第3章幂、指数与对数单元测试卷 （提高）-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2026-2027学年高一数学单元测试（提高卷） 第3章 幂、指数与对数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 1、 填空题（本大题共12题、满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1.若集合，，则______ 【答案】 【详解】要使有意义，只需，所以， 又因为,所以. 2. 在实数范围内，的四次方根是______． 【答案】 【分析】根据指数运算可得解. 【详解】由指数运算可知，， 所以的四次方根是或， 故答案为：. 3.根式写成指数幂形式为_________． 【答案】 【分析】由指数幂的定义改写，注意化简． 【详解】， 故答案为：. 4.已知，，则__________.（结果用表示） 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 5.函数的定义域为________ 【答案】 【分析】根据对数型函数定义域的求法列不等式，解不等式即可. 【详解】由函数可知， 解得， 故答案为：. 6.计算_________. 【答案】 【分析】利用对数运算公式直接计算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 7.计算： . 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的运算公式计算即可. 【详解】原式. 故答案为： 8．已知，则 ． 【答案】 【分析】先应用对数运算律对化简，再求解． 【详解】依题意，， ，所以． 故答案为：. 9.已知，且，则的值为______． 【答案】 【分析】由对数的定义求出，，代入，利用对数的运算即可求解. 【详解】由，则，， 则， 因此可得， 故答案为：. 10.某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过 年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 【答案】50 【解析】由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 11.已知均是正实数，且 ，则 . 【答案】 【解题思路】将对数式化成指数式，代入条件，利用指数幂的性质即可求得. 【解答过程】由可得（*）， 因将（*）代入，可得即得， 由，得. 故答案为：. 12. 若实数、、满足，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由基本不等式求得，化简即可求解. 【详解】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，满分18分，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分） 13.下列等式中，一定成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 本题考查将根式化为分数指数幂的公式． 注意分数指数幂法则使用的范围，将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算法则化简根式是解题的关键． 【解答】 ，错，  ，错  中，错  ，D正确． 故选D． 14.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据指数式与对数式互化公式直接得到答案. 【解答过程】由可得 ,C不正确 故选：C. 15.香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】根据新定义结合对数运算求解即可 【详解】由题意可知， 故选：C. 16.已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【解题思路】首先利用对数的运算性质得到，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为， 所以，则， 所以. 因为， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，78分，17-19题每题14分，20/21每题18分） 17．（1）已知，求的值； （2）计算：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，结合完全平方公式，代入即可求解； （2）根据指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】（1）由，得， 由， 由于， 所以，故. （2） . 18.已知，． （1）求的值； （2）用m，n表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再根据对数的运算法则求出，最后根据指数、对数的关系计算可得； （2）利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以. 19.化简求值： (1) (2)． 【答案】(1)4 (2)8 【解题思路】（1）根据分数指数幂的性质和对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算求解即可. 【解答过程】（1）原式． （2）原式 ． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） （2） . 20.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据） （1）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？ （2）若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？ 【答案】（1）466；（2）3倍. 【解析】（1）将，代入函数解析式，计算得到答案． （2）根据题意得到方程组，两式相减化简即可求出答案． 【解析】（1）将，代入函数，得：， 即， 所以， 所以． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位． （2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得： ， 两式相减可得：， 所以，即， 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍． 【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 21. 对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数称为位数，例如23的位数是2，2026的位数是4，试判断的位数．（注：） 【答案】(1) (2) (3)610． 【分析】指数式与对数式的互化运用换底公式化简对数运算性质的应用 （1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数式与指数式的互化可得 ，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果． 【详解】（1）原式． （2）令，则，所以， 所以． （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元测试（提高卷） 第3章 幂、指数与对数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 1、 填空题（本大题共12题、满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1.若集合，，则______ 2. 在实数范围内，的四次方根是______． 3.根式写成指数幂形式为_________． 4.已知，，则__________.（结果用表示） 5.函数的定义域为________ 6.计算_________. 7.计算： . 8．已知，则 ． 9.已知，且，则的值为______． 10.某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过 年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 11.已知均是正实数，且 ，则 . 12. 若实数、、满足，，则的最小值是 . 二、选择题（本大题共4题，满分18分，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分） 13.下列等式中，一定成立的是(    ) A. B. C. D. 14.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 15.香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16.已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 三、解答题（本大题共有5题，78分，17-19题每题14分，20/21每题18分） 17．（1）已知，求的值； （2）计算：. 18.已知，． （1）求的值； （2）用m，n表示． 19.化简求值： (1) (2)． 20.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据） （1）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？ （2）若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？ 21.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数称为位数，例如23的位数是2，2026的位数是4，试判断的位数．（注：） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $