3.1.1椭圆的标准方程课时作业设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学课时作业设计 3.1.1 椭圆的标准方程 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 结构化课时作业：3.1.1 椭圆的标准方程 学段学科 高中 数学 适用年级 高二上 教材版本 人教A版选择性必修第一册 对应内容 第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆的标准方程，侧重椭圆定义的理解与标准方程的求法 作业类型 结构化课后分层课时作业，包含错题溯源、元认知反思模块 完成时长 全员必做题约35分钟；选做题合计约25分钟，自主选做，不强制完成 设计者 李建坤 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 （1）课标要求：本作业对应的学科核心素养，重点素养：数学抽象、数学运算；渗透素养：逻辑推理、直观想象。达成“经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义及标准方程，能求简单情境下椭圆的标准方程”的学业质量标准。 （2）教材地位：本课时是圆锥曲线的起始课，承接必修二圆与直线的内容，是本章“用方程研究几何对象”思想方法的第一次完整实践。椭圆的定义（平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹）是核心概念，标准方程的推导蕴含“建系—设点—列式—化简”的解析几何通法，是后续学习椭圆几何性质、双曲线、抛物线的重要基础。 （3）教学重难点：重点：椭圆的定义、标准方程的两种形式及待定系数法求标准方程；难点：定义中“距离之和大于两定点间距离”条件的理解，焦点位置的判断与分类讨论，定义法求轨迹方程。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已掌握圆的定义与方程、求曲线方程的一般方法（建系、设点、列式、化简），会求圆的轨迹方程；知道两点间距离公式，具备一定的代数化简运算能力。 现有困惑 ① 对定义中常数大于的条件理解不深，不能准确判断“和为定值”的轨迹形态；② 焦点在哪个轴上判断出错，、、的关系混淆（）；③ 焦点位置不确定时不会分类讨论，或不会用“”型方程回避讨论；④ 从圆、垂直平分线等背景中提炼“到两定点距离之和为定值”的意识不足。 差异分析 班级学生能力分层明显：基础学生能完成待定系数法求方程的简单题；中等生在焦点三角形、由几何条件（圆、垂直平分线、斜率关系）建轨迹方程上容易受阻；优等生可挑战焦点三角形面积、定义法综合问题。应对策略：作业设置全员必做、选做A、选做B三层习题，匹配不同层次学生学习需求。 3. 设计意图 本作业紧扣椭圆定义的生成与标准方程的应用，按照“基础巩固→综合应用→拓展提升”的梯度设计：全员必做题夯实定义辨析与待定系数法两大基本技能；选做A聚焦定义法求轨迹方程（圆中点、动圆相切等背景）；选做B安排焦点三角形面积公式推导与垂直平分线轨迹问题，落实数形结合与逻辑推理素养的培养；习题刻意强化高频易错点（常数条件、焦点位置判断、分类讨论），并配备错题溯源与反思模块，实现知识巩固、思维训练、元认知培养一体化，对接高二阶段性考试命题风格。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能准确叙述椭圆的定义，说明“和大于”的条件作用；掌握两种标准方程及、、的关系，会由方程求焦点、顶点 数学抽象 选择题正确率，概念辨析正误判断 能力运用 B 会用待定系数法及定义法求椭圆的标准方程；焦点位置不确定时会分类讨论或用统一方程回避讨论；能处理焦点三角形求周长问题 数学运算、逻辑推理 解答题分类讨论完整性，方程结果的正确率 思维发展 C 能从圆、垂直平分线、动圆相切等情境中提炼定义条件、建立轨迹方程；会推导焦点三角形面积公式，体会数形结合思想 逻辑推理、直观想象 轨迹问题的建模过程，面积公式推导的严谨性 情感态度 D 养成先判断焦点位置、再设方程的严谨习惯；建立错题反思复盘意识，正视易错点，形成自主诊断的学习能力（通用学习能力，非课标数学核心素养） — 错题摘抄完整性、错误根源归类、可落地的整改措施与学习反思文本 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 难度/建议 1 选择 由椭圆方程及到一焦点的距离求到另一焦点的距离 A、B 检验椭圆定义的运用 ★（必做） 2 解答 由、、条件求椭圆标准方程 A、B 巩固待定系数法与 ★（必做） 3 多选 椭圆标准方程与性质的命题辨析 A、C 辨析焦点位置、离心率与定义 ★（必做） 4 解答 由距离之和的根式等式判断轨迹并求方程 A、B 训练从根式条件识别椭圆定义 ★（必做） 5 解答 由焦点坐标、条件求标准方程 B 巩固与焦点位置判断 ★（必做） 6 解答 焦点弦三角形周长问题 B、C 定义法处理焦点三角形周长 ★（必做） 7 解答 由斜率之商的几何条件求轨迹 B、C 轨迹方程的直接法与条件挖掘 ★（必做） 8 解答 圆上动点与中点倍分关系求轨迹（教材P107例3类） B、C 代入法（相关点法）求轨迹方程 ★★（选做A） 9 解答 与两定圆外切、内切的动圆圆心轨迹 B、C 从相切背景中提炼椭圆定义 ★★（选做A） 10 解答 由斜率之积为负常数求轨迹（教材例4类） B、C 直接法求轨迹并判断曲线 ★★★（选做B） 11 解答 推导焦点三角形面积公式 C、D 定义与余弦定理综合，培养推理能力 ★★★★（选做B） 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 反思态度 错题溯源详实，反思深刻；能主动寻找同类题巩固；书写规范 能完成基本的错题摘抄和整改措施；反思具有一定针对性 缺乏错题反思，或反思流于形式，书写潦草 20% 六、具体作业内容 模块1：基础巩固——知识生长（全员必做，7题） 1．如果椭圆 上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1），，焦点在x轴上； （2），，焦点在y轴上； （3），． 3．【多选题】已知椭圆：，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为 B．椭圆的长轴长为10，离心率为 C．若为椭圆上一点，且，则 D．椭圆的焦点坐标为 4．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。 5．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标分别为，，； （2），。 6．已知椭圆，经过右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点。 （1）求的周长； （2）如果不垂直于轴，的周长有变化吗？为什么？ 7．已知、两点的坐标分别是，，直线、相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点的轨迹是什么？为什么？ 模块2：综合应用——能力生长（选做A，2题） 8．如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足。当点在圆上运动时，线段中点的轨迹是什么？为什么？ 9． 一个动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 模块3：拓展提升——素养生长（选做B，2题） 10． 设、两点的坐标分别为，，直线、相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状。 11． 已知是椭圆上一点，、是椭圆的左、右焦点，且。求证：的面积为。 模块：错题溯源——纠错生长（全员必做） 错题摘抄：________________________________________ 错误根源：□定义理解偏差（常数条件、焦点位置） □待定系数法设方程出错 □关系用错 □分类讨论遗漏 □审题疏漏 整改措施：________________________________________ （示例参考：焦点位置不确定时，先分“焦点在轴”“焦点在轴”两类讨论，或设统一处理。） ：反思生长（全员必做） 本节课+本次作业我的收获（从知识、思想、方法方面）：________________________________________ 后续提升计划：________________________________________ （示例参考：整理“和为定值”型轨迹问题的判断方法：大于为椭圆，等于为线段，小于不存在。） 七、参考答案 1．【答案】B 【解析】由椭圆的定义知，由方程得，，所以，故选B。 2．【答案】（1）；（2）；（3） 或 【解析】（1）由题意，，焦点在轴，方程为。 （2），焦点在轴，方程为。 （3）由及（即）解得，（负值舍去）。焦点位置不确定，故方程为或。 3．【答案】ABC 【解析】由知焦点在轴上，，，，A、B正确；由定义，故，C正确；椭圆的焦点在轴上，坐标为，D错误。故选ABC。 4．【答案】椭圆，方程为 【解析】两个根式分别是点到定点、的距离，故到两定点的距离之和为10，且，由椭圆定义，轨迹是以为焦点的椭圆。由，得，，，焦点在轴上，方程为。 5．【答案】（1）；（2） 或 【解析】（1）焦点在轴上，，，方程为。 （2）解得，，，焦点位置不确定，故方程为或。 6．【答案】（1）20；（2）不变 【解析】（1）由椭圆的定义得，，所以的周长为。 （2）不变。无论与轴的位置关系如何，周长恒为，只与有关。 7．【答案】点的轨迹是直线，并去掉点 【解析】设，则，。当时，，整理得，且满足；当时斜率不存在（或为0），商无意义。所以点的轨迹是直线，并去掉点。 8．【答案】椭圆 【解析】设，，则。由是的中点得，，即，。因为在圆上，所以，代入得，即。所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4、短轴长为2的椭圆。 9．【答案】；椭圆 【解析】设动圆圆心为，半径为。两已知圆配方得（圆心，半径2）与（圆心，半径10）。外切：；内切：。两式相加得，由椭圆定义，的轨迹是以、为焦点，长轴长12的椭圆：，，，方程为。 10．【答案】；除去两点的椭圆 【解析】设，，（）。由得，即，轨迹是除去、两点的椭圆。 11．【证明】设，，由椭圆定义。 在中由余弦定理，，即，所以。 所以，得证。 学科网（北京）股份有限公司 $