第二十六章 二次函数 单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级上册数学

2026-2027学年人教版九年级上册数学第二十六章二次函数 单元测试卷 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若是关于的二次函数，则的值是（     ） A． B．3 C．2 D．2或 2．（本题3分）二次函数化为的形式，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如果将抛物线向上平移2个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）若二次函数（为常数）的最大值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）抛物线经过点，则下列各点在抛物线上的是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根的范围是（     ） 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，当时，二次函数与一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点在线段上，分别过点作轴的垂线交抛物线于两点．当四边形为正方形时，线段的长为（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④当时，等于；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）已知二次函数，当时，的范围是______． 12．（本题3分）将二次函数变形为的形式，则的值为________． 13．（本题3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是________． 14．（本题3分）已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 15．（本题3分）如图，抛物线（、为常数，）经过菱形的三个顶点、、，点是坐标原点，点在轴正半轴上，点在第二象限，若＝120°，BC=2，则的值为__________． 16．（本题3分）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点左侧）．点在抛物线的对称轴上，当最小时，则点的坐标为_____． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知函数（为常数）是二次函数． (1)求的值． (2)若点在此函数的图象上，求的值． 18．（本题8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中m为常数． (1)当抛物线经过点时，求该抛物线的表达式； (2)当抛物线与直线只有一个交点时，求该抛物线的表达式． 19．（本题8分）如图，抛物线与轴分别交于，两点． (1)求，两点的坐标； (2)点为抛物线上一动点，且在轴的下方，点在何处时，的面积最大，最大面积是多少？并求出此时点的坐标． 20．（本题8分）把一个足球垂直于地面向上踢，足球的高度h米与足球运动时间t秒满足关系式，已知当足球踢出后4秒回到地面． (1)求a的值； (2)经过多少秒时球的高度为15米？ 21．（本题9分）已知二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为与x轴的一个交点为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)观察图象，当时，求y的取值范围． 22．（本题9分）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，直线经过点A，C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)不等式的解集为________； (3)若点M在抛物线上，且在y轴左侧，当时，求点M的横坐标． 23．（本题10分）为了落实国务院的指示精神，安庆地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元．市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数关系式． (2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24．（本题12分）如图，抛物线经过、、三点． (1)求、、的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求点的坐标； (3)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第6页（共7页） 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年人教版九年级上册数学第二十六章二次函数 单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A D B B B B A 1．C 【分析】根据二次函数的定义，需同时满足自变量最高次数为2，二次项系数不为0，联立求解a的值． 【详解】解：∵是关于的二次函数． ∴，且， 由得 ． 由得 ， ∴． 2．B 【详解】解：. 3．A 【分析】抛物线上下平移时，常数项遵循“上加下减”的规律，据此即可获得答案． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度， 得，即． 4．A 【详解】解：， ∵ 二次项系数为，对称轴为, ∴抛物线开口向下， 当 时,函数取得最大值，为， 由题意得，解得． 5．D 【分析】利用待定系数法求出抛物线的解析式，再逐项判断即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， 、当时，，所以点不在抛物线上； 、当时，，所以点不在抛物线上； 、当时，，所以点不在抛物线上； 、当时，，所以点在抛物线上． 6．B 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】 解：， ， 当时，取最大值为， 水流喷出的最大高度为. 7．B 【分析】通过代数式的正负变化确定方程根的区间． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 8．B 【分析】当时，a、b同号，分两种情况，结合两个函数图象分析即可． 【详解】解：∵， ∴或； 当时，对于函数，抛物线开口向上，对于函数，直线从左往右是上升的，直线与y轴的交点在y轴上方； 当时，对于函数，抛物线开口向下，对于函数，直线从左往右是下降的，直线与y轴的交点在y轴下方； 观察四个选项可得：选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意． 9．B 【分析】先求抛物线解析式，设点横坐标为，表示出和的长，根据正方形性质列方程求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， ∴， 设点的横坐标为()， ∵轴，四边形为正方形， ∴轴， ∵点在抛物线上， ∴关于轴对称， ∵、在线段上， ∴、关于轴对称， ∴的横坐标为， ∴， ∵在上，， ∴的纵坐标为， ∵轴，在抛物线上， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴． 10．A 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，结合特殊点坐标逐一判断. 【详解】解：由图象可知，，，对称轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故②错误； 由图象可知，抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴当时，， ∴，故③正确； 由图象可知，当时，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，等于或，故④错误； ∵抛物线顶点纵坐标为， ∴的最大值为， ∴方程即无实数根，故⑤错误； 综上，正确的结论只有③. 11． 【分析】把二次函数解析式转化为顶点式得到抛物线的开口方向和对称轴，再根据抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越大，结合的范围解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为；当时，， ∴． 12． 【分析】利用配方法将二次函数一般式变形为的形式，即可得到的值． 【详解】解： 对比，可得． 13． 【分析】根据函数图象，确定抛物线的图象位于直线的图象下方（包括交点）时，自变量的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴由图象可知，不等式的解集是． 14． 【分析】设、的横坐标为、，利用结合根与系数的关系列方程求解即可. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根， ∴，， ∵线段的长为4， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得. 15． 【分析】根据菱形的性质得出，从而确定点的坐标，再利用求出点的坐标，最后将、两点坐标代入抛物线解析式即可求出的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ， 点在轴正半轴上， 点的坐标为， 过点作轴于点， ， ， 在中，，， ， ， 点在第二象限， 点的坐标为， 将，代入， 得 ， 解得， 的值为． 16． 【分析】先求出抛物线表达式为，及对称轴为直线，连接，当点三点共线时，最小，求出直线表达式为，进而求出结论． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ， 解得：， ∴抛物线表达式为， 当时，， 解得：， ， ∴此抛物线对称轴为直线， 连接， ∵点在抛物线的对称轴上， ， ， ∴当三点共线时，最小， ∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ， 设直线表达式为，把，代入， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数定义列方程，解出即可得的值． （2）根据的值求出此二次函数的解析式，再根据点在此二次函数的图象上，即可列式求出的值． 【详解】（1）解：∵函数（为常数）是二次函数， ∴且，解得：， ∴的值为． （2）解：∵， ∴， ∵点在的图象上， ∴， ∴的值为． 18．(1) (2) 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）联立抛物线和直线解析式，然后根据题意得到，求出即可求出该抛物线的表达式． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ， ， ∴抛物线的表达式为． （2）解：令， 整理得，， ． ∵抛物线与直线只有一个交点， ，即， 解得， ∴抛物线的表达式为． 19．(1) (2)最大面积是8，此时点的坐标为 【分析】（1）直接令，得，解方程即可求解； （2）先求出，设点的坐标为，其中，得到点P到x轴的距离为，根据三角形的面积公式，推导出，继而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：令，得， ∴，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为； （2）解：如图 ∵， ∴， 设点的坐标为，其中， 则点P到x轴的距离为， ∴， ∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时点的坐标为． 20．(1) (2)经过1秒或3秒时球的高度为15米 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ， 解得． （2）解：由（1）得， 解得或． 答：经过1秒或3秒时球的高度为15米． 21．(1) (2) 【分析】（1）设函数解析式为，把点代入，求出a的值即可； （2）求出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵其顶点坐标为， ∴可设函数解析式为， ∵与x轴的一个交点为， ∴， ， 函数解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得：， 此二次函数的图像与x轴的两个交点坐标分别是和， 观察图象知，当时，y的取值范围为． 22．(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）令，，求出三个点的坐标即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）求出直线的解析式，过点M作轴交直线于点N，设，则，根据三角形的面积关系，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，得， ， 令，则，解得，， ，． （2）解：由图象可知，不等式的解集为或． （3）解：，，， ，， ， ， ． 设直线的表达式为， 将点，的坐标代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 如图，当点M位于y轴左侧时，过点M作轴交直线于点N， 设，则， ∴， ， ，解得， ， ， ∴M的横坐标为． 23．(1) (2)当定价为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据销售利润的计算公式列出函数关系式． （2）通过二次函数的性质求出利润的最大值． 【详解】（1）解：由题意可知，则，解得， ∵成本价为每千克元， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵，且， ∴当时，有最大值为， 即该产品销售价定为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 24．(1)1，， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）首先将点代入抛物线解析式并解得的值，即可确定该抛物线解析式，然后计算，的值； （2）首先确定该抛物线的对称轴为，且点关于直线对称，易得，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值；设直线的解析式为，利用待定系数法确定直线的解析式，进而确定点坐标即可； （3）分点N在x轴下方和点N在x轴上方两种情况讨论，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 当时，可得， 解得， ∵，且点在点左侧， ∴，即， 将点代入抛物线， 可得； （2）∵抛物线的解析式为， ∴其对称轴为直线， 由（1）可知，，，且点为对称轴上一点， 由抛物线的对称性可知，点关于直线对称， ∴， ∴，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，连接，交对称轴于点，如图所示， 设直线的解析式为， 将点，点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形， 分两种情况讨论，如图所示， ①当点N在x轴下方时，四点构成平行四边形，如图所示， ∴， ∴， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵， ∴， ∴； ②当点N在x轴上方时，四点构成平行四边形，如图所示，过点作轴于点D， ∴，， ∴ 在与中， ， ∴， ∴，即点的纵坐标为3， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵点在轴左侧的抛物线上， ∴， ∴． 综上所述，符合条件的点N的坐标为或． 答案第14页（共14页） 答案第1页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $