精品解析：江苏省泗阳中学2026-2027学年第一学期第一次学情调研高二数学试卷

2026-2027学年第一学期第一次学情调研 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8题，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0° B. 45° C. 90° D. 135° 【答案】C 【解析】 【详解】直线等价于,该直线的斜率不存在，所以倾斜角为90°. 2. 已知圆，则该圆的半径为（ ） A. B. 6 C. 9 D. 13 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，则半径为． 3. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 4. 点关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出点关于直线的对称点，求出的中点，然后利用的中点在直线上且直线与垂直，列出方程组求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 由中点坐标公式得的中点为， 则的中点在直线上且直线与垂直， 所以，化简得，则， 所以点关于直线的对称点为. 故选：B 5. 点与圆的位置关系为（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 与的值有关 【答案】C 【解析】 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 6. 已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆的标准方程是，将代入求解即可. 【详解】解：由题意设圆的标准方程是， 因为圆经过两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程是， 故选：A 7. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得、的关系式，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，所以，， 所以 ， 当且仅当即，时取等号，的最小值为， 故选：D 8. 在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】结合题设条件将所求式理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和．通过点关于直线对称，由三点共线时可得其最小值. 【详解】如图： 作点关于直线的对称点，则． 设，则有，解得，所以． 已知点，则， 而，所以点到轴的距离为， 所以可理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和． 过作轴，由图知，当且仅当，，三点共线时，和有最小值． 因直线与轴交于点，此时轴，且， 由图知，当点移动到点时，取得最小值为4． 故选：B. 二、多选题（共3题，共18分） 9. 对于直线，．以下说法错误的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】AC 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为，， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，故C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时， 到直线的距离最大，最大值为， 故D正确， 故选：AC. 10. 已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（ ） A. 点A的坐标为 B. 当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C. 直线的方程可以是 D. 直线的方程可以是 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查过定点的直线方程、点到直线的距离公式．对于A选项利用直线过定点的定点求法求解即可；对于B，利用直线l在y轴上的截距为1，结合直线的方程求解即可；对于C，考虑斜率不存在的情况求解即可；对于D，利用点到直线距离公式建立方程即可. 【详解】对于A，由已知得，令解得所以定点，故A正确； 对于B，当直线l在y轴上的截距为1时，直线l过点，代入得，解得，此时直线l的方程为，故B正确； 对于C，易知直线过定点，当直线的斜率不存在，即时，可得，此时点到直线的距离为2，符合题意，故C正确； 对于D，当直线的斜率存在，即时，由题可得，解得，即直线，故D错误． 11. 已知曲线：（不同时为零），则（ ） A. 上的点的到点的距离的最大值为 B. 上的点的横坐标的取值范围是 C. 围成的图形的面积为 D. 若上有四个点到直线的距离等于，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过对称性确定曲线图形，再结合图形逐项判断即可. 【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称， 当，时，曲线 可化为：，表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆， 其图象为： 对于A：坐标原点到的距离为，所以上的点的到点的距离的最大值为，正确； 对于B：由图象可知上的点的横坐标的取值范围是，故B错误； 对于C:第一象限围成的面积为， 故曲线围成的图形的面积为.C正确； 对于D: 连接第二象限和第四象限的圆心得到直线：，显然与垂直， 画出与两条直线， 由到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于， 由到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于， 所以结合图象可知：若上有四个点到直线的距离等于，则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（共3题，共15分） 12. 已知三点共线，则实数的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据A，B，C三点共线可得，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为：. 13. 若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 14. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，则顶点的坐标_____________，若为直线：上的动点，则取最大值时的点的坐标为_____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据点在直线上，结合中点坐标公式与斜率关系，即可联立方程求解出顶点的坐标；求解点关于直线的对称点，结合三角形的三边关系即可求解最值，进而联立方程求解交点坐标． 【详解】设，则的中点坐标为， 因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设，因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即； 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值， 所以的最大值为； 由，，可得直线的方程为，即， 由解得即当取得最大值时，点的坐标为． 四、解答题. 15. 已知的三个顶点是. （1）求边所在直线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】（1）求出边所在直线的斜率，根据直线的点斜式方程，写出边所在直线的方程； （2）利用两点间距离公式求边的长度，利用点到直线的距离公式求边上的高，进而求得的面积. 【小问1详解】 直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 线段， 设为点到直线的距离，则， . 即的面积为. 16. 在平面直角坐标系中，已知三点，，． （1）若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式求得斜率，再根据两直线垂直时斜率关系求得直线的斜率，由点斜式方程即可求解； （2）分类讨论，当截距为0和截距不为0两种情况即可求解． 【小问1详解】 由，可得直线AB的斜率为， 因为，故直线的斜率为3， 则直线的方程为，即． 【小问2详解】 当截距均为0时，直线方程为，符合题意， 当截距不为0时，不妨设直线方程为， 又直线经过点A，故，即，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或． 17. 已知等腰直角的三个顶点为，，，且. （1）求点C的坐标； （2）若点D是中点，求的外接圆方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形形状以及垂直关系的向量表示，联立方程组可得，再由可得点的坐标为； （2）求出，设出圆的一般方程，利用待定系数法计算可得其外接圆方程. 【小问1详解】 由题意知 易知 因为，所以，即①， 又所以，即②, 将①式代入②式得， 又，所以,得, 点的坐标为. 【小问2详解】 由题意知, 设的外接圆方程为， 代入点得,解得, 即， 即的外接圆方程为. 18. 已知直线. （1）证明：直线恒过定点，并求该点坐标. （2）若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1）证明: 直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点. （2）或 （3）的最小值为16，此时直线的方程为 【解析】 【分析】（1）将直线方程化为的形式，从而确定定点； （2）先分别求出直线与轴交点的横坐标和在轴上的截距，再根据二者相等列方程求解的值； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，最后根据面积取最小值时的值确定直线l的方程． 【小问1详解】 证明略，定点为. 【小问2详解】 当时，直线的方程为，与轴无交点，不符合题意； 当时，直线的方程为， 令，则， 令，则， 由题意得，即， 即，解得或，经检验，均成立. 所以的值为或. 【小问3详解】 由题意可知，由（2）知，， 故， 当且仅当，即时，取等号， 故的最小值为16，此时直线的方程为. 19. 已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求证：的面积为定值． （2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． （3）在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】（1）证明：由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. （2） （3）最小值为， 【解析】 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； 【小问3详解】 如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次学情调研 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8题，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0° B. 45° C. 90° D. 135° 2. 已知圆，则该圆的半径为（ ） A. B. 6 C. 9 D. 13 3. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 点关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 5. 点与圆的位置关系为（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 与的值有关 6. 已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题（共3题，共18分） 9. 对于直线，．以下说法错误的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 10. 已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（ ） A. 点A的坐标为 B. 当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C. 直线的方程可以是 D. 直线的方程可以是 11. 已知曲线：（不同时为零），则（ ） A. 上的点的到点的距离的最大值为 B. 上的点的横坐标的取值范围是 C. 围成的图形的面积为 D. 若上有四个点到直线的距离等于，则 三、填空题（共3题，共15分） 12. 已知三点共线，则实数的值为______. 13. 若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 14. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，则顶点的坐标_____________，若为直线：上的动点，则取最大值时的点的坐标为_____________. 四、解答题. 15. 已知的三个顶点是. （1）求边所在直线的方程； （2）求的面积. 16. 在平面直角坐标系中，已知三点，，． （1）若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 17. 已知等腰直角的三个顶点为，，，且. （1）求点C的坐标； （2）若点D是中点，求的外接圆方程. 18. 已知直线. （1）证明：直线恒过定点，并求该点坐标. （2）若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 19. 已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求证：的面积为定值． （2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． （3）在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $