江苏省苏州市苏州中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027年苏州中学高二上10月考试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列满足，，则（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 2. 若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前项积，则（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列满足，则该数列的前13项的和为（ ） A. 45 B. 55 C. 78 D. 110 5. 已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（    ） A. B. C. D. 6. 设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 8. 已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（ ） A. B. 0 C. D. 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分. 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 与是不同的数列 B. 是常数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列是递增数列 10. 已知数列满足，，记，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列，公比为3 B. 数列的通项公式为 C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和大于 11. 设，数列中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 等比数列的前项和为，则的值为_____． 13. 等差数列的前项和为，，且数列是公差为2的等差数列，则_______. 14. 1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要发明了二进制，与二进制不同的是六进制对于数论研究有较大帮助.例如在六进制下等于十进制的.若数列在十进制下满足，，，，则六进制数转换成十进制后的个位数为_____． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的通项公式为. （1）试写出该数列的第3项和第8项； （2）20是不是该数列的项？如果是，是第几项？若不是，说明理由. 16. 已知数列，满足，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和； （3）求满足中的最小值. 17. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图①是一个边长为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，并去掉中间的小正三角形得到图②，对图②中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图③，再对图③中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图④，…，依此类推得到个图形. （1）在第个图形中，记实心小正三角形的个数为，每个实心小正三角形的边长为.补全下列表格，并直接写出数列和的通项公式（不需证明）； 1 2 3 4 1 3 27 1 （2）若记为第个图形中所有实心小正三角形的周长之和. （i）证明：当时，； （ii）求数列的前项和. 18. 将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成下表： 已知表中的第一列数，，，构成一个等差数列，记为，且，.表中每一行正中间的一个数，，，构成数列，其前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，. （i）求的表达式； （ii）记集合中有且仅有三个元素，求实数的取值范围. 19. 已知数列满足，且，，记数列的前项和为. （1）求与的值并证明，； （2）试比较与的大小关系并说明理由； （3）证明：. 2026-2027年苏州中学高二上10月考试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】1 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）第3项为，第8项为. （2）20是数列的项，是第10项，理由如下. 令，即，解得或， 因为是正整数，所以，所以20是数列的项，是第10项. 【16题答案】 【答案】（1）由， 因为，所以， 则，又， 所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列. （2） （3）2025 【17题答案】 【答案】（1） 分析图案易知， 1 2 3 4 1 3 9 27 1 则 （2） （i）由题意得， 因为， 所以为以3为首项，为公比的等比数列，且该数列为正项递增数列， 又因为， 所以，当时，. （ii） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【19题答案】 【答案】（1），且，令，得，令，得， 用数学归纳法证明， 当时，，命题成立； 假设当时，则时，， 结合，得，则当时，命题也成立， 所以，对所有成立. （2），理由如下. ， 由(1)知，故，结合，得，即，因此是严格递减数列，故. （3）由，得，令，则， 先证明：，. 当时，，成立， 假设当时，则，于是所以当时， 故，即当时也成立， 由数学归纳法得，，（等号仅在时成立）. 接着证明：，. 当时，，，不等式成立， 假设当时，因为，所以当时， 即当时，不等式也成立， 由数学归纳法得，，（等号仅在时成立）， 所以（等号仅在时成立）. 再证明：时，，. 由，得当时， 即，，. 所以，， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $