1.4正方形的性质与判定同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础概念辨析、中档性质应用、拔高综合探究三层设计，实现正方形性质与判定从单一到综合的巩固路径，培养抽象能力、几何直观与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正方形性质与判定、概念辨析|选择1、3、5等辨析菱形/矩形/正方形区别，强化概念理解| |中档|性质简单应用、折叠与计算|选择2折叠面积计算、填空14中点轨迹问题，发展空间观念| |拔高|动态几何、模型综合（半角/最值）|解答20半角模型应用、23动态最值探究，提升推理能力与创新意识|

1.4正方形的性质与判定 一、单选题（本大题共12小题） 1．下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 2．如图，正方形的边长为6，点E、F分别在上，点E为的中点，将分别沿向内折叠，此时与重合（A、C都落在点G），连接．则的面积为(   ) A．30 B．16 C． D．15 3．下列说法中，不正确的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 C．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 4．如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 5．下列说法中正确的是（　　）． A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．平行四边形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相等且互相平分 6．如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，，则的长为（   ） A．4 B． C．8 D． 7．下列命题为真命题的是（ ） ①若，则； ②相等的角是对顶角； ③末尾数字是5的整数，能被5整除； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形； ⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等. A. ①②⑤ B. ③④ C. ④⑤ D. ①③ 8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（    ） A．14 B．16 C．18 D．12 9．如图，四边形为正方形，点A的坐标为，，C在y轴上，点B、E在x轴上，若把直线向左平移使其经过点B，且把正方形的面积平均分成两份，则平移的距离是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标为，是等边三角形，点坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第1次滚动后，点的对应点记为，的坐标是；第2次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第3次滚动后，的对应点记为，的坐标是； ，如此下去，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 11．如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，连接，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 12．如图，正方形的边长为5，点E在边上，且，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点F，连接，作和的平分线相交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题） 13．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形，若点坐标为，点坐标为，则点坐标为________. 14．如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连接，取中点，连接，则最小值为________________ ． 15．如图，正方形的边长为5，点M在延长线上，，作交延长线于点N，则的长为________． 16．在平面直角坐标系中，设，，记，例如，若，则．若点满足，则所有点组成的图形面积为____；已知是直线上一点且位于第一象限，，点在上，点满足，当点从点运动到点时，点运动所覆盖的区域面积为，则______________． 17．如图，，分别是正方形边，上的点，且的周长是正方形边长的2倍，交于点，交于点，若，，则______． 三、解答题（本大题共6小题） 18．综合与实践 问题情境：在数学综合实践课上，李老师要求同学们以正方形的折叠与某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长与的延长线交于点，沿所在直线折叠使点与点重合，点在上． 探究实践： （1）如图1，的度数不变，请你求出该角的度数； 探究发现： （2）如图2，连接，发现三条线段，，之间存在一定的数量关系，请证明你的发现； 探究拓广： （3）如图3，连接，，若正方形的边长，请直接写出面积的最大值． 19．数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形中，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（不需要证明） 经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路：如图5，取的中点H，连接，则，则为等腰直角三角形，这时只需证与全等即可，在此基础上，同学们进行了进一步的探究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“”是否成立：______（填“是”或“否”）； （3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为边上（不含点B，C）的某一点时，，点F恰好落在直线上，请直接写出此时点E的坐标______，以及的面积______． 20．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”作辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． （1）【问题提出】如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转得到后，如图2．进而证明________，可得出结论．他的结论应是________． （2）【触类旁通】如图3，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【知识应用】2026年4月13日，针对某国军舰在南海的非法巡航及侦察活动，中国人民解放军南部战区在南海某海域组织联合反制演习．演习中，我方055型万吨驱逐舰“延安舰”（代号“蓝刃”）与型电子侦察船“天权星舰”（代号“天眼”）协同行动，模拟对“敌”舰队的跟踪与电子压制．如图4，指挥中心设在永暑礁附近的O点．演习开始前，055驱逐舰位于O点北偏西的A处，815侦察船位于O点南偏东的B处，且（两舰到指挥中心距离相等）．接到“敌舰现身”的紧急指令后：055驱逐舰以30海里/小时的速度向正东方向全速机动，准备前出拦截；815侦察船以20海里/小时的速度沿北偏东方向前出，实施电子侦察与信号定位．2小时后，055舰到达C点，815船到达D点．此时，指挥中心通过雷达确认：（即两舰与指挥中心连线之间的夹角）．试求此时两舰之间的距离（单位：海里）． 21．数学兴趣小组对三角形面积的最值问题展开了如下探究： 【探究1】 （1）如图1，已知等边三角形的边长为，则 (用含的代数式表示)； （2）如图2，菱形的边长为6，，点和点分别在边和边上，，连接，求面积的最小值； 【探究2】 （3）如图3，在中，，为边上的高，(为定值)，求面积的最小值(用含的代数式表示)． 22．综合与实践 问题情境：如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长与的延长线交于点． 探究实践： （1）如图1，中存在一个内角的度数不变，请你求出该内角的度数； 探究发现： （2）如图2，连接，． ①线段，，之间存在一定的数量关系，请证明你的发现； ②直接写出线段，，，之间存在的数量关系（不需要证明）． 探究拓广： （3）若点由点运动到点过程中，面积的最大值为，求正方形的边长． 23．【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以为边向下作正方形．点、分别在边、上运动，且，连结、．求的最小值． 【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边的中点，连结． 证明过程缺失 ． ． 请你帮助小明补全上述证明过程． 【问题解决】的最小值为______． 【拓展提升】如图③，在正方形中，，点、分别在边、上运动，且，点在边上，连结、．若，则的最小值为______． 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D C D D B B B C B D C 13． 14．解：在上截取，连接，， ∵正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧 ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为. 15．解：如图，在上截取，连接． ，， ，． ， 即． 又， ． ， ． ， 设， ，， ，， ， ， ， 解得，， . 16．设,,.当在第一象限时，，即， 点在直线上;当在第二象限时，，即， 点在直线上;当在第三象限时，，即， 点在直线上;当在第四象限时，，即， 点在直线上， 所有点组成的图形与坐标轴的交点为，，，， 所有点组成的图形为正方形，其面积为是直线上一点且位于第一象限，， 点在以为圆心，2为半径的弧上运动. 点满足， 同上可得所有点组成的图形是对角线长为2，且对角线平行于坐标轴的正方形.设，是直线上一点且位于第一象限，，，，.当时，如图（1），，，解得.，，，.当时，如图（2），，，解得.，，，.综上所述，或. 图（1） 图（2） 17．解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于点，连接，连接，交于点， 由旋转可得，，，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵的周长是正方形边长的2倍， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 18．（1）把 沿 所在直线折叠，点 落在点处， 四边形 是正方形， ， 沿 所在直线折叠使点 与点重合， ， 的度数不变且为 （2） 理由如下：如图，过点 作，交 的延长线于点 在正方形 中，， 由（）可知，，， 在中， 在 和中， 在中， （3）解：∵折叠， ∴ ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当在上时，的面积最大，此时 ∵ ∴， ∴ ∴面积的最大值为 19．（1）证明：如图2，在上截取，连接， 四边形是正方形， ，， 平分， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图3，在的延长线上取一点，使，连接． ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图4，在上截取，连接，过点作轴于点， 设点， ， ， 由（1）可得， ， 平分， ， ， ， ， ， 点， 点F恰好落在直线上， ， ， 点，点， 在中， ， 在中， ， ． 20．（1）解：如图，将绕点A顺时针旋转得到， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，，， ∴, ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长，使，连接，在点的正西方向取一点，在点的正南方向取一点，在点的正北方向取一点，在点的正北方向取一点，如图所示： 由题意可知，，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 又， ∴， ∴， ∵055驱逐舰以30海里/小时的速度向正东方向全速机动，准备前出拦截；815侦察船以20海里/小时的速度沿北偏东方向前出，实施电子侦察与信号定位．2小时后，055舰到达C点，815船到达D点． ∴（海里），（海里）， ∴（海里）． 21．(1)解：过点作于点，如图， ∵是等边三角形，边长为， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）解：连接，如图， ∵四边形是菱形，边长为6， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵菱形中， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴由（1）得， 要使的面积最小，只需使的长度最小， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， ∵是等边三角形，， ∴在中，由勾股定理得， ∴面积的最小值为； （3）解：∵为边上的高， ∴， 作关于对称的，作关于对称的，延长，交于点，如图， 则，，，，． ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形，正方形边长为． 设，，则，，， 在中，，由勾股定理得， 即， 展开化简得 由完全平方公式的非负性可知，变形得， ∴，即， 当时， 由求根公式得(舍去)， ∴的最小值为，即的最小值为， 根据的面积， ∴最小值为． 22．（1） 不变的内角为，大小为 （2）①发现：． 证明：连接，交于点O， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴点P在正方形的外接圆上． 将绕点C顺时针旋转，使与重合，得到，连接． 则，，，， ∴． ∵， ∴， ∴点Q在上， ∵， ∴． ②． （3）设正方形边长为，过点P作于点F，则，当过圆心O时，最大，最大，，得，，得，得，解得． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $