精品解析：吉林长春市第一0四中学校2026－2027学年上学期九年级第一次大练习数学试题

长春市第一O四中学校 2026—2027学年上学期九年级数学第一次大练习 测分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 等于（ ） A. 3 B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式的公式计算即可． 【详解】解：． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式需要满足的条件逐一判断即可，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 【详解】A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； B、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； D、，该二次根式的被开方数是小数，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式必须满足的条件是解题的关键. 3. 用配方法解方程，正确的变形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： ． 4. 若，则等于（　　） A. B. C. D. 3. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质变形即可求解． 【详解】∵ ∴2a=3b，a=b ∴==3 故选D． 【点睛】此题主要考查比例的运算，解题的关键是熟知比例的性质． 5. 如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 6. 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为(　 　) A. 6米 B. 7米 C. 8.5米 D. 9米 【答案】D 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 【详解】解：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠DFE=∠ACB，∠DEF=∠ABC， ∴△DEF∽△ABC， ∴， 即， ∴AC=6×1.5=9米． 故选：D 【点睛】此题考查相似三角形的实际运用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 7. 如图，，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理求出BC，可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴BC＝8， ∴AC＝AB+BC＝4+8＝12， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线段成比例，解决本题的关键是掌握平行线段成比例的性质． 8. 如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图像上，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作AC⊥y轴，作BD⊥y轴，设点，，再分别表示出AC，CO，BD，DO，然后证明，可得关于a，b的关系式，可得答案． 【详解】过点A作AC⊥y轴，作BD⊥y轴，设点，， ∴AC=a，，BD=b，． ∵∠AOC+∠CAO=90°，∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠CAO=∠BOD． ∵∠ACO=∠BDO， ∴， ∴， 即， 解得ab=2， ∴． 故选：A． 【点睛】 这是一道关于反比例函数和几何图形的综合问题，构造直角三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得． 10. 化简的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，即可化简． 【详解】解：． 11. 已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 12. 在如图所示的平面直角坐标系中有，点A、B的坐标分别为、，以原点O为位似中心将进行放缩，若放缩后点A的对应点坐标为，则点B的对应点坐标为__________． 【答案】（6，2）. 【解析】 【分析】由以原点O为位似中心，相似比为1：2，根据位似图形的性质，即可求得答案. 【详解】∵以原点O为位似中心将进行放缩，A放缩后对应点坐标为， ∴相似比为1：2， ∵B ∴B的对应点坐标为(6,2)， 故答案为：（6，2）. 【点睛】比题考查了位似图形的变换，注意件平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 13. 如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点，连接； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点； ④连接并延长交于点，若恰好为的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题中作图及相似三角形的判定与性质得出，再结合中点定义及已知线段长度，代入比例式求解即可． 【详解】解：由题中作图可知，， ， ， 则， 恰好为的中点， ， ， ，则， 解得或（负值，舍去）． 14. 如图，等腰直角三角形，，D，E是上的两点，且，过D，E作分别垂直，垂足为M，N，交于点F，连接．其中①四边形是正方形；②；③；④当时，．其中，正确结论有______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由三个角是直角的四边形是矩形，先判定四边形是矩形，再证明，从而可判断①；利用可判定，从而可判断②；在没有时，无法证得，故可判断③；由可判定，从而可判定④． 【详解】解：∵分别垂直，垂足为M、N， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴和均为等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是正方形，故①正确； ∵， ∴ ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，将绕点A顺时针旋转至，则， 由于，故点N落在点M处，连接，则D、M、共线， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ， ∴， ∴， ∴在没有时，无法证得，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】2+5 【解析】 【分析】首先将各二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的加减运算法则求解，即可求得答案． 【详解】解：原式＝， ＝， ＝． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质是解题的关键． 16. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】a-b+4 【解析】 【分析】首先得出a+2，b-2的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：利用数轴可得：a+2＞0，b-2＜0， ∴原式＝a+2-b+2 ＝a-b+4． 【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是掌握算术平方根的非负性． 17. 解方程： +8x﹣2＝0． 【答案】﹣4， 【解析】 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【详解】解： +8x﹣2＝0， +8x＝2， +8x+16＝2+16， ＝18， x+4＝±3， x+4＝3或x+4＝﹣3， ﹣4， ． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． 18. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． （3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形； ； （2） 解：如图，点M就是所求的点； ； （3） 解：如图，点D就是所求的点． ． 【解析】 【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求； （2）取格点C和点D，使，，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，可得，所以点M就是所求的点； （3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，△ABC中，DEBC，BC＝16，梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍，求DE的长． 【答案】8 【解析】 【分析】证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍， ∴△ABC面积是△ADE面积的4倍， ∵DEBC， ∴， ∴ ， ∴＝2， ∵BC＝16， ∴DE＝8． 【点睛】本题考查了三角形相似的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质． 20. 求证：对于任意实数，关于的方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明： ． ， ． 对于任意实数，关于的方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根情况，判断其根的情况，完全取决于的符号，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】略 21. 第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】先设月平均增长率为，根据4月和6月的销售量列出方程，即可求解． 【详解】解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴． 答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 22. 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第88页的部分内容． 如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证：，证明：连接． （1）请根据素材提示，结合图①，写出完整的证明过程． （2）结论应用： 在平行四边形中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点． ①如图②，若为正方形，且，则的长为______； ②如图③，连接交于点，若四边形的面积为，则的面积为______． 【答案】（1）证明：连接， ∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （2）①，②4 【解析】 【分析】（1）由题意可得是的中位线，则，，可得，则，即可证明结论； （2）①由题意可得，，，可得，可得，利用正方形可得，由，即可求解； ②连接，可得是、的中位线，可证明，，可得，，则，由四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵四边形是正方形，对角线、交于点，为边的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴． ②如图，连接，过点作于点，作于点， ∵在平行四边形中，对角线、交于点，为边的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 23. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． （1）发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ （2）探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． （3）应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 【答案】（1）①；②； （2） 解：（1）中结论还成立，证明如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，延长，交于点，交于点， ∵， ∴ ， ∴； （3），或． 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长，交于点，交于点，再由，计算即可得出结果； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于点， ， ∵， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， 同理可得：，， ∴，； 综上所述，，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 24. 如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． （1）当点Q与点D重合时，t的值为________； （2）用含t的代数式表示长； （3）将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； （4）当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求得，从而有，点与点重合，则，求解即可； （2）分两种情况：当时，则点Q在上 ，当时，则点Q在上，分别求解即可； （3）分两种情况：当，则点Q在上时，当，则点Q在上时，根据相似三角形性质求解即可； （4）分两种情形：如图1中，连接，交于点．当时，，根据经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积，知此时平分平行四边形的面积．如图2中，连接，交于点，当时，，此时平分平行四边形的面积．分别求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∵为边的中点， ， ∵点与点重合， ∴， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：当时，则点Q在上 ， ∴； 当时，则点Q在上 ， ∴； 综上，． 【小问3详解】 解：当，则点Q在上时， 则，， ∵将的分成的两部分，其中的三角形与相似时， ∴当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即， 解得：（舍去）； 当，则点Q在上时， 当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即 解得：（舍去）． 综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t值为或． 【小问4详解】 解：如图1中，连接、相交于点．当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵， ∴， ， ， 解得． 如图2中，连接、相交于点O，当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第一O四中学校 2026—2027学年上学期九年级数学第一次大练习 测分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 等于（ ） A. 3 B. C. D. 9 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，正确的变形是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则等于（　　） A. B. C. D. 3. 5. 如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为(　 　) A. 6米 B. 7米 C. 8.5米 D. 9米 7. 如图，，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图像上，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 10. 化简的结果是_____． 11. 已知，是方程的两个根，则__________． 12. 在如图所示的平面直角坐标系中有，点A、B的坐标分别为、，以原点O为位似中心将进行放缩，若放缩后点A的对应点坐标为，则点B的对应点坐标为__________． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点，连接； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点； ④连接并延长交于点，若恰好为的中点，则的长为______． 14. 如图，等腰直角三角形，，D，E是上的两点，且，过D，E作分别垂直，垂足为M，N，交于点F，连接．其中①四边形是正方形；②；③；④当时，．其中，正确结论有______．（填序号） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 17. 解方程： +8x﹣2＝0． 18. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． （3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 19. 如图，△ABC中，DEBC，BC＝16，梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍，求DE的长． 20. 求证：对于任意实数，关于的方程总有两个不相等的实数根． 21. 第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 22. 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第88页的部分内容． 如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证：，证明：连接． （1）请根据素材提示，结合图①，写出完整的证明过程． （2）结论应用： 在平行四边形中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点． ①如图②，若为正方形，且，则的长为______； ②如图③，连接交于点，若四边形的面积为，则的面积为______． 23. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． （1）发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ （2）探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． （3）应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 24. 如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． （1）当点Q与点D重合时，t的值为________； （2）用含t的代数式表示长； （3）将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； （4）当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $