微专题 例析对数的定义及其运算 教材解读与拓展讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学讲义通过知识框架系统梳理对数的定义、性质、运算法则及换底公式，用对比表格呈现指数与对数运算性质的内在联系，突出真数取值限制、换底公式应用等重难点，构建“概念-性质-运算-应用”的递进知识脉络。 讲义亮点在于“分层题型+实际建模”的练习设计，如通过“遗忘曲线”模型题（例21）引导学生用数学眼光分析现实问题，结合换底公式证明题（例16）培养逻辑推理能力。每个题型配易错点提醒和解题模板，基础生可掌握运算规则，优秀生能探究综合创新题，助力教师实施精准分层教学，提升学生数学思维与应用意识。

【原卷版】 微专题 例析对数的定义及其运算 对数是指数的逆运算，沪教版教材中定义：若（，且），则数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数；有取值限制：，体现对数仅能处理正数，这是解题易错点。常用对数：、自然对数：是两类特殊对数； 对数运算核心依托三条运算法则：积、商、幂的对数转化，以及换底公式；运算法则可将乘除、乘方运算转化为加减运算，实现简化计算；换底公式是不同底数对数互化的关键，常用于化简求值、比较对数大小； 实际应用上，对数适合刻画指数增长类问题，如增长率、半衰期、分贝、等实际模型；同时常结合函数单调性比较数值大小，也会和方程、不等式综合出题；学习时不能机械套用公式，要立足指数与对数的互化关系理解本质，区分公式适用条件，规避真数小于等于、底数不合要求等错误，灵活转化式子解决化简、求值与实际建模问题。 1、对数的概念 如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数； 2、对数的性质 当（，且）时； ①零和负数没有对数；②；③；④；⑤； 3、对数的运算法则 当时； ①正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；； 推广：； ②两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；； ③正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；； 4、对数的换底公式 当（，且，）时； 5、对数运算的一些结论 ① ；② ；③ ； 题型1、有关对对数的概念的理解 例1、对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、对于下列说法： （1）零和负数没有对数； （2）任何一个指数式都可以化成对数式； （3）以10为底的对数叫做自然对数； （4）以e为底的对数叫做常用对数． 其中错误说法的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2、与对数相关的求值、化简 例3、下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 例4、化简：__________. 题型3、指数式与对数式互化及其应用 例5、已知，则的值为 例6、有以下四个结论：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的是（     ） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 题型4、对数的运算性质的应用 例7、已知，且，则________． 例8、等于 题型5、利用对数恒等式化简求值 例9、声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为（     ） A． B． C． D． 例10、（1）已知，，试用表示； （2）已知，，试用表示． 题型6、一类与对数有关方程的求解问题 例11、方程的实数解为__________. 例12、若，则的值是 题型7、由已知对数求解未知对数式 例13、若，且，则的值为__________. 例14、若，，则（     ） A． B． C． D． 题型8、运用换底公式化简计算 例15、十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，，则_______． 例16、（1）证明对数换底公式：（其中且，且，） （2）已知，试用表示. 题型9、证明常见的对数恒等式 例17、设均为正数，且均不为1.求证：. 例18、设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 题型10、有关对数定义与运算的综合题 例19、已知（）且，则实数的值为_______________. 例20、的最大值为（      ） A． B． C． D． 题型11、与对数有关的应用题 例21、德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（     ）（参考数据：，） A．0.2小时 B．0.5小时 C．0.8小时 D．2小时 例22、生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，若，则（     ） A． B． C． D． 题型12、与对数有关的创新题 例23、（1）已知，，，证明：； （2）已知，，，且，若恒成立，求实数k的最大值； 例24、（1）对于问题：已知，求的值，有同学给出如下解答： 由，可得，所以，即，解得，或，所以或.由于或均满足，故的值为1或4. 该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正（写出正确的解答过程及结果）. （2）计算：. 1、特殊对数 （1）常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把记作； （2）自然对数：在科学技术中常用以无理数e=2.718 28···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把记作； 2、对数与指数的互化关系 当，且时， （1）由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其数量关系如下表： 式子 名称 意义 a x N 指数式 底数 指数 幂 a 的x幂等于N 对数式 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于x （2）在对数中规定的原因： ①若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子没有实数解，所以不存在，因此规定a不能小于0； ②当a＝0，N≠0,时，x不存在；当a=0,N≠0时，x有无数个值，不能确定，因此规定a≠0； ③当a=1,且N≠1时，x不存在；而当a=1,N=1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；. 指数式与对数式的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段； 3、由对数的概念可得到如下性质： （1）负数和零没有对数； （2）以a(a＞0,且a≠1)为底的对数是0，即； （3）底数的对数是1，即； （4）对数恒等式； 因为由,得，所以将代入上式，可得； （5），因为,所以； 【注意】1、利用对数的基本性质时，要注意其成立的前提条件；2、要理解基本性质的具体内容，防止应用时出现错误. 4、由对数的运算性质： 如果，那么： （1）；（2）;（3）. 【辨析】（1）指数与对数的运算性质对比表： 指数 对数 性质 （）2对数的运算性质口诀：积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前。 5、由对数的换底公式： （1）公式：； （2）换底公式的常用推论 ①；②；③；④； 【说明】换底公式的作用：1、换底公式是进行对数运算的重要基础，利用它可以将对数运算转化为我们所需要的对数来计算；2、对数的运算性质都是在同底之下成立的，对数的换底公式是把异底的对数化成同底的对数，在不同底的对数之间建立了一座桥梁； 1．若，则（     ） A． B． C． D． 2．设，那么m等于（     ） A． B．9 C．18 D．27 3．设为正实数，已知，则的值为（     ） A．7 B． C．3 D． 4．方程的解集是（     ） A． B． C． D． 5．（1）通常我们将_________的对数叫做常用对数，并把记为． （2）在科学技术中常用以无理数…为底数的对数， _________的对数称为自然对数，并且把记为． 6．化简：＝________． 7．计算：______． 8．计算结果是__________． 9．已知，则______． 10．若，则______． 11．代数式有意义时，求x的取值范围； 12．（1）若，，求的值； （2）求的值. 【解析版】 微专题 例析对数的定义及其运算 对数是指数的逆运算，沪教版教材中定义：若（，且），则数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数；有取值限制：，体现对数仅能处理正数，这是解题易错点。常用对数：、自然对数：是两类特殊对数； 对数运算核心依托三条运算法则：积、商、幂的对数转化，以及换底公式；运算法则可将乘除、乘方运算转化为加减运算，实现简化计算；换底公式是不同底数对数互化的关键，常用于化简求值、比较对数大小； 实际应用上，对数适合刻画指数增长类问题，如增长率、半衰期、分贝、等实际模型；同时常结合函数单调性比较数值大小，也会和方程、不等式综合出题；学习时不能机械套用公式，要立足指数与对数的互化关系理解本质，区分公式适用条件，规避真数小于等于、底数不合要求等错误，灵活转化式子解决化简、求值与实际建模问题。 1、对数的概念 如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数； 2、对数的性质 当（，且）时； ①零和负数没有对数；②；③；④；⑤； 3、对数的运算法则 当时； ①正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；； 推广：； ②两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；； ③正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；； 4、对数的换底公式 当（，且，）时； 5、对数运算的一些结论 ① ；② ；③ ； 题型1、有关对对数的概念的理解 例1、对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【提示】主要理解对数的定义； 【答案】C； 【解析】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 【说明】本题主要考查了对对数的概念的理解； 例2、对于下列说法： （1）零和负数没有对数； （2）任何一个指数式都可以化成对数式； （3）以10为底的对数叫做自然对数； （4）以e为底的对数叫做常用对数． 其中错误说法的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【提示】由对数的相关概念可判断四个命题是否正确； 【答案】C； 【解析】只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N⇔x＝logaN，故（2）错误．由定义可知（3）（4）均错误．只有（1）正确． 故选:C； 【说明】本题主要考查了对对数的概念判断与求值； 题型2、与对数相关的求值、化简 例3、下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【提示】利用对数运算法则逐项判断即得； 【答案】C； 【解析】对于A，，A是； 对于B，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D是. 故选：C； 【说明】本题考查了利用对数的运算性质进行化简； 例4、化简：__________. 【提示】利用对数的运算法则计算即可； 【答案】； 【解析】原式 故答案为： 【说明】本题考查了利用对数的运算性质进行求值； 题型3、指数式与对数式互化及其应用 例5、已知，则的值为 【提示】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可； 【答案】； 【解析】因为， 又因为，所以， 所以. 【说明】本题主要考查了指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化； 例6、有以下四个结论：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的是（     ） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【提示】利用对数的运算性质和指对互化逐一判断四个选项的正误即可得正确选项； 【答案】C； 【解析】对于①：因为，所以，故①正确； 对于②：因为，所以，故②正确； 对于③：由，得，故，故③错误； 对于④：由，得，故，故④错误， 所以正确的是①②， 故选：C. 【说明】本题考查了对数的运算、指数式与对数式的互化； 题型4、对数的运算性质的应用 例7、已知，且，则________． 【提示】利用对数运算性质求出的值即可； 【答案】； 【解析】因为，所以， 由得：， 即，所以或， 当时，与矛盾，所以舍去， 当，满足题意，所以． 【说明】本题主要考查了对数的运算、对数的运算性质的应用； 例8、等于 【提示】先把真数化为的形式后再根据对数的运算性质求解； 【答案】－2； 【解析】因为， 3－2＝2－2＋1＝()2－2＋12＝(－1)2＝＝(＋1)－2. 所以，． 【说明】本题考查了】对数的运算、对数的运算性质的应用，解题的关键是熟记对数的运算性质及进行适当的变形，考查计算能力； 题型5、利用对数恒等式化简求值 例9、声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为（     ） A． B． C． D． 【提示】根据公式直接计算得到答案； 【答案】B； 【解析】由题意可得. 故选：B 【说明】本题主要考查了利用对数恒等式求值； 例10、（1）已知，，试用表示； （2）已知，，试用表示． 【提示】（1）（2）同类型题，根据指数与对数的互化及换底公式即可求解； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1），， ，， ； （2），， ． 【说明】本题综合考查了对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化； 题型6、一类与对数有关方程的求解问题 例11、方程的实数解为__________. 【提示】由指数的运算和指数、对数的转化即可求解； 【答案】； 【解析】原方程可化为， 即， 所以，即， 所以. 【说明】本题考查了指数幂的运算、指数式与对数式的互化，利用对数解方程； 例12、若，则的值是 【提示】根据对数的基本性质，，解方程即可求出的值； 【答案】； 【解析】因为，所以， 所以，所以. 【说明】本题考查了对数的概念判断与求值、指数式与对数式的互化，利用对数解方程； 题型7、由已知对数求解未知对数式 例13、若，且，则的值为__________. 【提示】根据等量关系得到，进而利用对数运算法则进行计算； 【答案】2； 【解析】由题意得：，即，即，，则 故答案为：2 【说明】本题主要考查了已知对数式，利用对数运算性质求对数式的值； 例14、若，，则（     ） A． B． C． D． 【提示】先换底，然后由对数运算性质可得； 【答案】B； 【解析】. 故选：B； 【说明】本题考查了对数的运算、运用换底公式化简计算； 题型8、运用换底公式化简计算 例15、十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，，则_______． 【提示】根据指数和对数互化以及换底公式，对数的运算即可求解； 【答案】； 【解析】因为，所以， 由，可得，所以， 所以， 故答案为：； 【说明】本题综合考查了对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化； 例16、（1）证明对数换底公式：（其中且，且，） （2）已知，试用表示. 【提示】（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明； （2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得； 【解析】（1）设，写成指数式. 两边取以为底的对数，得. 因为，，，因此上式两边可除以，得. 所以，. （2）. 【说明】本题主要考查了对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算；关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数的运算性质，即可证明； 题型9、证明常见的对数恒等式 例17、设均为正数，且均不为1.求证：. 【提示】运用换底公式证明即可； 【解析】由题意，根据换底公式，，命题得证； 【说明】本题主要考查了运用换底公式证明恒等式； 例18、设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【提示】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得； 【证明】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即； 【说明】本题考查了对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、运用换底公式证明恒等式； 题型10、有关对数定义与运算的综合题 例19、已知（）且，则实数的值为_______________. 【提示】注意指数与对数的灵活转化； 【答案】； 【解析】由题可知， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，即. 【说明】本题综合考查了对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化； 例20、的最大值为（      ） A． B． C． D． 【提示】根据对数的运算可得原式等于，利用基本不等式可求出的最大值，即可求得答案； 【答案】C； 【解析】由可知， ， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 结合，则，故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时取等号， 故的最大值为； 【说明】本题综合考查了对数的运算、对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值； 题型11、与对数有关的应用题 例21、德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（     ）（参考数据：，） A．0.2小时 B．0.5小时 C．0.8小时 D．2小时 【提示】根据记忆率为50%列方程，通过两边取常用对数，代入参考数据计算可得t的值； 【答案】B； 【解析】由题意，记忆率， 代入函数得，，移项整理得， 两边取以10为底的对数，根据对数运算性质可得，， 将、代入， 结合参考数据，得， ， 因此， 则小时； 【说明】本题考查对数的运算的实际应用； 例22、生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，若，则（     ） A． B． C． D． 【提示】结合题意，利用对数的运算性质求解即可； 【解析】由题意得，， 由，可得， 所以. 故选； 【说明】本题综合考查了对数的运算、对数的运算性质的应用的实际应用； 题型12、与对数有关的创新题 例23、（1）已知，，，证明：； （2）已知，，，且，若恒成立，求实数k的最大值； 【提示】（1）由基本不等式可得，同理可得，的范围，化简整理即可得证； （2）利用换底公式可得，同理可将化简，代入原式，可得，又同理可将变形，代入，结合（1）结论，即可求得结果； 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】（1）证明：由，，得，即， 同理，， 以上三式相加，得 （当且仅当时取等号）， 故成立. （2）解：= =， 根据（1），得 = 所以，，故实数k的最大值为3. 【说明】本题考查由定理：平均值不等式证明不等关系与运用换底公式证明恒等式的交汇；考查了不等式的证明，考查基本不等式的应用，对数的计算与化简，考查计算化简，分析求值的能力； 例24、（1）对于问题：已知，求的值，有同学给出如下解答： 由，可得，所以，即，解得，或，所以或.由于或均满足，故的值为1或4. 该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正（写出正确的解答过程及结果）. （2）计算：. 【提示】（1）据对数函数的性质，列不等式组得出，利用对数的性质化简原方程，结合已知范围，可得的值； （2）结合对数的概念，利用指数运算性质化简求值； 【答案】（1）不正确，见解析；（2）2.09； 【解析】（1）不正确，理由如下： 由已知可得，，即， 则可化简为， 等价于，即，解得，或， 所以（舍）或.故的值为4. （2） . 【说明】本题综合考查了指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用； 1、特殊对数 （1）常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把记作； （2）自然对数：在科学技术中常用以无理数e=2.718 28···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把记作； 2、对数与指数的互化关系 当，且时， （1）由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其数量关系如下表： 式子 名称 意义 a x N 指数式 底数 指数 幂 a 的x幂等于N 对数式 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于x （2）在对数中规定的原因： ①若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子没有实数解，所以不存在，因此规定a不能小于0； ②当a＝0，N≠0,时，x不存在；当a=0,N≠0时，x有无数个值，不能确定，因此规定a≠0； ③当a=1,且N≠1时，x不存在；而当a=1,N=1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；. 指数式与对数式的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段； 3、由对数的概念可得到如下性质： （1）负数和零没有对数； （2）以a(a＞0,且a≠1)为底的对数是0，即； （3）底数的对数是1，即； （4）对数恒等式； 因为由,得，所以将代入上式，可得； （5），因为,所以； 【注意】1、利用对数的基本性质时，要注意其成立的前提条件；2、要理解基本性质的具体内容，防止应用时出现错误. 4、由对数的运算性质： 如果，那么： （1）；（2）;（3）. 【辨析】（1）指数与对数的运算性质对比表： 指数 对数 性质 （）2对数的运算性质口诀：积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前。 5、由对数的换底公式： （1）公式：； （2）换底公式的常用推论 ①；②；③；④； 【说明】换底公式的作用：1、换底公式是进行对数运算的重要基础，利用它可以将对数运算转化为我们所需要的对数来计算；2、对数的运算性质都是在同底之下成立的，对数的换底公式是把异底的对数化成同底的对数，在不同底的对数之间建立了一座桥梁； 1．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】，，故选：D. 2．设，那么m等于（     ） A． B．9 C．18 D．27 【答案】B； 【解析】, ，， 故选：B. 3．设为正实数，已知，则的值为（     ） A．7 B． C．3 D． 【答案】A； 【解析】由，可得， 则，则，则， 则， 故选：A； 4．方程的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B； 【解析】， 所以，． 设，则，解之得：． 所以，或，解之得：或． 经检验，和均符合题意，所以，该方程的解集是． 故选：B 5．（1）通常我们将_________的对数叫做常用对数，并把记为． （2）在科学技术中常用以无理数…为底数的对数， _________的对数称为自然对数，并且把记为． 【答案】以10为底 ；以e为底； 6．化简：＝________． 【答案】2 【解析】. 故答案为：2． 7．计算：______． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 8．计算结果是__________． 【答案】 【解析】因为，，， ， 所以 , 故答案为： 9．已知，则______． 【答案】10 【解析】因为， 所以． 故答案为：. 10．若，则______． 【答案】； 【解析】已知，则有，， 由换底公式可知，， 所以. 11．代数式有意义时，求x的取值范围； 【提示】首先根据对数的概念得到，再解不等式组即可； 【答案】 【解析】由题意可得解得． 故答案为： 12．（1）若，，求的值； （2）求的值. 【提示】（1）根据指对互化得出，，进而根据指数幂的运算性质，化简求值即可得出答案； （2）根据指数幂的运算性质，以及对数的运算性质、对数恒等式，化简求值即可得出答案； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）由，，可得，， 所以，， 所以. （2） . 第10页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $