程，故该选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·北京西城·阶段检测）关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故选：B． 4．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）关于x的方程是一个一元二次方程，则a的取值范围是______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式：得到即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 6．（24-25八年级下·山东东营·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得且，解之即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且． 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据题意可得，且，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 8．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程未知数的最高次数是和二次项的系数不等于解答即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为______． 【答案】5 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 10．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 【答案】/ 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根；同时，二次项系数不能为零． 【详解】解：方程是一元二次方程，因此二次项系数，即． ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 综上，的取值范围为且． 故答案为：且． 【考点2】直接开平方法与因式分解法（第12-19题） · 直接开平方：x2=p或(x+m)2=n形式直接开方，注意±号与p≥0条件 · 因式分解：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘，把方程化为两个一次因式之积等于0 · 换元降次：含重复式子的方程设t换元，解出t后再代回求x，注意检验 12．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）一个三角形的两边长分别为和，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是___． 【答案】13 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系．解一元二次方程得到两个根，根据三角形三边关系判断哪个根符合条件，然后计算周长． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，． 当第三边为2时，，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系； 当第三边为4时，，，，且任意两边之差小于第三边，符合三角形三边关系． 因此周长为． 故答案为：13． 13．（25-26九年级上·北京·阶段检测）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法和因式分解法解一元二次方程． （1）利用直接开平方法，对等式两边直接开平方求解； （2）利用因式分解法，将方程左边分解为两个一次因式的乘积，进而求解． 【详解】（1）解：， ， 当时，，解得， 当时，，解得， 方程的解为：，； （2）解：， ， 则或， 解得． 14．（22-23九年级上·广东东莞·期末）已知与相等，求的值． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据与相等列出方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：根据题意可得：， 整理，得：， 即：， 解得：，， 的值为或． 15．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2） 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次） 【分析】题目主要考查解一元二次方程及分式方程． （1）利用因式分解法求解即可； （2）先去分母，然后解一元二次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：（1） ，， ∴，； （2）解： ， ， 解得， 经检验，是增根，应舍去． 故原方程的解为． 16．（22-23九年级上·江西萍乡·开学考试）阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，利用换元降次求解一元高次方程． （1）设，则原方程化为，进而求解； （2）设，则原方程化为，进而求解； （3）设，则原方程化为，进而求解； 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； （2）设，则原方程化为， 解得， 当时，，，，； 所以原方程的解为，； （3）. 设，则原方程化为， 解得， 当时，，， 解得：，； 当时，， 解得，； 所以原方程的解为，，0， 17．（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图，中，，，，S、Q两点同时分别从A、C出发，点S以每秒2个单位的速度沿着向点C运动，点Q以每秒1个单位的速度沿着向点C运动，设运动时间为x秒，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1) ， （用含x的式子表示）； (2)设的面积为y，点S，Q的运动时间为x秒，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)求经过多少秒，的长为2． 【答案】(1)； (2)； (3)经过秒或2秒时，的长为2 【知识点】列代数式、无理方程、因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，一元二次方程的解法，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，进而表示出，以及，利用勾股定理得出即可； （2）由三角形的面积公式，表示出y与x的函数解析式，并求出x的范围即可； （3）由（1）的结论列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 由运动知，，， ∴， ∵，∴， 故答案为：；； （2）解：由（1）知，，， ∴，x的取值范围是； （3）解：由（1）知，， 若时，则， 解得：， 经检验，均符合题意， ∴经过秒或2秒时，的长为2． 18．（25-26八年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】利用直接开平方法解答即可； 利用公式法解答即可； 把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； （4）解：方程整理成一般式为 ， ∴， ∴或， ∴． 19．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： 或 ， 【考点3】配方法与公式法（第20-29题） · 配方：移项→系数化为1→加一次项系数一半的平方→(x+m)2=n→开平方 · 公式法：先算Δ=b2-4ac，再代入求根公式；Δ<0直接判无实数根 · 两种方法都要注意：配方时左右两边同加，公式法代入时符号别错 20．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 21．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 【答案】D 【知识点】图形类规律探索、公式法解一元二次方程 【分析】根据题意得出前行的点数和公式，进而列一元二次方程求解即可． 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和为． A、若和为100，则，即，解得：，无正整数解，故A不符合题意； B、若和为93，则，即，解得：，无正整数解，故B不符合题意； C、若和为86，则，即，解得：，无正整数解，故C不符合题意； D、若和为78，则，即，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故D符合题意． 22．（25-26九年级上·山东青岛·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．12 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查解一元二次方程---配方法，用配方法把移项，配方，化为，即可得到，从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∵要将一元二次方程转化为的形式， ∴， 故选：C． 23．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解法： （1）利用平方差公式和提公因式法因式分解即可； （2）利用配方法即可求解． 【详解】（1） 解： ，； （2） 解： ，． 24．（23-24九年级上·陕西延安·期末）解方程： 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，先化为一般式，再利用配方法求解即可． 【详解】 ， ∴，． 25．（24-25九年级上·全国·期中）解下列方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ， (2) ， 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得 ． 配方，得 ， 即 ， ， ， ． （2）解：解： ， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， ， ， ． 26．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ，，， ． 则． 即，． （2）解： ， ， ， 或， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 27．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)．（配方法） 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）， ， ∴或， 解得，； （2）， ， ， ， ∴， 解得，． 28．（23-24九年级上·河南许昌·期末）解方程：       用配方法解方程： (1)； (2)； 用公式法解方程： (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握配方法及公式法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）根据配方法解一元二次方程即可得到答案； （3）根据公式法解一元二次方程即可得到答案； （4）根据公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，即，解得， ，； （2）解：， ， ，即，解得， ，； （3）解：， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 29．（2026八年级下·全国·专题练习）用公式法解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2)该方程在实数范围内无解 (3) (4) 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程并正确计算是解题的关键． （1）（2）（3）（4）各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值与0作比较，判断出方程根的情况，当判别式大于等于0时，代入求根公式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）解：， 化简得， ， ， 故该方程在实数范围内无解． （3）解：， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （4）解：， 化简得， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． 【考点4】根的判别式（第30-34题） · Δ=b2-4ac>0⇔两个不等实根；Δ=0⇔两个相等实根；Δ<0⇔无实根 · 判断根的情况：先化一般形式，再算Δ，最后比较符号 · 二次项系数含参数时，注意a≠0的前提条件 30．（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】对于一元二次方程，判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根；据此即可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 31．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 32．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）已知，是抛物线 上的两点．其对称轴是直线，若 时，总有 ，同一坐标系中有，． 且抛物线与线段有两个不相同的交点，则a的取值范围是 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象上的点的特征等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先利用待定系数法求出的解析式，根据二次函数的性质得出时，，且，进一步利用求解即可． 【详解】解∶设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得∶， 直线的解析式为， ，是抛物线上的两点， 其对称轴是直线， 若时，总有， ． 抛物线与线段有两个不相同的交点， 时，，且抛物线与直线有交点， ，解得：． 令，整理得：． ， ， ， 故选∶C． 33．（2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线经过第一、三、四象限，则关于x的方程的实根的情况是（     ） A．与a的取值有关 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．利用一次函数的性质得到，再判断，从而得到方程根的情况． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 34．（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 【答案】 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 没有实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先确定每个一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再计算根的判别式的值，根据判别式与0的大小关系判断根的情况． 【详解】解：①方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ②方程中，，，， ，因此该方程有两个相等的实数根； ③方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ④方程中，，，， ，因此该方程没有实数根． 【考点5】由根的情况求参数及由解求参数（第35-43题） · 由根的情况求参数：Δ的符号条件列不等式（组）求参数范围 · 由解求参数：把已知的根代入方程建立等式求参数，再回代验证 · 两实根不等（Δ>0）与无实根（Δ<0）要区分，勿混用等号 35．（23-24九年级下·河南周口·阶段检测）若方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， ∴， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 36．（23-24八年级下·北京平谷·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数，的值可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程，根的判别式；当一元二次方程有两个不相等的实数根，则，即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， A、，， ∴， ∵的方程中， ∴A不符合题意； B、，， ∴，不符合题意； C、，， ∴，不符合题意； D、，， ∴，符合题意； 故选：D． 37．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知等腰的一边，另外两边是关于的一元二次方程的根．则的周长为（   ） A．11或19 B．15或13 C．11或15 D．19或13 【答案】A 【知识点】一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的解法以及等腰三角形的定义是解题的关键． 根据题意分为为腰和底两种情况，当为腰时，方程的一个根为5，代入方程求出m的值，再进行解方程；当为底时，则方程有两个相同的实数根，再进行计算即可． 【详解】解：①当为腰时，则另一腰为5， 即， 解得，， 当时，， 解得，， ∴的周长为； 当时，， 解得，， ∴的周长为； ②当为底时，则方程有两个相同的实数根， 即， 此时不符合题意， 综上所述，的周长为11或19， 故选：A． 38．（25-26九年级上·江西宜春·期中）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2023 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，利用一元二次方程根的定义，得到的值，然后整体代入代数式求值． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴， ∴， ∴． 39．（2023·吉林白城·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据求解即可． 【详解】∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 故答案为 40．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）若是关于x的一元二次方程的一个根，则___________． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值，属于基础题型，关键在于理解方程的根的概念．直接把代入方程，即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得，． 故答案为：． 41．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，当时，原方程为一元一次方程，解方程可知有实数根；当时， 原方程为一元二次方程，利用根的判别式求解即可． 【详解】解：当时，原方程为，解得，此时方程有实数根； 当时，则， 解得， 综上所述，， 故答案为：． 42．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 43．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是___________． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解一元二次方程——直接开平方法等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过已知方程的解求出参数m的值及a与b的关系，然后代入新方程求解． 【详解】解：由方程的解为，， 代入得和． 两式相减可得， 开方，得：或(不成立)， 即， 整理得， 所以． 将代入，得， 即． 将和代入方程， 得， 即， 整理得． 由于， 两边除以得， 即， 解得∶，． 故答案为：，． 【考点6】根与系数关系与整体代入（第44-52题） · 韦达定理：x1+x2=-，x1x2=，先化一般形式再取系数 · 整体代入：x12+x22、+等代数式化为两根和、积的表达式 · 综合问题：与判别式联用，先保证方程有实根再使用韦达定理 44．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理，求出一元二次方程的解是解题的关键．先解一元二次方程求出菱形的对角线，再根据菱形对角线垂直且互相平分及勾股定理求解即可． 【详解】解方程得， 或（舍去）， 即另一条对角线长是6， 菱形的一条对角线长为8， 菱形的边长． 故选：D． 45．（2026·河南平顶山·三模）如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，将沿折叠，使点B的对应点G落在边上，且．若，则的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】过点G作，交BC的延长线于点H．设，则．先根据含30度的直角三角形性质得到，．再利用线段和差关系得到，再利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：过点G作，交BC的延长线于点H．设，则． 四边形为菱形， ，． ． ，． ， ． ． 由折叠的性质，得． 在中，，即， 解得（不合题意，已舍去）． ． 46．（21-22八年级下·江苏南通·期中）若a是的一个根，则的值是______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据题意得出，整体代入，即可求解． 【详解】解：∵a是的一个根， ∴ ∴ ∴． 47．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】将已知方程变形得，根据方程的解可将代入方程，即可求解，本题主要考查一元二次方程的解的运用，理解并掌握方程的解的计算方法是解题的关键． 【详解】解：已知， ∴， ∵是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 48．（2025·山东临沂·二模）若a、b分别是关于x的方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2024 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据方程的根得到，，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：a、b分别是关于x的方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：． 49．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，是一元二次方程的两根，求的值为_____ 【答案】100 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，求出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 50．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理为，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 51．（23-24九年级上·四川成都·期中）（1）计算： （2）解方程：； （3）解不等式组． 【答案】（1）2；（2），；（3）． 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、因式分解法解一元二次方程、求不等式组的解集 【分析】本题考查了实数的运算，利用因式分解法解一元二次方程，求不等式组的解集． （1）根据实数的运算法则计算即可求解； （2）利用因式分解法求解即可； （3）先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴或， ∴，； （3）解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 52．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段检测）已知关于的一元二次方程的两根是一个矩形的两邻边的长． (1)求证：不论实数取何值，方程总有实数根． (2)当矩形的对角线长为时，求的值． 【答案】(1) 证明： ， 无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，矩形的性质，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，从而判断根的情况； （）设矩形的两边长分别为，，由题意得，，则，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）略 （2）解：设矩形的两边长分别为，， 由题意，得，， ， ， 解得，， ，， ， 的值为． 💯 课后巩固 复习建议 · 识别方程先看四要素：整式、一个未知数、最高次数2、二次项系数不为0 · 四种解法按特征选：缺一次项用直接开平方，易分解用因式分解，通用用公式法 · 配方法关键是加一次项系数一半的平方，左右两边都要加 · 用韦达定理前先确认方程有实数根（Δ≥0） · 求参数问题先列判别式不等式，注意a≠0前提 【作业1】．（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的基本概念去判断确定． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为， 故选：D． 【作业2】．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况． 先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【作业3】．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）用配方法将一元二次方程变形，下列变形过程错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法解一元二次方程并能熟练运用求解． 原方程通过配方法变形，需确保每一步变形等价．选项C在配方过程中右边未相应加4，导致错误． 【详解】解：原方程： 两边同时除以2，得：（选项A正确） 移项得：（选项B正确） 配方时，两边应同时加4：， 即 但选项C为， 右边未加4， 故错误． 选项D为， 由正确配方得到， 故正确． 故选：C． 【作业4】．（专题05根与系数的关系（8大类型精准练 过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版））已知一元二次方程的两根为：，则这个方程是_____． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题主要考查了一元二次方程的求解的逆向应用，解该题的关键是要掌握因式分解法解一元二次方程时，灵活分解因式．根据一元二次方程的根的定义以及一元二次方程的解法，利用因式分解法解一元二次方程的方法求出即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为：， 这个方程是：， ． 故答案为：． 【作业5】．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知，是关于的方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】2025 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．根据一元二次方程的解，根与系数的关系，可得，，再把原式变形为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ，是关于的方程的两个实数根， ∴ ，， ∴， ∴ ． 故答案为：2025 【作业6】．（22-23八年级上·浙江绍兴·期中）下列说法中：①同角的补角相等 ；②三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在的直线的距离相等；③两个无理数的和仍是无理数；④若，则；⑤三角形的三条高线一定交于三角形内一点．其中真命题有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】无理数、因式分解法解一元二次方程、根据三角形中线求面积、判断命题真假 【分析】本题考查了几何与代数的综合，涉及补角、三角形的高、无理数、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟知相关知识点．同角的补角相等；三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分；两个无理数的和仍不一定是无理数；三角形的三条高线交于一点，据此进行判断即可． 【详解】同角的补角相等，故①正确； 三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分，因此三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在的直线的距离相等，故②正确； 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如与的和为0，故③错误； 若，则或0，故④错误； 锐角三角形的三条高线交于三角形内一点，而直角三角形和钝角三角形的三条高线分别交于三角形直角顶点和形外一点，故⑤错误； 故选：B． 【作业7】．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是________． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解∶ 一元二次方程的常数项是， 故答案为： ． 【作业8】．（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 , ∵一元二次方程的两根分别为，, ∴可得或, 解得，, ∴一元二次方程的两根分别为，． 【作业9】．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）已知直线和双曲线在坐标平面内交于两点和，则的值是______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程． 利用交点坐标得到等式，计算求出，求出k的值，代入点和点判断是否成立即可． 【详解】解：∵直线和双曲线在坐标平面内交于点和点， ∴，，，即， 将代入得：， 即， 解得：， ∵， ∴或． 当时，，即，，重合，不合题意； 当时，，即，，不重合，符合题意； ∴． 故答案为：． 【作业10】．（25-26九年级上·河南周口·期末）若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 将代入方程，求解k的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得． 故选：B． 【作业11】．（25-26九年级上·吉林白山·期末）已知是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2026 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入方程得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴将代入方程，得， 移项，得， 将代入． 【作业12】．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为______． 【答案】/60度 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，从而可求出α的余弦值，然后根据特殊角的三角函数值确定α的度数． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【作业13】．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用配方法解一元二次方程，得，则的值为_______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为的形式，得到和的值，再计算即可 【详解】解：，移项得， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得，即，对比，得，， 【作业14】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查的是用直接开方法解一元二次方程，解题的关键是将方程化成的形式； 利用直接开平方法解方程，通过移项，系数化为1，将方程进行变形成上述形式，再进行开方，即可得出答案. 移常数项，二次项系数化为，直接开平方，即可求解； 移常数项后直接开平方，求出的值后再求. 【详解】【小题1】移项，得， 【小题2】移项，得， 【作业15】．（23-24九年级上·河北邢台·阶段检测）用适当的方法解下列方程． (1)； (2). 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可； 【详解】（1） ， （2） ， 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，选择合理的方法解方程式解题的关键． 【作业16】．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程： 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，， ∴ 解得，． 【作业17】．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点，如果将其坐标作如下变换；，进而得到，则称为点的“对称点”．例如：点的“变换点”是点的变换点是点，点的“变换点”是． (1)点的变换点的坐标是 ； (2)若抛物线上存在点的“变换点”，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查图形与坐标及二次函数的图象与性质，熟练掌握图形与坐标及二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据题干所给新定义可直接进行求解； （2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质及一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点的变换点的坐标是； 故答案为； （2）解：当时，由得， 若此时二次函数的图象上存在点的变换点， 则， ， 解得或（不合题意，舍去）． ， 当时，由得． 若此时二次函数的图象上存在点的变换点， 则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， 综上，或． 【作业18】．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在四边形中，，点在上，连接，点关于直线的对称点在四边形内部，射线交边于点，连接，射线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分， ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②求的值． 【答案】(1)证明：由轴对称的性质可得， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； (2)①解：，理由如下： 由轴对称的性质可得，， ∵ ， ∴， ∴； ∵平分， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； ② 【知识点】公式法解一元二次方程、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由轴对称的性质可得，可证明，得到，据此可证明四边形为平行四边形； （2）①由轴对称的性质可得，，则可证明，得到；可证明，得到；设，则；根据三角形内角和定理可求出，可证明，得到，则；证明，得到，则可证明；②设，则，可得，；证明，可推出，进而得到；证明，得到；再证明，得到；由勾股定理得，则可得到，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略； ②设， 由（2）①得， ∴， ∴； 由（2）①得， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 由（2）①可得， ∴， ∴， ∴； 由平行四边形的性质可得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴ ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲·一元二次方程及其解法·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程并化为一般形式，确定各项系数 · 掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法四种解法，能灵活选择合适的方法求解 · 理解根的判别式的意义，能用判别式判断一元二次方程根的情况 · 能根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围，能由方程的根求参数 · 理解一元二次方程根与系数的关系，能利用整体代入求代数式的值 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 判断要点：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0 把方程化为一般形式时，移项合并同类项后按降幂排列，注意各项系数的符号 概念辨析例题：下列方程中，是一元二次方程的是（　　） 答案：x2+3x-1=0 解析：一元二次方程必须满足：整式方程、一个未知数、最高次数2、二次项系数不为0。选项如x2+=0含分式不是整式方程，2x+y=1含两个未知数，x3=1最高次数是3，均不符合；x2+3x-1=0符合定义。 ☆ 2.直接开平方法与因式分解法 直接开平方法：形如x2=p（p≥0）或(x+m)2=n（n≥0）的方程，直接开平方得x=±或x+m=± 因式分解法：把方程化为一边为0、另一边分解成两个一次因式乘积的形式，令每个因式等于0求解 常用因式分解：提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法 换元法：含重复式子的方程，设t换元降次后再解，注意检验根的合理性 概念辨析例题：方程x(x-2)=0的解是（　　） 答案：x1=0，x2=2 解析：用因式分解法：x(x-2)=0，令x=0或x-2=0，解得x1=0，x2=2。注意不能把方程两边同除以x，否则会丢根x=0。 ☆ 3.配方法与公式法 配方法步骤：移常数项→二次项系数化为1→两边加一次项系数一半的平方→写成(x+m)2=n的形式→开平方 公式法：ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式x=，当b2-4ac≥0时有实数根 判别式Δ=b2-4ac：Δ>0方程有两个不相等的实数根；Δ=0有两个相等的实数根；Δ<0无实数根 选择方法：缺一次项优先直接开平方；易分解优先因式分解；不能分解用公式法或配方法 概念辨析例题：用公式法解方程x2-3x+1=0，其根的判别式Δ的值是（　　） 答案：5 解析：a=1，b=-3，c=1，Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=9-4=5。判别式Δ>0，方程有两个不相等的实数根。 ☆ 4.一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1+x2=-，x1x2= 把方程的根代入方程，满足等式成立，可由此求参数或建立关系式 整体代入：已知根的代数式（如x12+x22）可化为(x1+x2)2-2x1x2后用韦达定理求值 常见变形：+=，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 概念辨析例题：若x1、x2是方程x2-2x-3=0的两个根，则x1+x2的值是（　　） 答案：2 解析：由韦达定理，x1+x2=-=-=2。注意符号：两根之和等于一次项系数相反数除以二次项系数。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 整式、一个未知数、最高次数2、a≠0 直接开平方法 x2=p⇒x=±（p≥0） 注意±号，p<0无实数根 因式分解法 ab=0⇒a=0或b=0 不能两边同除以含未知数的式子 配方法 (x+m)2=n⇒x=-m± 配方时加一次项系数一半的平方 公式法 x= 先算判别式Δ，Δ≥0才有实数根 根与系数关系 x1+x2=-，x1x2= 仅用于有两个实数根时，注意符号 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与一般形式（第1-11题） · 识别一元二次方程：看是否整式、是否一个未知数、最高次数是否为2、二次项系数是否不为0 · 化为一般形式：移项、合并、按降幂排列，再读二次项系数、一次项系数、常数项（含符号） · 由定义求参数：根据x的最高次数为2且二次项系数不为0列方程（组）求参数 1．（24-25九年级上·山西晋中·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 2．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·北京西城·阶段检测）关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）关于x的方程是一个一元二次方程，则a的取值范围是______． 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）将一元二次方程化为一般式为______． 6．（24-25八年级下·山东东营·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则______． 7．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 8．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 9．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为______． 10．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 11．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【考点2】直接开平方法与因式分解法（第12-19题） · 直接开平方：x2=p或(x+m)2=n形式直接开方，注意±号与p≥0条件 · 因式分解：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘，把方程化为两个一次因式之积等于0 · 换元降次：含重复式子的方程设t换元，解出t后再代回求x，注意检验 12．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）一个三角形的两边长分别为和，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是___． 13．（25-26九年级上·北京·阶段检测）解方程： (1) (2)． 14．（22-23九年级上·广东东莞·期末）已知与相等，求的值． 15．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）（1）解方程：； （2）解方程：． 16．（22-23九年级上·江西萍乡·开学考试）阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 17．（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图，中，，，，S、Q两点同时分别从A、C出发，点S以每秒2个单位的速度沿着向点C运动，点Q以每秒1个单位的速度沿着向点C运动，设运动时间为x秒，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1) ， （用含x的式子表示）； (2)设的面积为y，点S，Q的运动时间为x秒，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)求经过多少秒，的长为2． 18．（25-26八年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 19．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）解方程： (1) (2) 【考点3】配方法与公式法（第20-29题） · 配方：移项→系数化为1→加一次项系数一半的平方→(x+m)2=n→开平方 · 公式法：先算Δ=b2-4ac，再代入求根公式；Δ<0直接判无实数根 · 两种方法都要注意：配方时左右两边同加，公式法代入时符号别错 20．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 21．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 22．（25-26九年级上·山东青岛·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．12 23．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 24．（23-24九年级上·陕西延安·期末）解方程： 25．（24-25九年级上·全国·期中）解下列方程： (1) ； (2) ． 26．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 27．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)．（配方法） 28．（23-24九年级上·河南许昌·期末）解方程：       用配方法解方程： (1)； (2)； 用公式法解方程： (3)； (4)． 29．（2026八年级下·全国·专题练习）用公式法解方程： (1) (2) (3) (4)． 【考点4】根的判别式（第30-34题） · Δ=b2-4ac>0⇔两个不等实根；Δ=0⇔两个相等实根；Δ<0⇔无实根 · 判断根的情况：先化一般形式，再算Δ，最后比较符号 · 二次项系数含参数时，注意a≠0的前提条件 30．（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 31．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 32．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）已知，是抛物线 上的两点．其对称轴是直线，若 时，总有 ，同一坐标系中有，． 且抛物线与线段有两个不相同的交点，则a的取值范围是 （      ） A． B． C． D． 33．（2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线经过第一、三、四象限，则关于x的方程的实根的情况是（     ） A．与a的取值有关 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 34．（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 【考点5】由根的情况求参数及由解求参数（第35-43题） · 由根的情况求参数：Δ的符号条件列不等式（组）求参数范围 · 由解求参数：把已知的根代入方程建立等式求参数，再回代验证 · 两实根不等（Δ>0）与无实根（Δ<0）要区分，勿混用等号 35．（23-24九年级下·河南周口·阶段检测）若方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A． B．0 C．2 D．4 36．（23-24八年级下·北京平谷·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数，的值可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 37．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知等腰的一边，另外两边是关于的一元二次方程的根．则的周长为（   ） A．11或19 B．15或13 C．11或15 D．19或13 38．（25-26九年级上·江西宜春·期中）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2023 B．2025 C．2026 D．2027 39．（2023·吉林白城·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______． 40．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）若是关于x的一元二次方程的一个根，则___________． 41．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 42．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 43．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是___________． 【考点6】根与系数关系与整体代入（第44-52题） · 韦达定理：x1+x2=-，x1x2=，先化一般形式再取系数 · 整体代入：x12+x22、+等代数式化为两根和、积的表达式 · 综合问题：与判别式联用，先保证方程有实根再使用韦达定理 44．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 45．（2026·河南平顶山·三模）如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，将沿折叠，使点B的对应点G落在边上，且．若，则的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 46．（21-22八年级下·江苏南通·期中）若a是的一个根，则的值是______． 47．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ______． 48．（2025·山东临沂·二模）若a、b分别是关于x的方程的两个实数根，则的值是______． 49．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，是一元二次方程的两根，求的值为_____ 50．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为______． 51．（23-24九年级上·四川成都·期中）（1）计算： （2）解方程：； （3）解不等式组． 52．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段检测）已知关于的一元二次方程的两根是一个矩形的两邻边的长． (1)求证：不论实数取何值，方程总有实数根． (2)当矩形的对角线长为时，求的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 识别方程先看四要素：整式、一个未知数、最高次数2、二次项系数不为0 · 四种解法按特征选：缺一次项用直接开平方，易分解用因式分解，通用用公式法 · 配方法关键是加一次项系数一半的平方，左右两边都要加 · 用韦达定理前先确认方程有实数根（Δ≥0） · 求参数问题先列判别式不等式，注意a≠0前提 【作业1】．（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【作业3】．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）用配方法将一元二次方程变形，下列变形过程错误的是（     ） A． B． C． D． 【作业4】．（专题05根与系数的关系（8大类型精准练 过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版））已知一元二次方程的两根为：，则这个方程是_____． 【作业5】．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知，是关于的方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【作业6】．（22-23八年级上·浙江绍兴·期中）下列说法中：①同角的补角相等 ；②三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在的直线的距离相等；③两个无理数的和仍是无理数；④若，则；⑤三角形的三条高线一定交于三角形内一点．其中真命题有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业7】．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是________． 【作业8】．（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【作业9】．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）已知直线和双曲线在坐标平面内交于两点和，则的值是______． 【作业10】．（25-26九年级上·河南周口·期末）若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【作业11】．（25-26九年级上·吉林白山·期末）已知是方程的一个实数根，则的值为________． 【作业12】．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为______． 【作业13】．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用配方法解一元二次方程，得，则的值为_______． 【作业14】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【作业15】．（23-24九年级上·河北邢台·阶段检测）用适当的方法解下列方程． (1)； (2). 【作业16】．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程： 【作业17】．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点，如果将其坐标作如下变换；，进而得到，则称为点的“对称点”．例如：点的“变换点”是点的变换点是点，点的“变换点”是． (1)点的变换点的坐标是 ； (2)若抛物线上存在点的“变换点”，求的取值范围． 【作业18】．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在四边形中，，点在上，连接，点关于直线的对称点在四边形内部，射线交边于点，连接，射线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分， ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $