第3章幂、指数与对数单元检测·巩固篇-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第3章幂、指数与对数单元检测巩固篇，90分钟150分，覆盖幂指数对数化简、计算及综合应用，注重基础巩固与运算推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|幂指数对数化简、性质应用|基础题为主，梯度赋分，强化抽象能力| |选择题|4题/18分|公式变形、概念辨析|考查推理意识，选项设置具迷惑性| |解答题|5题/78分|化简求值、方程求解、函数定义域|分层设计，20题含参数方程考查运算与逻辑推理，21题函数问题体现数学语言表达|

2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第3章幂、指数与对数单元检测·巩固篇（原卷版） 考试时间：90分钟 满分：150分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）化简：（）的结果为__________。 2.（4分）将 化为分数指数幂的形式为__________。 3.（4分）计算：__________。 4.（4分）已知 ，则 __________。 5.（4分）化简：__________。 6.（4分）化简：__________。 7.（5分）已知 ，则 __________。 8.（5分）化简：__________。 9.（5分）计算：__________。 10.（5分）已知 ，则 __________。 11.（5分）化简：（）的结果为__________。 12.（5分）化简：__________。 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）下列等式变形错误的是（　　） A. （）  B. （） C. （）  D. （） 14.（4分）下列等式成立的是（　　） A.   B. C.   D. 15.（5分）已知 ，，则 （　　） A. 2  B. 3  C. 4  D. 5 16.（5分）下列各式中，正确的是（　　） A.   B. C.   D. 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（14分） 化简求值： （1）； （2）； （3）（）。 18.（14分） 化简求值： （1）； （2）； （3）。 19.（14分） 化简求值： （1）； （2）； （3）。 20.（18分） 已知关于 的方程 ，其中 且 。 （1）当 时，求方程的解； （2）若方程的解为正数，求实数 的取值范围。 21.（18分） 已知函数 。 （1）求函数 的定义域； （2）若 的定义域为 ，求实数 的值； （3）若函数 在区间 上有意义，求实数 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第3章幂、指数与对数单元检测·巩固篇（解析版） 考试时间：90分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）化简：（）的结果为__________。 答案： 解析： 当 时，，故原式 。 易错点提醒： ，当 时 。 2.（4分）将 化为分数指数幂的形式为__________。 答案： 解析： ，故 。 易错点提醒： 负指数同样适用根式与分数指数幂互化公式。 3.（4分）计算：__________。 答案： 2 解析： 。 易错点提醒： 同底数幂相乘，指数相加。 4.（4分）已知 ，则 __________。 答案： 解析： 由对数定义 。 易错点提醒： 注意底数 且 ， 满足条件。 5.（4分）化简：__________。 答案： 解析： 。 易错点提醒： 根式可化为分数指数幂后利用 求解。 6.（4分）化简：__________。 答案： 3 解析： 。 易错点提醒： 同底对数相减，真数相除。 7.（5分）已知 ，则 __________。 答案： 18 解析： 。 易错点提醒： 整体代换，将 视为一个整体。 8.（5分）化简：__________。 答案： 2 解析： 。 易错点提醒： 对数加法对应真数相乘。 9.（5分）计算：__________。 答案： 3 解析： ，，故原式 。 易错点提醒： ，熟记常用对数特殊值。 10.（5分）已知 ，则 __________。 答案： 解析： 。 易错点提醒： 换底公式的推论：。 11.（5分）化简：（）的结果为__________。 答案： 解析： ，。 易错点提醒： 根式化为分数指数幂后，同底数幂相乘指数相加。 12.（5分）化简：__________。 答案： 3 解析： ，，，故原式 。 易错点提醒： 不同底数的对数分别计算，注意正负号。 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）下列等式变形错误的是（　　） A. （）  B. （） C. （）  D. （） 答案： B 解析： B错误，，当 时 ，不一定等于 。A、C、D均正确。 易错点提醒： 偶次根式开方后必须加绝对值。 14.（4分）下列等式成立的是（　　） A.   B. C.   D. 答案： C 解析： C正确，由对数幂运算法则 。A、B、D均不符合对数运算法则。 易错点提醒： 对数的幂运算法则：。 15.（5分）已知 ，，则 （　　） A. 2  B. 3  C. 4  D. 5 答案： D 解析： ，故 。 易错点提醒： 对数运算中，加法对应真数相乘，幂运算可将指数提出。 16.（5分）下列各式中，正确的是（　　） A.   B. C.   D. 答案： D 解析： ，D正确。A应为2，B应为1，C应为 。 易错点提醒： 换底公式的推论：。 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（14分） 化简求值： （1）； （2）； （3）（）。 答案： （1）；（2）；（3）。 解析： （1） .........（5分） （2） .........（5分） （3） .........（4分） 易错点提醒： 幂的乘方指数相乘，同底数幂相乘指数相加，相除指数相减。 18.（14分） 化简求值： （1）； （2）； （3）。 答案： （1）7；（2）1；（3）2。 解析： （1），，故原式 .........（5分） （2），，故原式 .........（5分） （3），，故原式 .........（4分） 易错点提醒： 熟记 ，。 19.（14分） 化简求值： （1）； （2）； （3）。 答案： （1）2；（2）1；（3）1。 解析： （1） .........（5分） （2），，故原式 .........（5分） （3），，，故原式 .........（4分） 易错点提醒： ，注意负对数值。 20.（18分） 已知关于 的方程 ，其中 且 。 （1）当 时，求方程的解； （2）若方程的解为正数，求实数 的取值范围。 答案： （1）；（2） 且 。 解析： （1）当 时， .........（6分） （2）由 .........（6分） 方程的解为正数，即 ，需 .........（2分） 对任意 ， 恒成立，结合 且 .........（4分） 故 且 。 易错点提醒： 底数 且 ，注意对数定义域限制。 21.（18分） 已知函数 。 （1）求函数 的定义域； （2）若 的定义域为 ，求实数 的值； （3）若函数 在区间 上有意义，求实数 的取值范围。 答案： （1）；（2）；（3）。 解析： （1）对数真数大于0： .........（4分） （2）定义域为 ，需 .........（6分） （3）在区间 上有意义，即对任意 ， 恒成立 .........（4分） 在 上的最小值为 （当 时），需 .........（4分） 故 .........（2分） 易错点提醒： 对数真数必须大于0，闭区间上有意义需取真数在区间上的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $