专题3.3 双曲线及其标准方程重难点讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题3.3 双曲线及其标准方程重难点题型专训 （3个知识点+11大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、双曲线定义的理解 题型二、利用双曲线定义求方程 题型三、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 题型四、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型五、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 题型六、根据方程表示双曲线求参数的范围 题型七、根据双曲线方程求a,b,c 题型八、双曲线的方程与双曲线(焦点)位置的特征 题型九、根据a、b、c求双曲线的标准方程 题型十、根据双曲线过的点求标准方程 题型十一、求双曲线的轨迹方程 第二部分·练提高题型 题型一、双曲线定义的应用 题型二、双曲线相关方程的求解 第三部分・自我检测 知识点01 双曲线的定义 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 【即时训练】 1．（25-26高二上·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离的范围求解. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以，所以， 由双曲线的定义可得，即， 可得或， 又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，， 所以或. 故选：C 2．（25-26高三上·北京房山·期末）双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为_____． 【答案】2 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于. 所以. 故答案为：2. 知识点02 双曲线的焦点三角形 1．双曲线的焦点三角形 （1）焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1，F2为双曲线的焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. （2）求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. （3）焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 【即时训练】 1．（2025·青海海南·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用焦点三角形的性质结合题设条件可得，从而可得焦点三角形为直角三角形，从而可求其面积. 【详解】点P在双曲线右支上， 由双曲线的定义可得， 又，两式联立得. 又， 所以，即为直角三角形， 所以. 故选：C 2．（25-26高二上·上海·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为________． 【答案】12 【分析】根据双曲线的定义和性质，即可求出的周长． 【详解】由双曲线的方程可知， 则，， 则 ，   即， 则的周长为， 故答案为：12 知识点03 双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1（-c，0），F2（c，0） F1（0，-c），F2（0，c） a，b，c的关系 2．双曲线方程的求解 （1）用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. （2）用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【即时训练】 1．（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和关系求解即可. 【详解】设双曲线的方程为， 由题可得， ，所以， 解得或（舍）， 所以，所以该双曲线的方程为. 故选：. 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 【基础题型一 双曲线定义的理解】 【例1】（25-26高二下·上海黄浦·期中）到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，对定值进行讨论，即可判断选项. 【详解】设两定点分别为和，设， 当时为双曲线的一支， 当时为一条射线， 当时，为的垂直平分线，一条直线， 无论为何值时，都不会是双曲线. 1．（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可知，，再代入求解即可． 【详解】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ， ， 则． 故选：B． 2．（24-25高二上·宁夏·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【答案】AD 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 3．（25-26高三上·广东梅州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交的左支于两点，且，则的周长为______． 【答案】14 【分析】先将双曲线方程化为标准方程，从而得到的值，再根据双曲线的定义得到，最后结合求出的周长. 【详解】双曲线方程为：，，，. 直线经过且与双曲线的左支交于两点，由双曲线的定义可得： ，. 上述两式相加得：. 又，. 所以的周长为. 故答案为：14 4．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是什么曲线？ （2）在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于，如果截取的长度等于，其轨迹还是上述图形吗？ 【答案】（1） 由题意，适当选取两定点，，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在处， 在另一边上截取一段（小于），作为动点到两定点和的距离之差， 而后把它固定在处，这时将铅笔（粉笔）置于处， 于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支，（如图所示）， 显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同， 其原因都是应用了“平面上到两定点的距离之差或是同一个常数”这个条件． （2）不是，是以，为端点的两条射线． 【详解】（1）略； （2）略. 【基础题型二 利用双曲线定义求方程】 【例2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为. 故选：B 1．（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 2．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，求出、，即可得到轨迹方程. 【详解】由及双曲线的定义可知， 点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则， 因为，所以，故点的轨迹方程为． 故选：A 3．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 【答案】 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 且，.， 双曲线的方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）四个森林防火观察站的坐标依次为，他们都发现某一地区有火讯．若观察到的距离相差为6，且离近，观察到的距离相差也为6，且离近．试求火讯点的坐标． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，通过解方程组求解出火讯点的坐标即可. 【详解】设火讯点的坐标为，由于观察到的距离相差为6，且， 所以点在双曲线上．则焦距为，半实轴长为，所以半虚轴长为， 由于离近，所以点在双曲线上； 由于离近，所以点也在双曲线上． 联立两双曲线的方程可得即火讯点的坐标为． 【基础题型三 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值】 【例3】（25-26高二上·安徽六安·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和性质可求答案. 【详解】由方程可得， 由定义可得，因为，所以或， 双曲线上的点到同侧焦点的最小距离为， 所以. 故选：B 1．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）双曲线上点P到它的左焦点的距离等于1，则点P到它的右焦点的距离等于（   ） A．9 B． C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据双曲线方程得，结合双曲线的定义求点P到它的右焦点的距离. 【详解】由题设，双曲线参数，若其左右焦点分别为，且， 所以，可得或（舍）. 故选：A 2．（24-25高二上·湖南株洲·期中）（多选）已知双曲线E：的左右焦点分别为、，点P在双曲线E上，=10，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据双曲线定义直接计算可得. 【详解】由双曲线定义可知，即， 所以或. 故选：AD 3．（25-26高二上·河南·阶段检测）设是双曲线的左､右焦点，若点在双曲线上，且，则__________. 【答案】 【分析】根据双曲线定义，可得，即可求出的值，检验的值，根据两边之和大于第三边，即可得答案. 【详解】因为在上，所以， 又，则，所以， 所以，即或， 解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 所以. 故答案为： 4．（24-25高二·全国·随堂练习）过双曲线的右焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离． 【答案】 【分析】先根据双曲线的方程，求得右焦点的坐标，代入双曲线的方程，求得的纵坐标，再结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由题意，双曲线，可得，所以， 所以双曲线的右焦点为， 设过右焦点的直线交双曲线与两点， 令，可得，解得或，所以， 由双曲线的定义，可得， 所以. 故交点到两焦点的距离分别为. 【基础题型四 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题】 【例4】（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图形，结合双曲线的定义，找到对应线段之间的联系，简化计算即可求解． 【详解】如图，连接，，因为为的中点，为的中点， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以，即． 故选：A．    1．（24-25高二下·安徽亳州·阶段检测）设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】由双曲线，则， 由于为的中点，Q为线段的中点，且， 所以，则. 故选：C. 2．（2025·全国·模拟预测）（多选）双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】AC 【分析】根据双曲线方程求出，再根据对称性只需考虑或.当时，将代入双曲线方程，求出，即可求出三角形面积，当时，由双曲线的定义可知，再由勾股定理求出，即可得解； 【详解】解：由双曲线可得.根据双曲线的对称性只需考虑或. 当时，将代入可得，所以的面积为. 当时，由双曲线的定义可知， ，由勾股定理可得. 因为， 所以，此时的面积为 综上所述，的面积为4或. 故选：. 3．（2025·四川成都·三模）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是_______. 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，进而求出三角形面积. 【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得， 由，，解得或， 当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求， 因此，，为直角三角形， 所以的面积是. 故答案为：6 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知点分别是双曲线的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题利用双曲线的定义求解线段长，进一步求焦点三角形的面积. 【详解】由，可知. 又，所以边上的高 所以. 【基础题型五 利用定义求双曲线中线段和、差的最值】 【例5】（2026高二·全国·专题练习）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 1．（2025·江西赣州·一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义可以得出=，当三点共线时最小. 【详解】由双曲线得到,,，左焦点， 设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可. ===. 故选：C. 2．（2025·山西太原·一模）（多选）已知是双曲线的左､右焦点，且到的一条渐近线的距离为为坐标原点，点为右支上的一点，则（    ） A． B．过点且斜率为1的直线与有两个不同的交点 C．若斜率存在，则 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】选项A利用双曲线的定义及性质判断即可，选项B利用直线与双曲线方程联立判断即可，选项C、D利用双曲线的定义即可解决. 【详解】设双曲线的半焦距为，其中一条渐近线为： 因为到的一条渐近线的距离为， 即，所以，又，所以，故A正确； 对于B，双曲线的一条渐近线的斜率为1，所以过点M且斜率为1的直线为， 联立，消去得：，只有一个交点，故B错误； 对于C，设，则，，故C错误； 对于D，由双曲线的定义可知，当且仅当三点共线时取得等号，故D正确， 故选：AD. 3．（25-26高二上·重庆北碚·阶段检测）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】利用双曲线定义可将转化为，结合三角形三边关系可确定最小值为三点共线时的取值，由此可计算得到结果. 【详解】    由双曲线方程知：，，，则，， 由双曲线定义知：， （当且仅当在线段上时取等号）， 又，. 故答案为：. 4．（25-26高二上·贵州·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 【答案】(1)（或）. (2)（i）；（ii）3 【分析】（1）根据距离公式得到方程，整理即可得解； （2）（i）由（1）可得，再根据双曲线的定义计算可得；（ii）利用勾股定理求出，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为， 所以， 将上式两边平方，化简得， 所以的方程为（或）. （2）（i）由（1）可知分别是的左､右焦点，又，， 因为第一象限内的点在上，所以，则， 又，所以， 所以， 当且仅当在与双曲线在第一象限的交点时取等号， 所以的最小值为. （ii）由题意得， 将①左右两边平方，得，结合②得， 所以的面积为.    【基础题型六 根据方程表示双曲线求参数的范围】 【例6】（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 1．（2026·贵州安顺·一模）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 解得或. 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BD 【分析】根据双曲线和椭圆的方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，曲线为,此时表示圆，故A错误， 对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 当时，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 故当或时，曲线C是双曲线，B正确， 对于C, 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误， 对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，故，D正确， 故选：BD 3．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据双曲线的方程格式进行计算即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得或； 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线？ (2)方程表示焦点在轴上的双曲线？ 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）（2）根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可. 【详解】（1）原方程可变形为， 要使方程表示双曲线，必须满足， 即或，解得或， 所以当或时，方程表示双曲线. （2）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得， 所以当时，方程表示焦点在轴上的双曲线. 【基础题型七 根据双曲线方程求a,b,c】 【例7】（25-26高二上·江苏南通·期末）双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先化为标准方程，再结合关系求解即可. 【详解】将双曲线化为标准方程得： 所以双曲线的焦点在轴上，且， 因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以，即，解得 故选：C 1．（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．5 B．-5 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程及参数关系计算即可. 【详解】由题意知，双曲线焦点在轴上，且，因此原方程中，即，， 根据得，，所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·河北邢台·期中）（多选）已知是双曲线的上焦点，点在上，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为4 【答案】AC 【分析】根据双曲线的简单几何性质即可求解. 【详解】由可得，所以，得，A正确，B错误， 当为上顶点时，此时的最小值为．C正确，D错误， 故选：AC 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则______． 【答案】 【详解】已知双曲线的一个焦点为，可知，， 所以，解得， 因为，所以. 4．（24-25高二上·江西南昌·期中）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为，求椭圆方程和双曲线方程. 【答案】， 【分析】分类讨论，利用条件，建立方程组，即可求椭圆方程和双曲线方程． 【详解】设焦点在轴上的椭圆方程为，双曲线方程为， 由已知得，，，， 椭圆方程为． 【基础题型八 双曲线的方程与双曲线(焦点)位置的特征】 【例8】（24-25高三上·青海西宁·期中）下列双曲线中，焦点在轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程形式可知结果. 【详解】根据双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点在轴上. 故选：C 1．（24-25高三·全国·阶段测试）若双曲线的一个焦点是，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由焦点坐标计算即可. 【详解】双曲线，化为标准方程为：， 一个焦点是，所以焦点在轴上，. 所以，，所以，所以， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·山东聊城·期末）（多选）已知方程，其中，则（    ） A．时，方程表示椭圆 B．时，方程表示双曲线 C．时，方程表示抛物线 D．时，方程表示焦点在轴上的椭圆 【答案】BD 【解析】当时，表示双曲线，时表示焦点在x轴上的双曲线，表示焦点在y轴上的双曲线；当时表示焦点在y轴上的椭圆，当时表示焦点在x轴上的椭圆. 【详解】若，则不表示椭圆，故A错误； 若，则表示焦点在x轴上的双曲线，若，则表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确； 当时，若，则方程表示两条垂直于x轴的直线，若则不表示任何图形，故C错误； 时，，表示焦点在x轴上的椭圆，D正确. 故选：BD 【点睛】本题考查圆锥曲线的标准方程，由标准方程判断焦点的位置，属于基础题. 3．（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）若双曲线的一个焦点为，则实数__________． 【答案】3 【分析】根据双曲线方程即可得解. 【详解】双曲线的一个焦点为， 所以且， 所以. 故答案为：3 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知双曲线的一个焦点为，求的值． 【答案】 【分析】先化为双曲线的标准形式，利用，列出关于的方程，求出答案 【详解】将双曲线方程化为标准方程为． 因为一个焦点是，所以焦点在轴上， 所以，，， 所以， 所以． 【基础题型九 根据a、b、c求双曲线的标准方程】 【例9】（2026·江西九江·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【详解】因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以 1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线的焦距为6，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的关系即可求解. 【详解】由题意可知，所以. 故选：C 2．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知，，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由条件可得，讨论焦点位置写出双曲线的标准方程即可. 【详解】由已知得， ∴当焦点在轴上，双曲线的标准方程为； 当焦点在轴上，双曲线的标准方程为． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，分类讨论的思想，属于中档题. 3．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为____________. 【答案】 【分析】根据题目条件求出代入即可求出标准方程. 【详解】，代入由右焦点得，， 代入，故， 故双曲线的标准方程为. 故答案为： 4．（24-25高二上·新疆·阶段检测）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线方程. 【答案】 【分析】依题意，设所求双曲线为，即可得到关于与的方程组，求解即可. 【详解】依题意，设所求双曲线为. 又两曲线有相同的焦点，所以①. 又点在双曲线上，所以②. 由①②联立得.故所求双曲线方程为. 故答案为：. 【基础题型十 根据双曲线过的点求标准方程】 【例10】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出双曲线的方程为（），代点进行求解即可. 【详解】设双曲线的方程为（）， 代入点，得， 故所求双曲线的方程为， 其标准方程为． 故选：A． 1．（25-26高二·全国·课后作业）若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的方程解出两点坐标，利用双曲线的图像和性质计算即可. 【详解】将代入解得点坐标分别为， 因为两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分， 所以双曲线焦点在轴上且，解得， 所以双曲线方程为：. 故选：B. 2．（24-25高二上·黑龙江·期中）（多选）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设出双曲线方程，代入点即可求出. 【详解】因为，则可设双曲线方程为或， 将点代入方程可得，解得， 所以双曲线方程为或. 故选：AC. 3．（2026高三·全国·专题练习）经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_______． 【答案】 【分析】设双曲线方程为，代入即可求解. 【详解】设双曲线方程为， 把点代入，得， 故所求双曲线方程为． 故答案为： 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断焦点位置，利用待定系数法求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点为，， 则焦点在上，且， 方程可设为 又经过点， 则， 又，则， 所以双曲线方程为 （2）因为焦点在y轴上， 可设方程为， 又经过点，， 则，解得， 所以双曲线方程为. 【基础题型十一 求双曲线的轨迹方程】 【例11】（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 1．（24-25高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程. 【详解】根据， 可得点到点的距离差的绝对值等于， 结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，则，，所以，， 故方程为：， 故选：A. 2．（24-25高二上·吉林长春·期末）（多选）若，，动点满足，当和时，点轨迹（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线 【答案】BC 【分析】根据已知条件判断的大小关系，结合双曲线定义判断轨迹的图形. 【详解】当时，，故轨迹为双曲线的右支； 当时，，故轨迹为射线； 故选：BC. 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】设点，根据斜率之积是列出关系式即可. 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 4．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 【答案】 【分析】利用两圆相切分别可得，结合双曲线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支，从而可得的轨迹方程. 【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 又因为动圆C与圆外切，且与圆内切， 则，可得， 可知点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支， 则，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 【提高题型一 双曲线定义的应用】 【例1】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意得且，则，根据双曲线定义得点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出其方程即可得解. 【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且． 连接，因为点关于点的对称点为， 线段的垂直平分线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，， 所以，所以曲线的方程为， 令可得，即． 1．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）已知P为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为A，下列结论正确的是（    ） A．的横坐标为2 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出双曲线的实半轴长及半焦距，再利用双曲线的定义，结合三角形内切圆的性质逐项计算判断即得. 【详解】双曲线的实半轴长，半焦距， 设的内切圆在，，上的切点分别为，切点，    显然，即，而，则的横坐标为，A正确； 设的内切圆半径为，则，B正确； 延长交于点，由平分，，得，为的中点， 因此，即有，C正确； ，D错误. 故选：ABC 3．（25-26高二上·宁夏固原·期末）双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，则__________. 【答案】9 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由双曲线，可知：， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在左支上，所以. 故答案为：9. 4．（25-26高二·四川成都·期中）公元2019年，石室2160岁！文翁兴学2160周年纪念活动于2019年11月9日在石室中学文庙校区运动场隆重召开，会场是由一个长，宽的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆相接组成，整个会场关于中轴线对称，图形如下. （1）若、两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，则、两位同学在圆弧什么位置时相距最远，距离为多少？并说明原因. （2）在（1）问的情况下，若要在主会台后的会场边界上关于中轴线对称的两点、处分别放置两个音响，为了达到最好听觉效果，两个音响的距离要足够大，同时、两位同学听到两个音响传来的声音时间差不超过0.18秒，求音响距中轴线距离约为多少时为最佳放置点.（注：不超过0.18秒以秒计算，声音在空气中的传播速度为）. 【答案】（1）、两点分别在圆弧的中点，最远距离为； （2）音响距中轴线距离约为时为最佳放置点； 【分析】（1）分别取两半圆的圆心为。根据题意，利用三角形的性质可证出. （2）以所在的直线为轴， 以中轴线为轴建立平面直角坐标系，求出， 利用双曲线的定义可得，设双曲线方程为，将点代入方程，从而求出，进而求出即可求解. 【详解】（1）分别取两半圆的圆心为 由题意可得 当四点共线时，、两点间的距离最大， 此时、两点分别在圆弧的中点，距离为 （2）以所在的直线为轴， 以中轴线为轴建立平面直角坐标系， 则 ， 根据题意可得, 、两点在以为焦点的双曲线上， ，即， 设双曲线方程为：，则，解得， 所以，解得， 即音响距中轴线距离约为时为最佳放置点. 【提高题型二 双曲线相关方程的求解】 【例2】（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 1．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 2．（24-25高二下·河北邢台·期中）（多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（　　） A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5 B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2 C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1 D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2 【答案】BCD 【详解】 解析：因为|PA－PB|＝5＝AB，所以点P的轨迹是两条射线，故A不正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝2，化简得y2＝2（x2－4），即－＝1，此时P的轨迹在双曲线上，故B正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝1，化简得y2＝x2－4，即x2－y2＝4，此时P的轨迹在双曲线上，故C正确；因为PA－PB＝2＜5＝AB，此时P的轨迹在双曲线上，故D正确． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程______． 【答案】 【分析】由题意可知，结合可求出，从而可写出的一个标准方程． 【详解】因为，所以， 所以， 又因为，则，即， 又因为，所以， 解得， 当时，的一个标准方程为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 1．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支， 且，， 所以其轨迹方程为， 故选:C． 2．（2026·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 【答案】C 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即. 由，可得，则. 若点在双曲线的左支上，由，可得， 此时的周长为； 若点在双曲线的右支上，，与不符. 综上，的周长为22. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 4．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 5．（25-26高二上·山西太原·期末）已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对点的位置进行分类讨论，推导出，可知点的轨迹为双曲线，求出、的值，即可得出点的轨迹方程. 【详解】如下图所示：    当点在轴右侧时，连接，延长交直线于点， 因为，，故为线段的中点， 所以为等腰三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 此时； 当点在轴左侧时，同理可得， 所以， 故点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线， 由题意可得，则，，所以， 因此点的轨迹方程为. 故选：A. 6．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）（多选）已知P为双曲线右支上一点，那么点P到双曲线左焦点F的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】由题意，根据双曲线的方程可得，结合即可下结论. 【详解】由已知可得： 所以， 所以 故选：CD 7．（2025·云南昆明·三模）（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据垂直关系以及角平分线可得，即可求解斜率，判断A，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC. 【详解】，不妨设在第二象限， 当时，则，则，故， ，,故,， 由于是的角平分线，所以,进而可得,故斜率为，故A正确， 由于，所以,B错误，    延长,交于点，连接, 由于是的角平分线，，所以, 故是的中点，, 由双曲线定义可得， 又是的中点，,故C正确，D错误， 故选：AC    8．（24-25高二下·河南开封·开学考试）（多选）若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ） A．曲线可能是圆 B．若曲线为椭圆，则且 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线为双曲线，则 【答案】ACD 【分析】由圆、椭圆、双曲线方程的结构特点逐项判断即可； 【详解】对于A选项，若曲线表示圆，则，解得，即曲线可能是圆，A正确； 对于B选项，若曲线为椭圆，则，解得且，B错误； 对于C选项，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确； 对于D选项，若曲线为双曲线，则，解得，D正确． 故选：ACD． 9．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由四边形的面积为，可得，又由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，从而利用内切圆半径×周长÷2=四边形的面积可求出，进而得到关于a，b的两个方程，联立求解即可得答案． 【详解】解：因为四边形的面积为， 所以，整理得， 记四边形内切圆半径为r，则，得． 又，所以， 又，联立可得，或， 所以双曲线的方程为或． 故选：AB. 10．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）（多选）双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线第一象限上的一点（不包括轴上的点），且，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（    ） A．G的轨迹是双曲线的一部分 B．的最小值是1 C．取值范围是 D． 【答案】ACD 【分析】利用相关点法可明确G的轨迹，利用G的轨迹可知的长度的范围，利用内角平分线定理与双曲线定义可得取值范围，利用内角平分线定理与焦半径公式可得. 【详解】设，又，，，即，又是双曲线上一点， ∴，即，故A正确； ∵G的轨迹是双曲线的一部分，实半轴长为，∴，故B错误； 根据内角平分线定理可知，， 又，∴，故C正确； 同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，， ∴，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 12．（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】通过双曲线的定义得，再利用数形结合即可求解． 【详解】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为. 故答案为： 13．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 14．（24-25高二下·云南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的点，且，，则双曲线的方程为_____. 【答案】 【分析】根据双曲线的定义和性质，通过已知条件建立方程组求出双曲线方程中的参数、的值，进而得到双曲线方程. 【详解】设双曲线的方程为，且焦距为.依题意得， ，.因此双曲线的方程为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·山西晋中·阶段检测）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为________. 【答案】 【分析】设，首先求到直线、的距离，再利用面积为3，列式求轨迹方程. 【详解】设，由题意在、相交的右侧部分，如下图， 则有，，， 所以到直线、的距离分别为、， 由题设，整理得，即为动点M的轨迹方程. 故答案为： 16．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由化简求解； （2）过点作垂直于直线，垂足为，设，得到，然后由求解. 【详解】（1）解：由题意得：， 化简得：. （2）如图所示： 过点作垂直于直线，垂足为， 设，则，即， 所以， 显然，当三点共线时，取得最小值， 为. 17．（25-26高二上·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可； （2）设，，由双曲线的定义和勾股定理列方程组，进而可求出，从而可得出答案. 【详解】（1）由双曲线的定义及， 可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 设其标准方程为（，）， 则，解得，， 所以的方程为； （2）设，，由双曲线的定义得， 因为，所以， 所以的面积为. 18．（25-26高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设双曲线的标准方程为，根据题意建立方程计算求解即可； （2）双曲线的方程为，根据题意建立方程计算求解即可. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的标准方程为． 由题意知，所以．①； 因为点在双曲线上，所以．② 由①②解得，，所以所求双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为， 则，解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 19．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知A，B两点的坐标分别为，．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)过点的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点?为什么? 【答案】(1)，点M的轨迹是除去，两点的双曲线 (2)不是线段CD的中点，理由：解法一：依题意易知直线CD的斜率存在 设直线CD的方程为， 联立，消y得：， 由直线CD与双曲线相交于两点可得：， 设，，则， 若是线段CD的中点，则，解得：． 此时，与矛盾， 故不是线段CD的中点 解法二：假设是线段CD的中点， 设，，则， ∵C、D在双曲线上，∴， ①-②整理可得：，即， ∴线段CD所在直线，的方程是，即， 联立，消y得：，即， ，不是线段CD的中点. 【分析】（1）根据斜率公式化简得出轨迹方程； （2）法一：联立直线CD与双曲线的方程，结合韦达定理和中点坐标公式，列出方程，作出判断； 法二：利用点差法得出直线方程，再与双曲线方程联立，判别式检验. 【详解】（1）解：设点M的坐标为， 因为A，B两点的坐标分别为，， 所以直线AM的斜率为 所以直线BM的斜率为 由已知得， 化简得点M的轨迹方程为， 故点M的轨迹是除去，两点的双曲线 （2）略 20．（2026高三·全国·专题练习）已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.求点的轨迹的方程; 【答案】 【分析】利用与平行及的几何关系，推导出 ，再根据双曲线的定义，确定点的轨迹是以为焦点、实轴长为的双曲线右支，进而求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径，定点，则, 如图，由于与平行，得， 又因为,所以， 因此，又， 所以，故； 点在直线上，故，即； 因，根据双曲线定义，点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线右支, 半焦距，实半轴，则,轨迹方程为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 双曲线及其标准方程重难点题型专训 （3个知识点+11大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、双曲线定义的理解 题型二、利用双曲线定义求方程 题型三、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 题型四、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型五、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 题型六、根据方程表示双曲线求参数的范围 题型七、根据双曲线方程求a,b,c 题型八、双曲线的方程与双曲线(焦点)位置的特征 题型九、根据a、b、c求双曲线的标准方程 题型十、根据双曲线过的点求标准方程 题型十一、求双曲线的轨迹方程 第二部分·练提高题型 题型一、双曲线定义的应用 题型二、双曲线相关方程的求解 第三部分・自我检测 知识点01 双曲线的定义 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 【即时训练】 1．（25-26高二上·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 2．（25-26高三上·北京房山·期末）双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为_____． 知识点02 双曲线的焦点三角形 1．双曲线的焦点三角形 （1）焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1，F2为双曲线的焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. （2）求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. （3）焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 【即时训练】 1．（2025·青海海南·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 2．（25-26高二上·上海·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为________． 知识点03 双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1（-c，0），F2（c，0） F1（0，-c），F2（0，c） a，b，c的关系 2．双曲线方程的求解 （1）用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. （2）用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【即时训练】 1．（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为______． 【基础题型一 双曲线定义的理解】 【例1】（25-26高二下·上海黄浦·期中）到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 1．（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 2．（24-25高二上·宁夏·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 3．（25-26高三上·广东梅州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交的左支于两点，且，则的周长为______． 4．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是什么曲线？ （2）在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于，如果截取的长度等于，其轨迹还是上述图形吗？ 【基础题型二 利用双曲线定义求方程】 【例2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 1．（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）四个森林防火观察站的坐标依次为，他们都发现某一地区有火讯．若观察到的距离相差为6，且离近，观察到的距离相差也为6，且离近．试求火讯点的坐标． 【基础题型三 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值】 【例3】（25-26高二上·安徽六安·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 1．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）双曲线上点P到它的左焦点的距离等于1，则点P到它的右焦点的距离等于（   ） A．9 B． C．7 D．8 2．（24-25高二上·湖南株洲·期中）（多选）已知双曲线E：的左右焦点分别为、，点P在双曲线E上，=10，则为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南·阶段检测）设是双曲线的左､右焦点，若点在双曲线上，且，则__________. 4．（24-25高二·全国·随堂练习）过双曲线的右焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离． 【基础题型四 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题】 【例4】（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·安徽亳州·阶段检测）设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2025·全国·模拟预测）（多选）双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．2 3．（2025·四川成都·三模）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是_______. 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知点分别是双曲线的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，求的面积． 【基础题型五 利用定义求双曲线中线段和、差的最值】 【例5】（2026高二·全国·专题练习）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 1．（2025·江西赣州·一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西太原·一模）（多选）已知是双曲线的左､右焦点，且到的一条渐近线的距离为为坐标原点，点为右支上的一点，则（    ） A． B．过点且斜率为1的直线与有两个不同的交点 C．若斜率存在，则 D．的最小值为 3．（25-26高二上·重庆北碚·阶段检测）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为___________. 4．（25-26高二上·贵州·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 【基础题型六 根据方程表示双曲线求参数的范围】 【例6】（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2026·贵州安顺·一模）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 3．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为________. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线？ (2)方程表示焦点在轴上的双曲线？ 【基础题型七 根据双曲线方程求a,b,c】 【例7】（25-26高二上·江苏南通·期末）双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 1．（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．5 B．-5 C． D． 2．（24-25高二上·河北邢台·期中）（多选）已知是双曲线的上焦点，点在上，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为4 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则______． 4．（24-25高二上·江西南昌·期中）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为，求椭圆方程和双曲线方程. 【基础题型八 双曲线的方程与双曲线(焦点)位置的特征】 【例8】（24-25高三上·青海西宁·期中）下列双曲线中，焦点在轴上的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三·全国·阶段测试）若双曲线的一个焦点是，则k的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东聊城·期末）（多选）已知方程，其中，则（    ） A．时，方程表示椭圆 B．时，方程表示双曲线 C．时，方程表示抛物线 D．时，方程表示焦点在轴上的椭圆 3．（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）若双曲线的一个焦点为，则实数__________． 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知双曲线的一个焦点为，求的值． 【基础题型九 根据a、b、c求双曲线的标准方程】 【例9】（2026·江西九江·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线的焦距为6，则实数等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知，，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为____________. 4．（24-25高二上·新疆·阶段检测）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线方程. 【基础题型十 根据双曲线过的点求标准方程】 【例10】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二·全国·课后作业）若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江·期中）（多选）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_______． 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【基础题型十一 求双曲线的轨迹方程】 【例11】（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林长春·期末）（多选）若，，动点满足，当和时，点轨迹（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 4．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 【提高题型一 双曲线定义的应用】 【例1】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 1．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）已知P为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为A，下列结论正确的是（    ） A．的横坐标为2 B． C． D． 3．（25-26高二上·宁夏固原·期末）双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，则__________. 4．（25-26高二·四川成都·期中）公元2019年，石室2160岁！文翁兴学2160周年纪念活动于2019年11月9日在石室中学文庙校区运动场隆重召开，会场是由一个长，宽的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆相接组成，整个会场关于中轴线对称，图形如下. （1）若、两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，则、两位同学在圆弧什么位置时相距最远，距离为多少？并说明原因. （2）在（1）问的情况下，若要在主会台后的会场边界上关于中轴线对称的两点、处分别放置两个音响，为了达到最好听觉效果，两个音响的距离要足够大，同时、两位同学听到两个音响传来的声音时间差不超过0.18秒，求音响距中轴线距离约为多少时为最佳放置点.（注：不超过0.18秒以秒计算，声音在空气中的传播速度为）. 【提高题型二 双曲线相关方程的求解】 【例2】（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北邢台·期中）（多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（　　） A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5 B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2 C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1 D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程______． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 1．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 3．（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山西太原·期末）已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）（多选）已知P为双曲线右支上一点，那么点P到双曲线左焦点F的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2025·云南昆明·三模）（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25高二下·河南开封·开学考试）（多选）若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ） A．曲线可能是圆 B．若曲线为椭圆，则且 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线为双曲线，则 9．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）（多选）双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线第一象限上的一点（不包括轴上的点），且，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（    ） A．G的轨迹是双曲线的一部分 B．的最小值是1 C．取值范围是 D． 11．（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 12．（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 13．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 14．（24-25高二下·云南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的点，且，，则双曲线的方程为_____. 15．（24-25高二上·山西晋中·阶段检测）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为________. 16．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值． 17．（25-26高二上·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 18．（25-26高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 19．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知A，B两点的坐标分别为，．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)过点的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点?为什么? 20．（2026高三·全国·专题练习）已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.求点的轨迹的方程; 学科网（北京）股份有限公司 $