3.1椭圆单元基础作业设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1椭圆单元基础作业设计 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 棠外高2025级创新班数学定时训练（三） 学段学科 高中 适用年级 高二 教材版本 人教版 对应内容 3.1椭圆 作业类型 单元作业 完成时长 总时长40分钟 设计者 白千慧 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求： 1. 数学抽象 从“到两定点距离之和为常数”的几何定义，抽象出椭圆标准方程 ，并进一步抽象出焦点、焦距、顶点、离心率等概念。本作业中第1、3、4、7题都涉及由几何条件抽象出 a,c 关系。 2. 直观想象 借助椭圆图形理解焦点、顶点、对称轴、范围，以及直线与椭圆的位置关系。第1题中 x 轴、第4题焦点弦比例、第5题关于 y=m 的对称点，都需要图形直观支撑。 3. 逻辑推理 由椭圆定义推出焦点三角形周长 4a，由联立方程推出弦长、面积、中点弦关系。第2题用定义，第7题用余弦定理推离心率，第8题用点差法，均体现逻辑推理。 4. 数学运算 包括待定系数法求方程、联立直线与椭圆、韦达定理、弦长公式、三角形面积、点差法运算。第5、6、8、9题对运算能力要求较高。 具体应达成： 1. 理解椭圆定义，能根据定义判断轨迹、求焦点三角形周长。如第2题、第7题、第9题。 2. 掌握椭圆标准方程，能根据焦点位置、顶点、焦距等条件求方程。如第3题、第8题、第9题第（Ⅰ）问。 3. 掌握椭圆简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。如第1、3、4、7题集中考查离心率。 4. 能判断直线与椭圆的位置关系，会用联立方程和判别式解决公共点问题。如第6题D选项。 5. 会求弦长、焦点弦、三角形面积、中点弦，能运用韦达定理、点差法。如第5、8、9题。 6. 能在简单综合问题中实现“几何条件代数化”，体会坐标法。 · 教材地位：椭圆是高中解析几何“圆锥曲线与方程”的起始和核心内容。 1. 承上。承接必修中的直线与圆、曲线与方程、坐标法，进一步用代数方程研究更复杂的几何曲线。 2. 启下。为双曲线、抛物线的研究提供范式：定义—方程—性质—直线与曲线位置关系—综合应用。 3. 承载的核心概念。椭圆定义、标准方程、焦点、焦距、顶点、离心率、焦点三角形、弦、中点弦等。 4. 承载的核心方法。坐标法、待定系数法、定义法、联立方程法、韦达定理、点差法、数形结合、化归转化。 5. 承载的价值观。通过代数方法研究几何图形，体会“几何问题代数化”的力量，感受圆锥曲线的对称美、统一美，培养理性思维和运算严谨性。 · 教学重难点： 重点：1. 椭圆几何性质，尤其是离心率； 2. 焦点三角形与椭圆定义的综合； 3. 直线与椭圆的位置关系、弦长与面积。 难点：1. 离心率的求法 2. 焦点三角形 3. 中点弦与点差法 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已经掌握椭圆的定义、几何性质，掌握一些基础的计算离心率的方法，了解了椭圆中的最值问题。 现有困惑 对焦点三角形的相关解法不够熟悉，点差法的运用还存在不熟练的现象。 差异分析 对基础较弱的学生至少要保证做对1-4题；第7题，第9题的第一小问，对大部分的学生在刚才的基础上还要做对第5题、第8题，对基础较好的学生要求做对第9题。 3. 设计意图（一段话讲清即可） 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 识记椭圆的定义、几何性质。 直观想象 正确率、概念复述 能力运用 B 运用联立方程方法求弦长、焦点三角形问题 数学运算 过程记录、方法选用 思维发展 C 比较、概括、推理、评价、创新椭圆中设直线方程的方法和技巧 逻辑推理 论证思路、创意思维体现 情感态度 D 认同解析几何的价值，形成数形结合意识 数学抽象 反思语、作品倾向 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 单选 已知椭圆,则椭圆的离心率(    ) A 运用椭圆几何性质 本题考查椭圆的标准方程及几何意义的应用，考查直线与椭圆的位置关系的应用，属于基础题． 由条件可求得点坐标，根据垂直于轴，所以，可得，继而得到结果． 2 单选 已知椭圆,则的值为(    ) A 运用椭圆几何性质 本题考查了椭圆的性质及几何意义，椭圆的概念及标准方程． 解答本题的关键是由条件“的周长为”得到，再由，，即得的值． 3 单选 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为(    ) A 运用椭圆几何性质 本题考查椭圆的离心率的求法，考查计算能力，属于基础题． 利用椭圆的焦点坐标，求出，然后求解椭圆的离心率即可． 4 单选 已知椭圆：,则椭圆的离心率为  ． B 会利用焦点三角形相关结论 本题考查求椭圆的离心率，属于基础题． 求出点坐标，代入椭圆方程，即可求离心率． 5 多选 设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则    A\B\C 会解决直线与椭圆的相关问题 本题主要考查了椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系，属于基础题． 根据椭圆的性质，以及椭圆与直线的位置关系，逐项分析判断正误即可． 6 多选 方程，下面命题正确的是 A\B\C 运用椭圆的几何性质、焦点三角形相关结论 本题考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义和直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 利用椭圆的标准方程，对进行判断，再利用椭圆的标准方程，结合椭圆的性质，对进行判断，再利用椭圆的标准方程，结合椭圆的离心率计算，对进行判断，再利用直线与椭圆的位置关系，对进行判断，从而得结论． 7 填空 已知点是椭圆上的一点，，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为          ． B 会运用焦点三角形相关结论 本题考查椭圆的定义及性质，同时考查了余弦定理的应用，属于基础题． 画出图形，利用椭圆的定义，以及余弦定理求出，关系，然后求解椭圆的离心率即可． 8 填空 已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于两点，的中点为，且直线的斜率，则椭圆的方程为          ． C 会解决直线与椭圆的相关问题 本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系、中点弦问题，属于难题． 设，由点差式可得，又由，可解得，即椭圆方程可求． 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，属于中档题． Ⅰ利用已知条件求出椭圆方程中的几何量，即可求椭圆的方程； Ⅱ设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由弦长求得值，然后代入三角形面积公式求得的面积． 9 解答 Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ若，求的面积． C\D 会解决椭圆的综合性问题 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 10 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 15 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 15 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 10 6、 试题详情 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，右焦点为，直线与直线相交于点若垂直于轴，则椭圆的离心率(    ) A. B. C. D. 2.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 4.已知椭圆：的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为  ． A.                     B.                   C.                          D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则    A. 为定值 B. 的周长的取值范围是 C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为 6.方程，下面命题正确的是(    ) A. 若方程表示椭圆，则 B. 若椭圆长轴在轴上，两焦点距离为，则 C. 若椭圆的离心率，则 D. 以为焦点的椭圆与直线有两个不同的公共点 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知点是椭圆上的一点，，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为          ． 8.已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于两点，的中点为，且直线的斜率，则椭圆的方程为          ． 四、解答题：本题共1小题，共13分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知椭圆：，离心率为，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ若，求的面积． 7、 答案与解析 1.【答案】  【解答】 解：由题意，直线的方程为：， 直线的方程为：， 所以联立可得的横坐标为：， 垂直于轴，所以，可得， 所以椭圆的离心率为：． 故选A． 2.【答案】  【解答】 解：，为过的直线与椭圆的交点，的周长为， 由椭圆的性质可知，，即， 又，， ， ， ， ． 故选C． 3.【答案】  【解答】 解：椭圆：的一个焦点为， 可得，解得， ， ． 故选：． 4.【答案】  【解答】 解：由椭圆定义可得，又， 所以，又， 所以， ，，设， 则，， 可得 得，代入椭圆方程可得． 故选C． 5.【答案】  【解答】 解：设椭圆的左焦点为，则，所以为定值，A正确； 的周长为，因为为定值，易知的范围是， 所以的周长的范围是，B错误； 将与椭圆方程联立，可解得，，又易知， 所以，所以为直角三角形，C正确； 将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确， 故选ACD． 6.【答案】  【解答】 解：对于、因为方程：表示椭圆， 所以，且， 解得，因此不正确； 对于、因为椭圆长轴在轴上， 所以，解得． 又因为椭圆的两焦点距离为， 所以， 解得，因此B正确； 对于、因为当椭圆的长轴在轴上时，由知：， 椭圆的离心率， 所以由椭圆的离心率， 得，解得． 当椭圆的长轴在轴上时， 则，解得， 椭圆的离心率， 所以由椭圆的离心率， 得，解得， 因此不正确； 对于、当椭圆是以为焦点的椭圆时， 由知：，且，解得， 因此椭圆的方程为． 因为由得， 而， 所以椭圆与直线有两个不同的公共点，因此D正确． 故选BD． 7.【答案】  【解答】 解：点是椭圆上的一点，，分别为椭圆的左、右焦点， ，且， 如图所示：设，则， 则： 可得，解得． 故答案为． 8.【答案】  【解答】 解：设，由题意可得，两式作差可得，即因为的中点为，且直线的斜率，所以，且所以，即又因为，，所以所以椭圆的方程为：． 故答案为． 9.【答案】解：Ⅰ由题得：，，，． 又， 椭圆的方程为； Ⅱ设直线的方程为，联立， 得． 设、的坐标分别为，， 则， ， 联立解得：． ．  学科网（北京）股份有限公司 $