精品解析：湖南师大附中梅溪湖中学2026-2027学年八年级上学期9月阶段学科素养检测数学试题

湖南师大附中梅溪湖中学2026年9月份学科素养检测 数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 在下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的运算法则求解即可． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则． 3. 在平面直角坐标系中，有点,点关于轴的对称点是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标：纵坐标相同横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】关于轴对称点的坐标是纵坐标不变横坐标变为原来的相反数 可知，关于轴对称点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 C. 等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 D. 三个角都相等的三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案． 【详解】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意； B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意； C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意； D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一指的是顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合． 5. 如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则( ) A. 点P在∠ABC的平分线上 B. 点P在∠ACB的平分线上 C. 点P在边AB的垂直平分线上 D. 点P在边BC的垂直平分线上 【答案】D 【解析】 【详解】根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上． 解答：解：∵PB=PC， ∴P在线段BC的垂直平分线上， 故选D． 6. 如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 90° D. 100° 【答案】D 【解析】 【详解】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°， ∴∠B=180°﹣80°=100°． 故选D． 7. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 8. 如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质得到，等边对等角以及三角形内角和定理求解，即可求解． 【详解】解：∵等边中，，垂直 ∴， ∵ ∴ ∴． 9. 如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图过程可知直线 是线段 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得 ，进而得到 ，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用 求解即可． 【详解】由作图可知，直线 是线段 的垂直平分线，   ，   ，  ，  ，  在中，，，  ，  ． 10. 如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）个． A. 2个 B. 3个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】当为底时，作的垂直平分线，当为腰时，分别以、点为圆心，以为半径作弧，分别找到格点即可求解． 【详解】解：如图，当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有4个， 当为腰时，分别以、点为圆心，以为半径作弧，可找出格点的个数有3个；这样的顶点有7个． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知点与点关于x轴对称，则___ 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称点的特点，熟练掌握关于x轴对称点的性质是解题的关键．直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：7． 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键．根据积的乘方的逆运算计算即可；利用指数运算法则，将原式转化为 进行计算. 【详解】原式 = = = = = = 故答案为：． 14. 等腰三角形有一个内角为，那么它的顶角的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】该题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质，分为顶角或底角两种情况讨论顶角的度数． 【详解】解：等腰三角形中，若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一个底角也为， 由三角形内角和定理，顶角为． 故答案为：或． 15. 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱都垂直于横梁，，则立柱_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质；由中点可得的长，再由含30度角直角三角形的性质即可求得． 【详解】解：∵点D是斜梁的中点， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2． 16. 如图，等腰三角形的面积为20，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，得出，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短为：． 故答案为：12． 三、解答题（本大题共9个小题，17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 在直角坐标系内的位置如图所示： （1）请画出关于x轴对称的； （2）直接写出的坐标，即（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____） 【答案】（1）如图，即为所求作的三角形， （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）的作图写出的坐标即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由图可知，． 20. 公园有一块长方形空地如图所示（长度单位：），阴影部分设计为草坪． （1）用整式表示草坪的面积； （2）若，求草坪的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用大长方形面积减去小长方形面积求解即可； （2）将代入（1）中的代数式，即可求值． 【小问1详解】 解：草坪面积为： ； 【小问2详解】 解：当时，草坪面积． 21. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）证明：∵的垂直平分线交于点D，交于点E． ∴ ∴ ∵ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先由线段的垂直平分线得到，再由等边对等角以及三角形的外角性质即可证明； （2）根据等边对等角以及角平分线的定义可得，，再通过设未知数，利用三角形内角和定理建立方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴ ∵ ∴ 设 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴． 22. 如图，在Rt中，． （1）若，求的长； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用面积法求解即可； （2）在中，运用直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 23. 如图，△ABC是等边三角形， AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q． （1）试说明△ABE≌△CAD． （2）求∠BPQ的度数． （3）若PQ=3，PE=1， 则AD的长为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）60°；（3）7． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据SAS证明△ABE与△CAD全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出∠ABE=∠CAD，进而解答即可； （3）根据含30°的直角三角形的性质解答即可． 试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°， 又∵AE=CD， 在△ABE与△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS） （2）由上得∠ABE=∠CAD AD=BE， ∴∠BPQ=∠BAD+∠ABE =∠BAD+∠CAD =60°； （3）∵BQ⊥AD，∠BPQ=60°， ∴∠PBQ=30°， ∴BP=2PQ=6， 又∵AD=BE， ∴BE=BP+PE=6+1=7． 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质． 24. 历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的代数式用记号的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的代数式），把时的代数式的值用来表示．例如：时代数式的值记为． 已知． （1）求的值； （2）若与的积的展开式中不含项，求n的值； （3）已知，且，求代数式的值． 【答案】（1）36 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）把代入计算即可； （2）先根据单项式与多项式的乘法法则化简，然后令的系数等于0求解即可； （3）根据得，根据得，从而得出，则，，然后降次代入即可求解． 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 解： ， ∵与的积的展开式中不含项， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ． 25. 在平面直角坐标系中，已知点（其中），作满足，，且C在第一象限． （1）如图1，若，直接写出C点的坐标； （2）如图2，点G在x轴负半轴上，连接，分别交y轴，边于F、E两点，若，求证：； （3）如图3，向边上方作等边，连接，若，求B点坐标． 【答案】（1） （2）证明：如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，通过证明求解即可； （2）先由等边对等角结合互余关系证明，则，即可等量代换证明； （3）过点作轴于点，在轴正半轴取点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明，求出，再根据直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 过点作轴于点，则 ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作轴于点，在轴正半轴取点，使得，连接 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵等边 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵轴， ∴ 同（1）可得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中梅溪湖中学2026年9月份学科素养检测 数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，有点,点关于轴的对称点是( ) A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 C. 等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 D. 三个角都相等的三角形是等边三角形 5. 如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则( ) A. 点P在∠ABC的平分线上 B. 点P在∠ACB的平分线上 C. 点P在边AB的垂直平分线上 D. 点P在边BC的垂直平分线上 6. 如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 90° D. 100° 7. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 8. 如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）个． A. 2个 B. 3个 C. 7个 D. 8个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 12. 已知点与点关于x轴对称，则___ 13. 计算：________． 14. 等腰三角形有一个内角为，那么它的顶角的度数为______． 15. 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱都垂直于横梁，，则立柱_______． 16. 如图，等腰三角形的面积为20，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长的最小值为______． 三、解答题（本大题共9个小题，17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在直角坐标系内的位置如图所示： （1）请画出关于x轴对称的； （2）直接写出的坐标，即（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____） 20. 公园有一块长方形空地如图所示（长度单位：），阴影部分设计为草坪． （1）用整式表示草坪的面积； （2）若，求草坪的面积． 21. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 22. 如图，在Rt中，． （1）若，求的长； （2）若，求证：． 23. 如图，△ABC是等边三角形， AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q． （1）试说明△ABE≌△CAD． （2）求∠BPQ的度数． （3）若PQ=3，PE=1， 则AD的长为 ． 24. 历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的代数式用记号的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的代数式），把时的代数式的值用来表示．例如：时代数式的值记为． 已知． （1）求的值； （2）若与的积的展开式中不含项，求n的值； （3）已知，且，求代数式的值． 25. 在平面直角坐标系中，已知点（其中），作满足，，且C在第一象限． （1）如图1，若，直接写出C点的坐标； （2）如图2，点G在x轴负半轴上，连接，分别交y轴，边于F、E两点，若，求证：； （3）如图3，向边上方作等边，连接，若，求B点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $