江苏省震泽中学2026-2027学年高二上学期第一次检测数学试题

2025级高二上学期第一次检测 高二数学 2026.10 （满分150分，考试时间：120分钟） 命题、审题：高二数学核心备课组 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 2.如图是用◆摆放而成的图案，其中第①个图中有2个◆，第②个图中有个◆，第③个图中有10个◆，第④个图中有个◆，……按此规律排列下去，则第⑦个图案中◆的个数为（     ） A． B． C． D． 3．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（  ） A．39 B．9 C．19 D．29 4．已知数列的前项和为，，，则=（  ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中有“女子善织”问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的倍，天共织尺，若该女子欲织满尺，则至少需要（ ）日 A．8 B．9 C．7 D．6 6．已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（    ） A． B． C． 使成立的最小值为9 D．n=9 时有最大值 7．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），则当时，需要（  ）步“雹程”？ A．13 B．16 C．19 D．21 8．设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列前项的和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，且则数列的通项公式为 B．设是等差数列的前项和，若，则 C．“数列为正项等比数列”是“数列为等差数列”的充要条件 D．若，，则 10． “苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“川攵”，在B点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（ ） A．从始发车站到A点的所有里程碑个数为14 B．从A点到B点的所有里程碑个数为16 C．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987 D．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984 11．已知数列满足，，其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列满足，则数列的前2026项和 . 13．数列，，，，，，，，，，，，前项的和是______. 14．与的公共项从小到大构成新数列，则的通项公式为________________. 则的最小项的值为____________. （第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步棸. 15．（本小题13分）已知数列的前n项和为. (1)求的值及的通项公式；(3)设，是数列的前n项和，求. 16．（本小题15分）已知是等差数列，满足，，数列满足，且是等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意 都有恒成立，求实数的最小值． 17．（本小题15分）已知数列满足，数列为正项等比数列，且， (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和 (． 18．（本小题17分）已知数列的前项和为，且，，成等差数列． (1)求证数列是等比数列，并求出通项；（2）求数列的前n项和； (3)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最大正整数的值． 19．（本小题17分）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请求出的值并判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．记为等差数列的前项和，已知，，则（  D   ） A． B． C． D． 2.如图是用◆摆放而成的图案，其中第①个图中有2个◆，第②个图中有个◆，第③个图中有10个◆，第④个图中有个◆，……按此规律排列下去，则第⑦个图案中◆的个数为（  C   ） A． B． C． D． 3．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ C   ） A．39 B．9 C．19 D．29 4．已知数列的前项和为，，，则=（  D  ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中有“女子善织”问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的倍，天共织尺，若该女子欲织满尺，则至少需要（A  ）日 A．8 B．9 C．7 D．6 6．已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（  D  ） A． B． C． 使成立的最小值为9 D．n=9 时有最大值 7．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），则当时，需要（ B   ）步“雹程”？ A．13 B．16 C．19 D．21 8．设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（ B  ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列前项的和为，则下列说法正确的是（    ） BCD A．若，且则数列的通项公式为 B．设是等差数列的前项和，若，则 C．“数列为正项等比数列”是“数列为等差数列”的充要条件 D．若，，则 10． “苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“川攵”，在B点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（ABD ） A．从始发车站到A点的所有里程碑个数为14 B．从A点到B点的所有里程碑个数为16 C．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987 D．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984 11．已知数列满足，，其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据递推式计算即可；对于B，由题可得，再根据即可推导；对于C，可举例判断；对于D，由题知，，再利用累加法即可求解． 【详解】，，，，，故A正确； 对于B，由， ，故B正确 对于C，当时，，而，，故C错误. 因为，， 即，，…， 累加得 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列满足，则数列的前2026项和 . 13．数列，，，，，，，，，，，，前项的和是______. 14．与的公共项从小到大构成新数列，则的通项公式为________________. 则的最小项的值为____________. （第一空2分，第二空3分） ; 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步棸. 15．（本小题13分）已知数列的前n项和为. (1)求的值及的通项公式；(3)设，是数列的前n项和，求. 【答案】(1) (2)； (3) 16．（本小题15分）已知是等差数列，满足，，数列满足，且是等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意 都有恒成立，求实数的最小值． 【详解】（1） 设的公差为，则， ， 故的通项公式为． 设，则为等比数列． ，， 设的公比为，则，故． 则，即． ． 故的通项公式为． （2）由题意，应为数列的最大项． 由． 当时，，，即； 当时，，即=6； 当时，，，即 综上所述，数列中的最大项为和．故． 17．（本小题15分）已知数列满足，数列为正项等比数列，且， (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和 (． 【详解】（1）令公比为且，则， 整理，解得，或（舍去）， 故，故． （2）= ( 18．（本小题17分）已知数列的前项和为，且，，成等差数列． (1)求证数列是等比数列，并求出通项；（2）求数列的前n项和； (3)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最大正整数的值． 【详解】（1）由，，成等差数列，根据等差数列中项性质得： ， 化简得 ①，. 当时，，解得. 当时， ②. ①②得：，整理得，即. 又，故是首项为，公比为的等比数列. 因此，且， 即. （2） （3）由（1）得，代入的表达式得： ， 由题意，为的第项，故. 所以 ， 由等比数列前项和公式可得：， 故. 令，设，，则： ， 故为递增数列. 故，， 故满足不等式的最大正整数为10. 19．（本小题17分）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请求出的值并判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为，且数列为“数列”， 所以，即， 所以是以首项为，公差的等差数列， 所以； （2）(2)是“数列”，理由： 由已知条件可得，，故，所以． 当时，根据通项公式可得， ①②得，又也成立，所以，                                       设，即，所以，又， 所以是以首项为，公比为的等比数列． 所以，即，                                  所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列，故数列是“数列”； （3）由数列是“数列”得， 所以，即，所以， 所以时，， 当时上式也成立，故．                假设存在正整数，，使得，即， 由，可知，所以， 又因为，为正整数，所以，                     又， 所以，则．                           ，则， ，，故存在满足条件的正整数，，且，. 第6页，共8页 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $