1.4 正方形的性质与判定 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.4 正方形的性质与判定 同步练习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．邻边相等 2．如图，已知P是正方形对角线上一点，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，E为正方形内一点，，，连接，若，则的长为（    ） A． B．10 C．6 D． 4．如图，要使平行四边形是正方形，需增加条件．在条件①，②，③，④中选取两个作为条件，不正确的是(　　) A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 5．如图，已知，，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 6．下列命题为假命题的是（     ） A．四边形内角和等于 B．平行四边形对角线互相平分 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．四个角相等的四边形是菱形 7．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 8．如图，点E、F分别是正方形的边上点，且，相交于点G，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且，．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分，那么四边形AEDF是菱形；④如果，AD平分，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 11．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________．    12．已知四边形ABCD的对角线互相垂直，顺次连接四边形的四条边中点，所得到的新四边形的形状是________． 13．如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为________． 14．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 15．如图，正方形的对角线相交于点，又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长均为2，正方形可绕点转动且始终保持点在正方形内部，则四边形的面积为_________，、和的数量关系为_________． 三、解答题 16．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．    (1)在图①中，点A、B均在格点上，画出一个直角三角形，要求、两边均是无理数． (2)在图②中画出一个面积为5的正方形． 17．如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 18．如图，将一块长为，宽为的矩形铁皮沿虚线在四个角各剪去一个边长为的正方形，求剩余铁皮的面积． 19．如图，P为正方形ABCD的边BC上的一动点（P不与B、C重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将沿着BQ所在直线翻折得到，延长QE交BA的延长线于点M． (1)探求AP与BQ的数量关系； (2)若，，求QM的长． 20．综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示． 【归纳总结】 (1)定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）： ①_____； ②_____． 【知识迁移】 (2)如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形； (3)若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论． 【拓展延伸】 (4)如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B D D A D C A 1．【答案】A 【知识点】正方形性质理解、利用菱形的性质求角度 【详解】正方形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分且相等； 菱形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，对角线不一定相等； ∴正方形具有而菱形不一定有的性质是对角线相等． 2．【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求角度、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查正方形的性质、角平分线定义和三角形外角的性质等，根据正方形性质得，根据角平分线定义求得，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是掌握以上知识点． 首先解直角三角形求出，然后根据正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． 故选：A． 4．【答案】B 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， 当①时，平行四边形是菱形， 当②时，菱形是正方形，故此选项正确，不合题意； B、四边形是平行四边形， 当①时，平行四边形是菱形， 当③时，菱形不一定是正方形，故此选项错误，符合题意； C、四边形是平行四边形， 当③时，平行四边形是菱形， 当②时，四边形是正方形，故此选项正确，不符合题意； D、当④时，平行四边形是矩形， 当③时，得出四边形是正方形，故此选项正确，不合题意； 故选：B． 5．【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了基本作图，矩形和正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定定理是解题的关键． 首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】根据题意得，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是矩形 A．添加，故可证明矩形是正方形，不符合题意； B．添加，故可证明矩形是正方形，不符合题意； C．添加， ∵ ∴ ∴ ∴，故可证明矩形是正方形，不符合题意； D．添加，不能证明矩形是正方形，符合题意； 故选：D． 6．【答案】D 【知识点】证明四边形是菱形、多边形内角和问题、正方形的判定定理理解、判断命题真假、利用平行四边形的性质证明 【详解】选项A，任意四边形的内角和均为，该命题为真命题，不符合题意； 选项B，平行四边形的对角线互相平分是平行四边形的基本性质，该命题为真命题，不符合题意； 选项C，矩形的四个角均为直角，若矩形有一组邻边相等，则满足正方形的判定条件，该命题为真命题，不符合题意； 选项D，四边形内角和为，若四个角相等，则每个角的度数为，四个角均为直角的四边形是矩形，不一定是菱形，该命题为假命题，符合题意。 7．【答案】A 【知识点】求正方形重叠部分面积、根据正方形的性质求面积 【分析】证明重叠部分的面积恒等于正方形面积的，通过证明，将重叠部分（四边形）的面积转化为的面积求解. 【详解】解：设交于点，交于点， 四边形是正方形，边长， ，，，， 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 图中重叠部分的面积是1 . 8．【答案】D 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，垂直的判定等，理解题意，综合运用全等三角形全等的判定和性质是解题关键． 根据正方形的性质及全等三角形的判定定理和性质、垂直的判定依次进行判断即可得解． 【详解】解：A、∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 故A正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， 故B正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴ 即， 故C正确，不符合题意； D、∵与的数量关系不清楚， ∴无法得与的数量关系， 故D不正确，符合题意； 故选D． 9．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、正方形折叠问题 【分析】由正方形的性质及折叠的性质可知：，，设，则，可求出，列方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则， ， ， ， ， ． 10．【答案】A 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、证明四边形是平行四边形、证明四边形是正方形 【分析】根据平行四边形的判定可判断①；根据矩形的判定可判断②；先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据菱形的判定即可判断③，结合③的结论，根据正方形的判定即可判断④． 【详解】解：， 四边形是平行四边形，结论①正确； ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形，结论②正确； 平分， ， ， ， ， ， 又∵四边形是平行四边形， 四边形是菱形，结论③正确； 由③已证：当平分时，四边形是菱形， 又， 菱形是正方形，结论④正确； 综上，正确的结论是①②③④， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法是解题关键． 11．【答案】 【知识点】点到直线的距离、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 12．【答案】矩形 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是矩形、中点四边形 【分析】根据四边形对角线互相垂直，运用三角形中位线平行于第三边证明四个角都是直角，判断是矩形． 【详解】解：如图： ∵E、F、G、H分别为各边中点 ，，，， ， ， 四边形是矩形． 故答案为：矩形． 【点睛】本题考查中点四边形，解题的关键是利用了三角形中位线定理的性质，比较简单，也可以利用三角形的相似，得出正确结论． 13．【答案】或； 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了矩形的判定，根据四边形是矩形得到，，根据运动表示出、，结合矩形的判定得到当时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动， ∴，或， ∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 14．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题 【分析】利用勾股定理得出，证明四边形是矩形，从而得到，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， ， ， ， ． 15．【答案】 1 【知识点】用勾股定理解三角形、求正方形重叠部分面积、根据正方形的性质证明 【分析】由题可证，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形的面积；连接，由勾股定理得到，再根据得到，，即可得出结论． 【详解】∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积； 如图，连接， ∵四边形、四边形均为正方形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，即． 16．【答案】(1) 如图①，，即为所求； (2) 如图②，正方形即为所．   ． 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】（1）根据勾股定理和直角三角形的判定定理作图即可； （2）根据勾股定理的性质及正方形的面积公式作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，正方形的判定与性质，熟练的利用勾股定理与勾股定理的逆定理进行作图是解本题的关键． 17．【答案】(1) 证明：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2) 且，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形是正方形． 【知识点】作线段(尺规作图)、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形与正方形的判定和性质是解题的关键． （1）由作图得，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可； （2）根据一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，得到只需，且，再利用四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 18．【答案】 【知识点】二次根式的应用、根据矩形的性质求面积、根据正方形的性质求面积 【分析】剩余铁皮的面积等于原矩形铁皮的面积减去4个剪去的小正方形的面积，利用矩形和正方形的面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：由图可得，原矩形铁皮的面积为：， 4个剪去的小正方形的总面积为：， ∴剩余铁皮的面积为：， 答：剩余铁皮的面积为． 19．【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】（1）只需要证出，即可解题． （2）过点Q作于点H，易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1运用勾股定理可以求得AP，又因为DC//AB，可得，由折叠知识得，所以，可得MQ=MB．通过设定未知数，在中我们通过勾股定理就可以解决问题． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC， ∴， ∵BQ⊥AP ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）过点Q作于H，如图 ∵四边形ABCD是正方形， ∴QH=BC=AB=3， ∵BP=2PC， ∴BP=2，PC=1， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DC//AB ∴， 由折叠知识得， ∴， ∴MQ=MB， 设QM=x，则有MB=x，MH=x-2， 在中， 根据勾股定理可得， 解得x=， ∴QM的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠之后完全相同，包括边的长度还有角的度数完全相等，再设未知数，然后运用勾股定理建立方程，这是求线段长度最常用的方法． 20．【答案】(1)①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半（本题答案不唯一，只要正确即可） (2) 证明：如图1，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的正方形， ，， 在和中， ， ， ， ∴四边形是筝形． (3) 解：四边形是筝形， 理由：如图2，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的菱形， ，， ， ， ， ， ∴四边形是筝形． (4) 【知识点】证明四边形是菱形、根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题、点与圆上一点的最值问题 【分析】（1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可； （3）连接，由旋转知，，得，，进而得，进而得，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：由筝形的定义可得：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等；（本题答案不唯一，只要正确即可） （2）略 （3）略 （4）解：如图3， 由（2）知四边形是筝形， ，， 点A、E在线段的垂直平分线上， ， ， ∴点O在以线段为直径的半圆上运动， 取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，， ， 当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为， ∵正方形的边长为6， ∴， ，且M为的中点， ， ∴， ． 学科网（北京）股份有限公司 $