第三章函数的概念与性质单元复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

第三章 单元《函数的概念与性质》 作业设计 学科： 数学 单元课时数： 10 1、 单元内容及教材分析： （一）．单元内容 学科 年级 学期 教材版本 单元名称 基本信息 数学 高一年级 第一学期 人教A版 函数的概念与性质 单元组织方式 自然单元 课时 信息 序号 课时名称 对应教材内容 1 函数的概念(1) 第3.1.1(P60-63) 2 函数的概念(2) 第3.1.1(P64-67) 3 函数的表示方法 第3.1.2(P67-71) 4 分段函数 第3.1.2（P68） 5 函数的单调性 第3.2.1(P76-79) 6 函数的最大（小）值 第3.2.1(P80-81) 7 奇偶性 第3.2.2(P82-84) 8 奇偶性的应用 第3.2.2(P85-86) 9 幂函数 第3.3(P89-91) 10 函数的应用（一） 第3.4(P93-95) （二）.教材分析 1．本章内容 课标要求 本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题. 内容包括：函数概念、函数性质、*[1]函数的形成与发展. （1）函数概念 ①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。 ②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。 ③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 （2）函数性质 ①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。 ②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。 ③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。 内容分析 本节课位于人教A版高中数学教材必修一的第三章的第二节本节是这一章重要环节。是函数这一主线之下的重要内容，具有承上启下的重要作用。本章我们用集合的语言与对应关系进一步描述了函数概念，与初中的函数定义相比较，突出了函数概念的本质:两个数集之间的一种确定的对应关系;明确了函数的三个构成要素:定义域、对应关系和值域;引入了函数符号:y=f(x).与初中基于变量关系的函数定义相比，本章基于两个实数集之间对应关系的函数定义，抽象层次显然提高了。在今后的学习中我们会逐渐体会到这种函数定义的必要性，例如，在这种定义下，不同的函数可以进行加、减、乘、除等运算，从而使函数研究的内容和应用的范围得到扩展。 函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。函数的表示方法主要有解析法、图象法、列表法等.在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的。 研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求。例如:事物的变化趋势，用料最省、利润最大、效率最高，对称性等，这些特性反映在函数上，就是函数的基本性质，如单调性、最大(小)值和奇偶性等。在研究这些基本性质时，一般是先从几何直观(观察图象)入手，然后运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征。研究某个函数的性质，则要利用单调性、奇偶性等定义，通过推理、运算来实现。这是一个渐进的过程，也是数学学习和研究中经常使用的方法。 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它的思想方法贯穿了高中数学课程的始终。在“函数的概念与性质”中，同学们将在初中的基础上，进一步学习运用集合与对应的语言刻画函数概念，学习函数的基本性质，并通过幂函数的学习感受如何研究一个函数，如研究的内容、思路和方法，进一步感受函数的思想方法和广泛应用。“指数爆炸”“对数增长”是生活中常见的变化现象。在“指数函数与对数函数”中，同学们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数与对数函数的概念、图象和性质。通过对几类基本初等函数的变化差异的比较，体会如何根据变化差异选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律，解决简单的实际问题。 本章我们将在初中的基础上，通过具体实例学习用集合语言和对应关系刻画函数概念，通过函数的不同表示法加深对函数概念的认识，学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和方法.在此基础上，学习运用函数理解和处理问题的方法。 学情分析 从学生的认知规律看:本章内容是高一年级上册第三章，学生在初中已经学习探究过一次函数和二次函数有关内容，解了函数的概念，也了解了一次函数与一元一次方程二次函数与一元二次方程的关系，掌握了一次函数和二次函数的基本性质和应用，学生对函数已经有一个系统的认识，初步建立了几个简单的函数模型，为学习函数打下了坚实的基础。通过实际情境建立函数解析式，通过自主探究总结函数的性质，这些学习过程都符合学生的认知水平，都是在学生原有认知体系上的提升与拓展。 从学生的学习习惯、思维规律看:高一年级学生已经具有一定的自主学习能力、自主探究能力和总结归纳能力，积累了一定的数学学习活动经验，并在心灵深处渴望自己成为一个发现者、探究者和研究者。但是，高一学生的思维方式和学习习惯还不够科学，数学的总结概括能力尚显不足。因此，通过对函数的概念、函数的应用以及函数的性质的关系的学习，培养学生科学、严谨的数学思维和良好的学习习惯，提升学生的总结概括能力。 从学生情感培养方面看：多数学生对教学新内容的学习有很高学习兴趣和积极性，但探究能力以及合作交流等能力仍需要通过课堂主渠道加以培养和提高。 我校学生家长文化程度层次不一，对孩子的辅导和管理要求也不一样，学生原有的数学基础也不同。到年级以后两极分化严重，学生和家长作业焦虑较为严重，怎样让不同层次的学生在数学上有不同的发展，成为作业设计的最大困扰。 二、单元学习目标 基本目标 1.了解函数概念产生的背景.学习和掌握函数的概念和性质，能借助函数的知识表述、刻画事物的变化规律。借助实例，概括函数概念的本质特征，说出几个函数在生活中的例子。 2.用“数与形”表示出函数，探究函数的单调性、最值、奇偶性，求解函数最值问题。 3.利用函数与方程、不等式的关系，解决函数零点问题，并总结解决零点问题的一般思路。 4.结合实际问题构建函数模型，解决生活中最优化问题。 5.本章内容培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流能力。 6.通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具。 7.体验数学的文化价值，使学生感受数学的美。培养学生利用运动变化的观点观察事物.进一步树立科学的人生观，价值观和辩证唯物主义世界观。 提升目标 1.通过问题设计和数学活动的开展,让学生经历数学概念的形成过程,学会如何去除背景,抓住本质属性,归纳共同特征。 2.让学生抽象出数学对象,用符号语言合理定义,并研究其相关应用,并利用“符号语言”进行表达,有意识地运用函数的概念与性质去认识和表达客观规律. 3.基于数学抽象的函数及其性质的教学有助于函数思维的形成。让学生在这个过程中不仅能体会到研究函数及其性质的普适性方法,还能迁移形成研究一个新的数学对象及其性质的一般方法。 三、单元作业整体设计思路 作业类型包括单元教学前作业(学情诊断+单元学习准备)，课时作业(课上学习的总结、拓展)，课上学习的巩固、应用，为后续学习作准备。单元教学后的作业(单元教学效果检测、单元检测)，还有贯穿整个单元的长作业(项目式学习，跨学科实践)等。 单元作业设计的主要思路 如果我们以“作业目标”为引领，以“作业形式”和“作业要求”为两翼，指导“作业内容”的设计，这样就会产生一个三维矩阵模式。下面具体谈谈作业设计的三维要素构成。 四、单元作业目标 基础目标 核心素养:培养学生用数学眼光去观察生活，用数学思维思考现实问题. 1.建立完整的函数概念。 2.掌握函数的单调性，奇偶性。 3.理解5个幂函数的图象与性质。 提升目标 核心素养:培养学生用数学思维思考现实问题，用数学语言表达现实世界. 1.从不同的问题情境中提炼出函数要素,并由此抽象出函数概念:理解函数的对应关系。 2.理解增(或减)函数的定义.利用增(或减)函数的定义判断函数的单调性。 3.通过5个幂函数的图象概括出它们的共性。 4.将实际问题中的量抽象成数学中的变量,并找到变量之间的关系。 五、课时作业 课时作业： 3.1函数的概念（1） 任务一（基础性作业） 题型一 函数关系的判断 角度1 给出三要素判断是否为函数 例1(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是( ) A. A=R,B={x|x≥0},f:x→y=|x| B. C. A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方 D. 函数三要素： （1）定义域：使f(x)有意义的x的集合A （2）值域：函数值的集合，值域是B的子集 （3）对应关系：可以一对一，或者多对一，不能一对多 例2.下面图象中，不能表示函数的是（） A． B． C． D． 设计意图：让同学从“变量说”到“集合—对应说”的变化来体会函数概念，加深对函数概念的理解，从而理解课本引入“集合—对应说”的必要性。 时间要求（3分钟以内） 评价设计 作业评价表 评价 指标 等级 备注 A B C 答题的 准确性 A等， 答案正确、过程正确. B等， 答案正确、过程有问题. C等， 答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过程错误、或无过程. 答题的 规范性 A等， 过程规范， 答案正确. B等， 过程不够规范、完整， 答案正确. C等， 过程不规范或无过程， 答案错误. 解法的 创新性 A等， 解法有新意和独到之处， 答案正确. B等， 解法思路有创新， 答案不完整或错误. C等， 常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程. 综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等. 4.作业分析与设计意图 这两题考查函数的概念，层层深入，循序渐进，使学生初步形成函数的概念。同时让学生感悟引入“集合-对应说”的必要性，并通过对具体实例共同特征的归纳，抽象概括出函数的一般概念。 作业2 (发展性作业) 1.函数的定义域为（） A．（） B．（） C．[） D．[ 2．已知函数的定义域为[-2，3]，则函数的定义域为（） A． [-1，9] B．[-3，7] C．[-2，1] D．[-2，] 3.函数的值域是（ ） A． [） B．[） B． C．[） D．[） 4.下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D． 5. 时间要求（10分钟以内） 评价设计 作业评价表 评价指标 等级 备 注 A B C 答题的准确性 A等， 答案正确、过程正确. B等， 答案正确、过程有问题. C等， 答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过程错误、或无过程. 答题的规范性 A等， 过程规范， 答案正确. B等， 过程不够规范、完整， 答案正确. C等， 过程不规范或无过程， 答案错误. 解法的创新性 A等， 解法有新意和独到之处， 答案正确. B等， 解法思路有创新， 答案不完整或错误. C等， 常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程. 综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等. 4.作业分析与设计意图 第一题考查求函数的定义域， 第二题考查求抽象函数的定义域， 第三题考查学生求函数的值域，第四题是判断是否为同一个函数，本质是求定义域和对应关系，从而加深学生对函数的理解.这四小题层层深入，循序渐进，使学生进一步加深对函数概念的理解。引导学生利用函数的概念进行解决问题，培养学生从“特殊到一般”分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力，从而达到本节课的素养目标。 任务三（提升作业） 1.已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为集合B. （1）求集合A和集合B； （2）若，求实数m的取值范围 2.函数，. （1） 求的定义域； （2） 时间要求（6-8分钟） 评价设计 作业评价表 评价指标 等级 备 注 A B C 答题的准确性 A等， 答案正确、过程正确. B等， 答案正确、过程有问题. C等， 答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过程错误、或无过程. 答题的规范性 A等， 过程规范， 答案正确. B等， 过程不够规范、完整， 答案正确. C等， 过程不规范或无过程， 答案错误. 解法的创新性 A等， 解法有新意和独到之处， 答案正确. B等， 解法思路有创新， 答案不完整或错误. C等， 常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程. 综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等. 设计意图 让学生清楚的知道本节课所讲内容及重点要掌握内容。 形成性评价 水平划分 水平标准 自我评价 水平一 结合初中学习的两个变量间的关系，能借助集合说出函数的概念及函数的表示 水平二 能从数和形两个方面探究函数的概念 水平三 能探究函数与方程、函数与实际问题的关系。 6、 单元质量检测作业 第三章函数的概念与性质达标检测卷 时间：120min 闭卷考试 一、单选题 1．已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则m等于（） A．1 B．2 C．1或3 D．3 2．函数定义域是，则定义域是（） A． B． C． D． 3．下列函数中与函数相等的函数是（） A． B． C． D． 4．下列说法中错误的是（） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 5．函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 6．已知幂函数的图象经过点，则（） A． B． C． D． 7．已知函数是定义城为的奇函数，当时，，则的值为（）. A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列各组中不是同一个函数的是（） A．， B．， C．， D．，. 10．对于定义在上的函数，下述结论正确的是（） A．若，则是奇函数 B．若函数的图象关于轴对称，则为偶函数 C．方程有一个正实根，一个负实根，则 D．若函数满足，则是增函数 11．已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数在区间上的最小值为，最大值为，则 13．设函数，满足，则＝ ；函数的值域为 ． 14．已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且．则，，的大小顺序是 ．（用“”连接） 四、解答题 15．若二次函数满足，且 (1)确定函数的解析式； (2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围. 16．已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，， (1)求的值； (2)证明：用定义证明函数在上是增函数； 17．已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 18．已知函数． (1)用定义法证明是减函数； (2)解关于t的不等式． 19．已知函数 (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 答案： 1．C 【分析】根据幂函数的单调性及奇偶性求解即可. 【详解】因为幂函数（且）在区间上递增， 所以且，所以， 当时，幂函数为奇函数，符合题意； 当时，幂函数为偶函数，不符合题意； 当时，幂函数为奇函数，符合题意，综上m等于1或3. 故选：C 2．B 【分析】根据抽象函数定义域得到不等式，解不等式可得到答案. 【详解】因为函数定义域是， 所以由得，解得， 则定义域是. 故选：B. 3．B 【分析】根据函数相等的判断方法，即从函数定义域和对应法则一一分析即可. 【详解】对A，的定义域为，而的定义域，故两者不是相等函数，故A错误； 对B，，其定义域为，则其与为相等函数，故B正确； 对C，的定义域为，而的定义域为，故两者不是相等函数，故C错误； 对D，，与的对应法则不同，故两者不是相等函数，故D错误. 故选：B. 4．C 【分析】根据奇偶函数的定义进行判定即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是奇函数； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是偶函数； 对于C，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则且， 因此函数既不是奇函数，也不是偶函数. 所以选项中C的说法不正确， 故选：C. 5．A 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 6．D 【分析】根据幂函数的定义求解即可 【详解】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 7．D 【分析】由即可求解. 【详解】因为函数是定义城为的奇函数， 故选：D 8．D 【分析】根据题意，先求出的值，由二次函数的性质分析的单调性，进而分析的对称性和单调性，由此分析可得答案. 【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数， 则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数， 又，函数的对称轴为，且在上为减函数， 则有， 即. 故选：D. 9．BD 【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同课判断. 【详解】选项A：的定义域为，此时，故两个函数是同一个函数； 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数； 选项C：两个函数的定义域都是，，故是同一个函数； 选项D：函数的定义域为，函数的定义域是，定义域不同，故不是同一函数， 故选：BD 10．BC 【分析】根据奇函数偶函数得定义可以判断选项A和选项B，根据一元二次方程根的分布与系数之间得关系可得的范围，可以判断选项C，根据函数单调性得定义可以判断选项D. 【详解】定义域内满足的函数是奇函数，选项A的条件无法确保是奇函数，故A错误； 函数的图像关于轴对称，，则是偶函数，故B正确； 由韦达定理可知方程的有两根时， 或者， 由韦达定理可知方程两根之积为，由题意可得， 综上可得，故选项C正确； 由增函数的定义可知，需满足，函数才是增函数，故选项D错误； 故选：BC 11．ABD 【分析】由题意由是定义在R上的奇函数得函数的周期为4，即可得出结果. 【详解】因为 为奇函数且满足 ， 故，故可知 的周期为4 ， 所以 ， ， 因为当 时， ，所以 ，即, 故选：ABD 12． 【分析】结合函数的单调性计算即可得. 【详解】由在上单调递减，故，， 即. 故答案为：. 13． 【分析】根据题意，利用待定系数法求解，进而得到的表达式；利用换元法，结合二次函数的性质即可得到的值域. 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 即． 所以， 令，即, 所以，（）, 当时，， 即的值域为, 故答案为：；． 14． 【分析】由条件②可得，结合条件①可得；由条件③可得在单调递减,结合条件②可得在上单调递增，结合单调性可以得到函数值的大小顺序. 【详解】由条件②函数的图象关于直线对称，所以， 由①，可得， 因为，即， 所以，所以， 由③知，所以函数在上单调递减， 由条件②函数的图象关于直线对称， 所以在单调递增， 所以，即． 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）依题意，问题转化为则在上恒成立，令，利用单调性求最小值即可. 【详解】（1）设二次函数， 则，                 已知，所以，解得， 又，得， . （2）在区间上不等式恒成立，则在上恒成立， 令，可知在上单调递减， 则，得 所以实数的取值范围为. 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合题中条件，令即可求值； （2）结合题中条件利用函数单调性的定义即可证明. 【详解】（1）在等式中， 令，可得，解得； （2）因为，则， 任取，则， 由时，，可得， 则，即， 因此，函数在上是增函数． 17．(1)； (2)且. 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合图象特征求出即得. （2）由幂函数的单调性结合奇偶性求解不等式. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或， 由的图象与坐标轴无交点，得，则， 所以的解析式是. （2）显然函数是偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，解得且， 所以原不等式的解集为且. 18．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用减函数的定义推理论证即得. （2）判断函数的奇偶性，结合单调性求解不等式. 【详解】（1），且，则， 由，得，而， 因此，即， 所以是减函数. （2）由，得，，即函数是奇函数， 不等式，而是减函数， 因此，解得， 所以原不等式的解集是. 19．(1)奇函数 (2)在上为减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分析判断； （2）先对函数化简变形后，再任取，且，然后化简变形，再判断符号，可得结论； （3）利用函数是奇函数将原不等式转化为，再由函数为上的减函数，得，即存在，使得成立，然后求出的最大值即可. 【详解】（1）∵，定义域为，关于原点对称， 又， ∴为奇函数. （2）∵， 任取，且，则 ， ∵，∴，，， 故，即， ∴在上为减函数. （3）∵为上的奇函数，又， ∴. 又由于函数为上的减函数， ∴， 则， 又存在，使得成立，则， 又∵在上为减函数， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性，函数单调性的证明，考查利用函数单调性和奇偶性解不等式，第（3）问解题的关键是利用函数为奇函数将原不等式转化后，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 7、 其它需要说明的内容： 首先，作业目标的制定需要同时具备育人性、整体性和功能性。 概括为4个维度: 对知识的诊断和巩固; 对能力的训练和提高; 对思维的建构与引导; 对素养的发展和塑造等。 作业目标要紧扣育人目标，作业内容要兼顾知识面和育人观，落实立德树人的根本任务。符合《课标》中学业质量和学业水平的描述，要使作业成为课堂学习的一种自然延伸，或适度补偿课堂所学，或灵活拓展课堂所知，或将课堂所学实践应用于生活和社会情境中，与课内学习相辅相成，引导学生循序渐进。一方面，作业可以指导学生养成良好的学习习惯，培养可持续发展的学习能力。另一方面，作业也能帮助学生了解与课程有关的具有民族特色、科学精神的内容，从而弘扬家国情怀、树立科学态度。 4 学科网（北京）股份有限公司 $$