第1讲：一元二次方程的解（技法概要+8种题型精讲+培优小检测）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的解这一核心知识点，先明确根的定义，再通过定义法、整体法、消参法等8类题型构建从基础到综合的学习支架，系统梳理解题技法与应用脉络。 资料以“例题精讲+变式训练”为特色，通过具体题型如整体法代入求值，培养学生运算能力与推理意识。检测题分层设计，课中助力教师教学，课后帮助学生自主查漏补缺，提升数学语言表达与问题解决能力。

9上培优第1讲：一元二次方程的解 —— 技法概要 —— 什么叫作一元二次方程的根？ 使一元二次方程左右两边__相等__的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根. —— 题型精讲 —— 题型1 有解代解——定义法 【例1】关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　） A．1 B． C．1或 D． 【解析】解：根据题意得：且， 解得：． 故选：． 【变式1】已知方程的一个根是，且，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D． 【变式2】若关于的一元二次方程有一个根为0，则等于　　 ． 题型2 有解代解——整体法 【例2】若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．2 B． C．5 D． 【解析】解：将代入方程，得 ， 解得． 观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 【变式3】如果是一元二次方程的一个根，那么多项式的值等于（　　） A． B． C．2023 D．2027 题型3 有解代解——消参法 【例3】若方程的两个根为，则　　． 【解析】解：根据题意将代入方程，得：①， 将代入方程得：②， ①②得：，即， 故答案为：0． 【变式4】已知关于的方程有两个根分别为2和，则b=　　． 题型4 有解代解——降次法 【例4】已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 　　． 【解析】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ，， ， ． 故答案为：0． 【变式5】如果是方程的一个根，那么代数式的值为　　 ． 【变式6】一元二次方程的一个实数根是，则的值为　　 ． 题型5 有解代解——换元法 【例5】若关于的一元二次方程的其中一根为，则关于的方程的其中一个根为　　 ． 【解析】解：由条件可得：， 由于方程的其中一根为， 则， 解得， 因此，关于的方程的其中一个根为2026． 故答案为：2026． 【变式7】若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为　　 ． 题型6 有参定根——与参无关 【例6】关于x的一元二次方程，必有一根为 . 【解析】解:原方程变形为(x²−1)a+x+1=0,当x²−1=0,且x+1=0时,即x=−1时,满足条件. 【变式8】关于x的一元二次方程，必过有一根为 . 题型7 有参定根——比较系数 【例7】若，则关于的一元二次方程必有一根为 　　． 【解析】解：把代入方程得， 所以若，，关于的一元二次方程必有一根为． 故答案为：． 【变式9】在一元二次方程中，实数，，满足，则此方程必有一根为　　 ． 题型8 同根方程——设根消参 【例8】如果两个一元二次方程与有且只有一个根相同，那么的值是（　　） A．1 B．2 C． D．1或 【解析】解：设它们相同的根为， 由题意得：①，②， ①②得：， ， 有且只有一个值， ， ， 把代入①得：， 解得：k=-2， 故选：． 【变式10】若两个关于的一元二次方程和有且只有一个相同的实数根，则的值为　　 ． —— 培优小检测 —— (时间：40分钟 满分：60分） 一．选择题（每小题2分，共16分） 1．关于的一元二次方程的常数项被墨迹覆盖，已知是该方程的一个解，则被墨迹覆盖的常数为（　　） A． B． C．0 D．1 2．若是方程的解，则的值是（　　） A．1 B． C．0 D． 3．关于的一元二次方程的一个根为1，则在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（　　） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有一根为2020，则方程必有根为（　　） A．2021 B．2020 C．2019 D．2015 6．若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A．0 B．1 C． D．1或 7．已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（　　） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每小题3分，共12分） 9．已知方程有一个根是，则代数的值为 　　． 10．已知是一元二次方程的一个根，则的值为　　 ． 11．若一元二次方程的两根为，，则的值为　　 ． 12．已知为方程的一个根，那么的值为　　 ． 三．解答题（共32分） 13．（6分）先化简．再求值：．其中是方程的解． 14．（8分）如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． （1）判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． （2）已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 15．（9分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的”倒方程”是　　 ； （2）若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，求的值 16．（9分）阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得．化简，得．故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式） （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； （2）已知关于的一元二次方程、、为常数，有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． （变式）参考答案 【变式1】【解析】解：已知方程的一个根是，且， ， ， ， ， 故选：． 【变式2】【解析】解：若关于的一元二次方程有一个根为0， 则， 因式分解得：， 解得：，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】【解析】解：将代入原方程得：， ， 原式． 故选：． 【变式4】【解析】解：把代入方程得， 把代入方程得． 故答案为：0，0． 【变式5】【解析】解：由条件可知，即， ． 故答案为：36． 【变式6】【解析】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：2026． 【变式7】【解析】解：把一元二次方程， 整理得． 设，则． 由条件可知有一个根为， ， 解得， 一元二次方程必有一个根为． 故答案为：． 【变式8】解：， 令，x+2=0 得， 该方程必有一根x=-2． 【变式9】【解析】解：在一元二次方程中，实数，，满足， 当时，方程可变为， 此方程必有一根为， 故答案为：． 【变式10】【解析】解：两个关于的一元二次方程和有且只有一个相同的实数根， 可设相同实数根为， 得到，① ，② ①②得：， 当时， 解得（不合题意舍去）， 当时， 解得， 将代入①，得， 解得， 即的值为2， 故答案为：2． 自我评价小检测 1．【解析】解：关于的一元二次方程的常数项被墨迹覆盖， 设常数项为，将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 2．【解析】解：是关于的方程的解， ， ， 故选：． 3．【解析】解：由条件可得：， ， 在第二象限． 故选：． 4．【解析】解：把代入方程左边，得， 又已知， 当时，方程左右两边相等， 是该一元二次方程的一个根． 故选：． 5．【解析】解：由得到， 对于一元二次方程， 设， 所以， 而关于的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 故选：． 6．【解析】解：方程为一元二次方程， ， ． 将代入，得：， 解得，（不合题意，舍去）． 故选：． 7．【解析】解：已知关于的方程， 则或， 那么或， 关于的方程与有相同的解， 的解为或， ，， 则， 那么或， 则或， 当时，，满足， 综上，， 故选：． 8．【解析】解：是若关于的一元二次方程的一个根， ， ， ， 是方程的一个根， 故选：． 二．填空题（共4小题） 9．【解析】解：方程有一个根是， ， ， ． 故答案为：2024． 10．【解析】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：3． 11．【解析】解：，是一元二次方程的两根， ，， ，， 原式． 故答案为：3． 12．【解析】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共4小题） 13．【解析】解：原式 ； 是方程的解， ，即， 原式． 14．【解析】解：（1）该方程是“和美方程”，理由如下， 当时，方程左边，右边， 左边右边， 是该方程的解， 该方程是“和美方程”； （2）由题意得：， ， ， ， ， 的最小值为33． 15．【解析】解：（1）由题意得：一元二次方程的倒方程是：， 故答案为：； （2）由题意得：一元二次方程的倒方程是， 是方程的一个实数根， ， ， ． 16．【解析】解：（1）设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程得：， 故所求方程为． （2）设所求方程的根为，则， 所以． 由条件可得． 去分母得． 若，则有，即， 可得有一个解为，因为要求方程有两个不为0的根，所以不符合题意． 故，故所求方程为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $