第二十六章 二次函数 单元检测 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版（2024）九年级上册 第二十六章 二次函数 单元检测 一、选择题 1．函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为(　　) A．(1，－2) B．(0，0) C．(0，－2) D．(2，－8) 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的运动路径长为（　　） A．15m B．20m C．25m D．30m 3．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（　　） A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m 4．把二次函数y＝x2＋4x＋m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件 （      ） A．m>3 B．m<3 C．0<m<3 D．m≤3 5．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（　　） A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q 6．如图1是一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽AB=30米，拱顶O到水面AB的距离为9米，当水位上升5米时，则水面宽CD为 （      ）  A．10米 B．15米 C．18米 D．20米 7．某二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像如图所示，下面各式判断正确的是 A．4a+2b+c<0 B．3a+c<0 C．方程ax2+bx+c-n=0无解 D．对任意的实数m，a+b≤am2+bm 8．若y=(m-2)-x+1是二次函数，则m的值是(　　) A．4 B．2 C．-2 D．-2或2 9．已知抛物线y＝mx2+4x的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程mx2+4x＝3的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 10．下列图象中，当ab＞0时，函数y=ax2与y=ax+b的图象是（　　） A． B． C． D． 11．掷实心球是中考体育考试选考项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，共竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系，明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的数据如表： 在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为（　　） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 12．如图，点A在由函数y=（-1）2（x-3n）（x-3n-3）（3n≤x＜3n+3，为自然数）的图象组成的平滑曲线上，点B在x轴上，且AB⊥x轴，若点B从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则第2025秒时，点A的坐标是（　　） A．（2025，0） B．（2025，2） C．（2026，0） D．（2025，-2） 二、填空题 13．小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系为：h＝﹣4t2+12t，则足球距离地面的最大高度为 __________m． 14．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元.经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x(元/个)有如下关系：y=-x+60(30≤x≤60，且x为整数).设这种双肩包每天的销售利润为w元.则w与x之间的函数关系式为w=__________ . 15．对于二次函数y=ax2和y=bx2，其自变量和函数值的两组对应值如表所示. 根据二次函数图像的相关性质可知m=__________ ，c-d=__________ . 16．天猫网某商铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，经市场调查发现，该食品每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）有如下关系：w=ax2+bx-1600，当销售价为22元/千克时，每天的销售利润为72元，当销售价为26元/千克时，每天的销售利润为168元，则该食品每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）的函数表达式是__________． 17．如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 __________． 三、解答题 18．如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8 m，宽是2 m，抛物线的解析式为y＝－x2＋4. (1)一辆货运车车高4 m，宽2 m，它能通过该隧道吗？ (2)如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4 m，那么这辆货运车是否可以通过？ 19．如图，直线与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B坐标为(2，2). (1)求a，b的值； (2)连接OC，OB，求△BOC的面积. 20．已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴与A，两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求A，B点的坐标； (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围. 21．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）． (1) 直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式． (2) 设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？ (3) 某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息： ①当日所获利润不低于5000元， ②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元， ③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？ 22．在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 人教版（2024）九年级上册 第二十六章 二次函数 单元检测（参考答案） 一、选择题 1．函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为(　　) A．(1，－2) B．(0，0) C．(0，－2) D．(2，－8) 【答案】B 【解析】函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为(0，0). 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的运动路径长为（　　） A．15m B．20m C．25m D．30m 【答案】B 【解析】解：由题意得，第3s时小球达到最高点，此时小球距离地面45m， 然后小球开始竖直下落， 当t＝5s时，h＝30×5﹣5×52＝150﹣125＝25（m）， ∴从第3s到第5s下降的高度为45﹣25＝20（m）， 故选：B． 3．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（　　） A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m 【答案】C 【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则A点坐标为（-1，0），B点坐标为（（1，0），C点坐标为（0，0.5），D点坐标为（0.2，0），F点坐标为（0.6，0）， 设抛物线解析式为y=a（x-1）（x+1），把C（0，0.5）代入得a=-0.5， 所以抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5， 当x=0.2时，y=-0.5×0.22+0.5=0.48， 当x=0.6时，y=-0.5×0.62+0.5=0.32， 所以DE=0.48，FP=0.32， 所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度=2（DE+FP）=2×（0.48+0.32）=1.6（m）， 所以100段护栏需要不锈钢支柱的总长度=100×1.6=160 m． 4．把二次函数y＝x2＋4x＋m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件 （      ） A．m>3 B．m<3 C．0<m<3 D．m≤3 【答案】A 【解析】∵平移前二次函数解析式为y＝x2＋4x＋m＝(x＋2)2＋m－4， ∴平移前二次函数的顶点坐标为(－2，m－4)， ∴平移后二次函数的顶点坐标为(－2＋3，m－4＋1)，即(1，m－3)， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，且平移后的二次函数开口向上， ∴平移后的二次函数只能是与y轴有一个交点，与x轴没有交点， ∴平移后的二次函数顶点一定在x轴上方， ∴m－3>0， 解得m>3. 5．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（　　） A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q 【答案】B 【解析】解：B，D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长； A，B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长； 同理可知C点路线优于A点路线， 综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路． 故选：B． 6．如图1是一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽AB=30米，拱顶O到水面AB的距离为9米，当水位上升5米时，则水面宽CD为 （      ）  A．10米 B．15米 C．18米 D．20米 【答案】D 【解析】由题可知点A的坐标为(-15，-9)， 设抛物线表达式为y=ax2，把点A的坐标代入得225a=-9， 解得a=-， ∴抛物线表达式为y=-x2， 当水位上升5米时，y=-4， 即-x2=-4， 解得x=±10， ∴水面宽CD为10-(-10)=20（米）. 7．某二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像如图所示，下面各式判断正确的是 A．4a+2b+c<0 B．3a+c<0 C．方程ax2+bx+c-n=0无解 D．对任意的实数m，a+b≤am2+bm 【答案】B 【解析】A项，∵图像与x轴的一个交点在(-1，0)和(0，0)之间，对称轴为直线x=1， ∴图像与x轴的另一个交点在(2，0)和(3，0)之间， ∴当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，故选项A不符合题意； B项，∵抛物线的对称轴为直线x=-=1， ∴b=-2a， 由图像可知，当x=-1时，y=a-b+c<0， ∴a+2a+c=3a+c<0，故选项B符合题意； C项，由图像可知顶点坐标为(1，n)， ∴a+b+c=n， ∴方程ax2+bx+c-n=0的解为x=1，选项C不符合题意； D项，∵x=1时函数值y=a+b+c为最大值， ∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，选项D不符合题意. 8．若y=(m-2)-x+1是二次函数，则m的值是(　　) A．4 B．2 C．-2 D．-2或2 【答案】C 9．已知抛物线y＝mx2+4x的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程mx2+4x＝3的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【解析】解：∵抛物线y＝mx2+4x的对称轴为直线x＝2， ∴﹣＝2， 解得m＝﹣1， ∴﹣x2+4x＝3， 整理得x2﹣4x+3＝0， 解得x＝1或x＝3， ∴方程mx2+4x＝3有两个不相等的实数根， 故选：A． 10．下列图象中，当ab＞0时，函数y=ax2与y=ax+b的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A．对于直线y=ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误； B．由抛物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误； C．由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误； D．由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确． 11．掷实心球是中考体育考试选考项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，共竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系，明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的数据如表： 在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为（　　） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】D 【解析】解：由题意，可得抛物线的对称轴是直线x＝＝4， ∴顶点为（4，3.6）． 故可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6， 把（0，2）代入， 得a（0﹣4）2+3.6＝2． ∴a＝﹣0.1． ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6． 令y＝0， ∴y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0． ∴﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0， ∴x1＝10或x2＝﹣2（不符合题意，舍去）． ∴实心球从起点到落地点的水平距离为10米． 故选：D． 12．如图，点A在由函数y=（-1）2（x-3n）（x-3n-3）（3n≤x＜3n+3，为自然数）的图象组成的平滑曲线上，点B在x轴上，且AB⊥x轴，若点B从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则第2025秒时，点A的坐标是（　　） A．（2025，0） B．（2025，2） C．（2026，0） D．（2025，-2） 【答案】A 【解析】解：∵函数y=（-1）2（x-3n）（x-3n-3）（3n≤x＜3n+3，为自然数）， ∴函数图象与x轴的交点为（3n，0），（3n+3，0）， ∵3n+3-3n=3，2025÷3=675， ∴当x=2025时，y的值为0， ∴A的坐标为（2025，0）． 二、填空题 13．小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系为：h＝﹣4t2+12t，则足球距离地面的最大高度为 __________m． 【答案】9 【解析】解：∵h＝﹣4t2+12t， a＝﹣4，b＝12，c＝0， ∴足球距地面的最大高度是：＝9m， 故答案为：9． 14．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元.经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x(元/个)有如下关系：y=-x+60(30≤x≤60，且x为整数).设这种双肩包每天的销售利润为w元.则w与x之间的函数关系式为w=__________ . 【答案】-x2+90x-1 800 【解析】w=y==-x2+90x-1 800. 15．对于二次函数y=ax2和y=bx2，其自变量和函数值的两组对应值如表所示. 根据二次函数图像的相关性质可知m=__________ ，c-d=__________ . 【答案】1 ； -3 【解析】由表格可知，x=-1和x=m时的函数值相等， ∵表格中的两个函数对称轴都是直线x=0， ∴m+(-1)=0，c+3=d， ∴m=1，c-d=-3. 16．天猫网某商铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，经市场调查发现，该食品每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）有如下关系：w=ax2+bx-1600，当销售价为22元/千克时，每天的销售利润为72元，当销售价为26元/千克时，每天的销售利润为168元，则该食品每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）的函数表达式是__________． 【答案】w=-2x2+120x-1600 【解析】解：由题意得，解得， 所以该食品每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）的函数表达式是w=-2x2+120x-1600． 17．如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 __________． 【答案】4 【解析】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 三、解答题 18．如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8 m，宽是2 m，抛物线的解析式为y＝－x2＋4. (1)一辆货运车车高4 m，宽2 m，它能通过该隧道吗？ (2)如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4 m，那么这辆货运车是否可以通过？ 【答案】解　(1)由题意，得 当x＝1时，y＝－×12＋4＝3.75， ∵3.75＋2＝5.75>4， ∴能通过. (2)由题意，得 当x＝2.2时，y＝－×(2.2)2＋4＝2.79， ∵2.79＋2＝4.79>4， ∴能通过. 19．如图，直线与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B坐标为(2，2). (1)求a，b的值； (2)连接OC，OB，求△BOC的面积. 【解析】解 (1)把B(2，2)代入直线中，得2=－2+b， 20．已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴与A，两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求A，B点的坐标； (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围. 【解析】解(1)∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点， 21．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）． (1) 直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式． (2) 设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？ (3) 某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息： ①当日所获利润不低于5000元， ②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元， ③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？ 【答案】解： (1) 根据题意，得y=50-x，（0≤x≤50，且x为整数）； (2) W=（120+10x-20）（50-x）=-10x2+400x+5000=-10（x-20）2+9000， ∵a=-10＜0 ∴当x=20时，W取得最大值，W最大值=9000元， 答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元； (3) 由，解得20≤x≤40， 当x=40时，这天宾馆入住的游客人数最少， 最少人数为2y=2（-x+50）=20（人）． 22．在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【解析】(1)将点代入，抛物线， 可得，∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； (2)①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴，∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 学科网（北京）股份有限公司 $