26.3 二次函数与一元二次方程 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

26.3 二次函数与一元二次方程　知识清单 人教（2024）版　九年级上册　第二十六章　二次函数 知识地图：四个问题串成一条线 ① 一个转化：二次函数 的图象与 轴的公共点，其横坐标就是一元二次方程 的根。 ② 三种情况：判别式 的符号，决定公共点的个数——两个公共点、一个公共点、没有公共点，依次对应方程的三种根。 ③ 两个应用：令 ，方程 的根，就是直线 与抛物线公共点的横坐标；反过来还能由图象说出 、 时 的取值范围。 ④ 一套方法：当方程不容易求出精确根时，用图象按「画 → 列表 → 定位 → 逼近 → 定根」五步求近似根。由于画图与观察都有误差，这样求得的根一般是近似的。 一、学习目标与重难点 学习目标：① 理解二次函数与一元二次方程的联系：抛物线与 轴公共点的横坐标，就是对应一元二次方程的根；② 会用判别式 的符号判断图象与 轴公共点的个数，并会求公共点的坐标；③ 会用图象求一元二次方程的近似根（五步法）；④ 会由直线 与抛物线的公共点，说出方程 的根的情况； 　　　　　⑤ 会结合图象说出 、 时自变量 的取值范围。 重　　点：公共点横坐标与方程的根的对应关系；判别式的符号与公共点个数的三种情况；用图象求近似根的方法。 难　　点：★★ 弄清「一个公共点」与「两个相等的实数根」说的是同一件事；计算 时 、、 的符号容易带错；用「取中点不断缩小范围」逼近根时，要先判断函数值由正变负还是由负变正（变号跨根）。 二、核心对应：公共点的横坐标就是方程的根 1. 先复习一次函数给我们留下的经验 八年级我们研究过一次函数：直线 与 轴有公共点时，公共点的横坐标就是方程 的根。原因很简单： 轴上的点纵坐标都是 ，所以公共点的横坐标 一定使函数值等于 。 把「次数」升高一次，这个经验原封不动地搬过来。这就是本节最核心的一句话： 抛物线 与 轴的公共点的横坐标，就是方程 的根。 2. 教材的两条结论 人教版教材把上面的对应关系写成两条结论，值得一字不差地记住： （1）如果抛物线 与 轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当 时，函数值是 ，因此 是方程 的一个根。 （2）抛物线 与 轴的位置关系有三种：没有公共点、有一个公共点、有两个公共点；这对应着一元二次方程 的根的三种情况：没有实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根。 3. 先看一个具体的例子（图 1） 例如 。令 ，得方程 ，左边因式分解：，所以 ，。 也就是说，这条抛物线与 轴的两个公共点是 和 ； 正好是点 的横坐标， 正好是点 的横坐标。反过来，如果已知方程 的根是 和 ，也就能立刻说出抛物线与 轴交于 、（图 1）。 图 1　核心对应：抛物线 与 轴的公共点 、，其横坐标 、 就是方程 的根 ★ 三个容易混淆的说法（一句话分清）： ① 公共点的横坐标是方程的根（说的是一个 的值）； ② 公共点本身是一个点，要写成坐标，例如 ，纵坐标一定是 ； ③ 抛物线与 轴的公共点也叫「交点」，但它在 轴上，所以纵坐标恒为 。 三、三种情况：判别式的符号说了算 1. 三行表看清楚 一元二次方程 的判别式是 。它的符号，一眼就能决定图象与 轴的公共点有几个，也就决定了方程有几个实数根： 判别式的符号 图象与 x 轴的公共点 方程 ax2 + bx + c = 0 的根 有两个公共点 有两个不相等的实数根 有一个公共点（顶点正好在 轴上） 有两个相等的实数根 没有公共点 没有实数根 读这张表要抓住三点： ① 算 前必须先把函数化成一般式，再读出 、、 的值——特别注意 、 本身带着的负号。 ② 「有一个公共点」和「有两个相等的实数根」说的是同一件事，只是一个从「形」上说、一个从「数」上说，都要写成「两个相等」，不能写成「一个根」。 ③ 判别式 来自一元二次方程的求根公式，它就是公式里被开方的那一部分 （本节只需要知道它的符号有什么用，不必再去解方程）。 2. 三种情况的图形对照（图 2） 把 的三种符号画在同一条抛物线的三个位置上看，就非常直观了： 图 2　判别式 的符号与图象、方程根的三种对应： 有两个公共点， 有一个公共点（顶点在 轴上）， 没有公共点 从图 2 再补一句：「有没有公共点」看的是抛物线有没有「碰到」 轴。 时顶点恰好落在 轴上，所以只有一个公共点，它同时也是抛物线的顶点。 四、教材探究：三个函数，三种情形（教材 P46） 1. 教材提出的问题 教材用三个二次函数让我们「看图说话」：、、。要回答三个问题： （1）这些函数的图象与 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ （2）当 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ 2. 三种情形逐条对照（图 3） 二次函数 与 x 轴的公共点 公共点横坐标 对应方程 方程的根 两个公共点 、 两个不相等的实数根 、 一个公共点 两个相等的实数根 没有公共点 — 没有实数根 图 3　教材探究：三个二次函数的图象与 轴的位置关系——① 有两个公共点 ② 有一个公共点 ③ 没有公共点，分别对应方程的三种根 从图 3 可以看出： 的图象与 轴交于 、，所以方程 的根是 和 ； 的图象与 轴只有 一个公共点，方程有两个相等的实数根 ； 的图象整个在 轴上方，与 轴没有公共点，方程没有实数根。 ★ 这条探究还告诉我们一个「反向」的用法：由一元二次方程的根的情况，也能确定相应二次函数的图象与 轴的位置关系。 例如 的判别式 ，所以没有实数根，图象与 轴自然也没有公共点——与图 3 中第 ③ 幅一致。 五、判别式怎么用：会判断、会求公共点 1. 解题的固定顺序 遇到「求抛物线与 轴的公共点」这类问题，顺序固定为两步： 第一步：算 ，由它的符号判断公共点的个数。 第二步：若 ，再令 ，解方程求公共点坐标；若 ，就可以直接下结论「没有公共点」，不必再解方程。 2. 例题：判断公共点个数并求出公共点（图 4） 例　已知二次函数 ，判断它的图象与 轴的公共点个数，并求出公共点的坐标。 步骤 过程 结论 ① 算 图象与 轴有两个公共点 ② 令 方程两边除以 ，得 ③ 解方程 ， ④ 写公共点 公共点的纵坐标一定是 、 图 4　判别式的用法：先由 断定有两个公共点，再令 解方程求出 、 图 4 里藏着一个小技巧： 的图象与 的图象开口大小、位置完全一样——因为 ，方程 两边同除以 就化成 。也就是说：方程两边同除以同一个非零数，根不变，公共点也不变。 六、用图象求近似根：五步法 1. 为什么要用图象求根 并不是每个方程都能像 那样顺畅地因式分解。像 ，用因式分解就分解不动。这时候，前两节的对应关系就派上了大用场：把方程左边的式子看成一个二次函数，画出它的图象，看它与 轴在哪里穿过，就能读出根的大致数值。 2. 教材例2：求 x2 − 2x − 2 = 0 的近似根（教材 P48，图 5） 例2（教材 P48）　利用函数图象求方程 的实数根（结果保留小数点后一位）。 解　画出函数 的图象（图 5）。先列一部分对应值，用来判断根在哪些数之间： x −1 0 1 2 3 y 1 −2 −3 −2 1 图 5　教材例2：用图象求 与 轴公共点的横坐标（近似根），得到 、 看图（并配合表）可以发现： 时 ， 时 ，所以一个根在 与 之间；同样， 时 ， 时 ，另一个根在 与 之间。再从图象读出两点的横坐标大约是 和 ，所以 ，。 3. 想让结果更准：不断取中点把范围缩小（图 6） 只靠肉眼从图上读，误差比较大。教材给了更可靠的办法：先确定根在哪两个相邻整数之间，再不断取中点，把范围一次次缩小（简称「变号跨根，逼近」）。仍以较大的那个根为例： 图 6　用图象求近似根的五步法：画 → 列表 → 定位 → 逼近 → 定根；根所在区间由 缩到 ，再缩到 ，得 为什么可以这样逼近？因为抛物线是一条连续不断的曲线： 时 ， 时 ，函数值由负变正，所以在 这段上一定穿过了 轴，也就是在这个区间里一定有根。取中点 ，算得 ，说明根在 里；再取中点 ，算得 ，说明根在 里——范围越来越小，结论越来越准。 ★ 三个提醒： ① 由于画图或观察可能存在误差，由图象求得的根一般是近似的，所以答案要写成约等于，并且按题目要求保留小数位数。 ② 别只取一次中点就当成精确答案；要按题目要求的精确度继续缩小区间。 ③ 两个根都要找。两个根分别在 轴的两侧时，只找到一侧就漏了一半答案。 七、由直线 y = k 看方程：小球飞行问题（教材 P47） 1. 教材提出的实际问题 教材用这个问题把「函数值」与「方程的根」连了起来。以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出，小球的飞行路线是一条抛物线，飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）满足 。球的飞行高度能否达到 、、？如果能，需要多少时间？ 把 代入函数关系，问题立刻变成一个一元二次方程：，整理得 。也就是说：「二次函数 的值能否取 」 ⇔ 「方程 有没有实数根」 ⇔ 「直线 与抛物线有没有公共点」。 图 7　教材问题（教材 P47）： 的图象与直线 、、 的公共点——公共点的横坐标就是对应方程的根 2. 四个问题一次解完 高度 列出的方程 判别式与根 结论 ， ，：飞行 1 s 和 3 s 时高度都是 15 m ， ：只在 2 s 时达到 20 m，这正是最高点 ， 没有实数根：达不到 20.5 m ， ，：落地用了 4 s ★ 把这四个问题对照图 7 看：直线 与抛物线有两个公共点；直线 恰好经过顶点，只有一个公共点；直线 在最高点的上方，与抛物线没有公共点——这正是判别式三种情况在一个实际问题里的完美体现。 由此得到一个通用结论：方程 的根，就是直线 与抛物线 的公共点的横坐标。 八、由图象看函数值的正负 1. 看图就能说出范围 继续用 的图象（图 8）：抛物线与 轴交于 和 附近的两个点。图象在 轴上方的那些部分，函数值 ；在下方的那些部分，函数值 。于是： 图 8　结合图象看函数值的正负： 时图象在 轴上方，此时 或 ； 时图象在 轴下方，此时 ① 当 或 时，图象在 轴上方，所以 ； ② 当 时，图象在 轴下方，所以 ； ③ 当 或 时，图象正好落在 轴上，所以 。 方法可以总结成一句话：先求根，再分段，看图说话——把根标在 轴上，它把 轴分成几段；在每一段里看一看图象在 轴上方还是下方，就能写出 或 时 的范围。这里的「或」不能写成「且」——两侧的情形是并列的。 2. 读图题：抛物线 y = x2 − 4x + 3（教材习题 26.3 题型·改编） 题目（教材习题 26.3 题型改编）　抛物线 与 轴交于 、 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 。（1）求点 的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）写出不等式 的解集。 小题 解答过程 答案 （1）求 与顶点 与 轴相交时横坐标为 ，代入得 ；配方得 ，顶点 （2）写出解集 令 ：，因式分解得 ，所以 、；开口向上，图象在 轴上方时 或 （顺带一提：若把不等号反过来， 的解集就是 ——这正是图象夹在 轴下方的那一段。） ★ 写范围时最要紧的两件事： ① 先求出根，把根标在数轴上，再看图象在哪几段位于 轴上方（或下方）； ② 注意端点： 不包含 ，所以用「」而不是「」；只有题目写成 时，端点 和 才要用「」。 九、易错清单与错解辨析 1. 八个高频失分点 ① 把公共点的纵坐标当根：抛物线 与 轴交于 、，就说方程 的根是 0——错了。根是公共点的横坐标，即 、；与 轴的公共点纵坐标永远是 0，它与根无关。 ② Δ<0 时还硬算：算出 就说明方程没有实数根，抛物线也没有公共点，结论已经出来了，不必再往求根公式里代。 ③ 把「两个相等的实数根」说成「只有一个根」：如 ，，是两个相等的实数根，抛物线只有一个公共点 。 ④ 求公共点时把 写成 ：判断与 轴的公共点必须令 ；令 求到的是与 轴的交点。 ⑤ 把「开口方向」与「有没有公共点」混为一谈：开口方向由 的符号决定，公共点的个数由 决定，两者互不决定。开口向上的抛物线也可能与 轴没有公共点，比如 。 ⑥ 近似根不按要求取位数：题目要求「结果保留小数点后一位」，就要写成 、；写成 、 属于没按要求作答。 ⑦ 写不等式解集时端点用错： 对应 或 ，两端不带等号；只有写成 时才用 或 。 ⑧ 遇到直线 时忘记先移项：求 的根，要先把 移到左边化成 再去算 ；直接拿原式的 去判断公共点个数是错的——教材求「小球能否达到 」时，正是先化成 才判断的。 2. 三个典型错解，逐个辨析 错解一：抛物线 与 轴的两个公共点是 、，所以方程 的根是 0 和 0。 剖析：根是公共点的横坐标，应该是 和 。凡是与 轴的公共点，纵坐标都是 0，把 0 当成根等于什么都没读出来。验算： 时 ； 时 ，正确。 错解二：解方程 时，算出 ，却仍然继续往求根公式里代，想算出一个数来。 剖析： 就是答案本身：方程没有实数根，抛物线 与 轴没有公共点。再算下去要对负数开平方，初中阶段没有意义。记住：判别式的符号一出，这道题就已经做完了。 错解三：由抛物线 的图象，写出 的解集，写成 。 剖析：抛物线开口向上，与 轴交于 、，图象在 轴上方的是 或 这两段。 恰好是图象在 轴下方 的那一段，也就是 的范围——方向和端点都错了。正确写法是 或 。 十、方法总结 1. 本节知识结构 图 9　26.3 知识结构：一个转化 · 三种情况 · 五步求根 2. 一句话方法 见到「抛物线与 轴的公共点」就想「方程的根」，见到「方程的根」就想「抛物线与 轴的公共点」；拿不准有几个公共点，就先算 。式子相等的地方，就是图象相交的地方——数形结合，看见式子想图象，看见图象想式子。 3. 三条常用结论串一遍 ① 一个对应：令 ，则抛物线 与 轴公共点的横坐标，就是方程 的根；公共点有几个，方程就有几个实数根。 ② 三种情况： 大于 0——两个公共点，两个不相等的实数根； 等于 0——一个公共点，两个相等的实数根（此时顶点落在 轴上）； 小于 0——没有公共点，没有实数根。 ③ 一条直线：直线 与抛物线 公共点的横坐标，就是方程 的根；反过来，图象在 轴上方的那些 的值，就是 的解集。 十一、课后巩固 1. 教材练习（教材 P46~P50） 1.　（教材 P46 探究·复习）不画图，判断下列抛物线与 轴的公共点个数，并说出对应方程根的情况： （1）　　（2）　　（3）。 解（1）：，所以有两个公共点。令 ：，，得 ，，公共点为 、，方程有两个不相等的实数根。 解（2）：，所以只有一个公共点。，即 ，，公共点为 ，方程有两个相等的实数根。 解（3）：，所以没有公共点，方程没有实数根。 2.　（教材 P47 问题·再问）在对小球飞行问题的函数关系 中再回答两问：（1）小球的飞行高度能否达到 ？（2）小球从飞出到落地需要多长时间？ 解（1）：令 ，得 ，整理得 ，。方程没有实数根，所以小球的飞行高度达不到 25 m（抛物线顶点是 ，最大高度只有 20 m）。 解（2）：落地时 ，令 ，，得 ，。 是小球飞出的时刻， 是落地的时刻，所以小球从飞出到落地要用 4 s。 3.　（教材习题 26.3 题型·改编）已知抛物线 与 轴交于 、 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 。（1）求 、、 三点的坐标；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）写出 与 的解集。 步骤 过程 结果 （1）求与 轴的交点 令 ：，因式分解得 、 （1）求与 轴的交点 与 轴相交时横坐标为 ，代入得 （2）求顶点 配方： 顶点为 （3）写解集 开口向上，图象在 轴上方对应 或 ；在 轴下方对应 ： 或 　： ★ 验算：，与原式一致；代 得 ，与 的坐标吻合。 2. 自编题（举一反三） 4.　不解方程，判断抛物线 与 轴的公共点个数，并求出公共点的坐标。 解：，所以有两个公共点。令 ：，，得 ， 所以公共点为 、。（注意：「不解方程」指的是不用求根公式硬算，判断个数要看 ，而最后求坐标时当然还是要解方程。） 5.　已知抛物线 与 轴只有一个公共点，求 的值。 解：只有一个公共点，说明 。这里 ，，所以 ，即 ， 或 。 验证：，与 轴只交于 ；，只交于 。都符合。 6.　直线 与抛物线 有几个公共点？为什么只有一个？公共点的坐标是多少？ 解：令 ，移项得 ，，方程有两个相等的实数根 所以只有一个公共点。原因看图象更清楚：，顶点是 ，而直线 恰好从顶点穿过，所以只碰到一个点 。 7.　已知二次函数 。（1）求它与 轴的公共点坐标；（2）求顶点坐标，并说明顶点在 轴上方还是下方；（3）写出 的解集。 解（1）：令 ，两边乘 得 ，解得 ，，所以公共点为 、。 解（2）：配方：，顶点是 ，在 轴上方。 解（3）：开口向下（），与 轴交于 、，图象在 轴上方的部分夹在两根之间，所以 。 十二、技能自查 能否独立做到 自检 ① 说出「抛物线 与 轴公共点的横坐标」与「方程 的根」之间的对应关系 □ 能　□ 还不太熟 ② 默写判别式 ，并用它的符号判断公共点个数 □ 能　□ 还不太熟 ③ 说清 大于 0、等于 0、小于 0 三种情况各自对应几个公共点、几个实数根 □ 能　□ 还不太熟 ④ 不画图，判断任意一条抛物线与 轴的公共点个数 □ 能　□ 还不太熟 ⑤ 由方程求抛物线与 轴公共点的坐标 □ 能　□ 还不太熟 ⑥ 用图象求一元二次方程的近似根，并按要求取到指定的小数位数 □ 能　□ 还不太熟 ⑦ 把「直线 与抛物线的公共点」翻译成方程 的根 □ 能　□ 还不太熟 ⑧ 由图象写出 或 的解集，并处理好端点取不取的问题 □ 能　□ 还不太熟 十三、知识追问（想清楚再合上本子） ① 为什么抛物线 与 轴公共点的横坐标，一定满足 ？请你从「点在 轴上意味着什么」说起。 ② Δ 等于 0 时，为什么教材说方程「有两个相等的实数根」，而不说「只有一个根」？此时抛物线与 轴的位置有什么特别？ ③ 抛物线 开口向上，为什么它却与 轴没有公共点？这说明「开口向上」和「有没有公共点」之间是什么关系？ ④ Δ 小于 0 时方程没有实数根，但抛物线的顶点不一定离 轴很远。请你举一个顶点离 轴很近的例子验证这句话。 ⑤ 用图象求近似根时，为什么要不断取中点把区间缩小？如果说「结果保留小数点后一位」，那么区间至少要缩到什么程度？ ⑥ 由图 8 读出， 的解集是 或 。如果题目改成 ，答案要变吗？为什么？ ⑦ 直线 与抛物线有两个公共点、一个公共点、没有公共点，分别对应方程 的什么情况？这三种情况与你已经背下的「三种情况」是同一件事吗？ 十四、本节在章中的位置与中考对接 1. 本节在章中的位置 章内课节 研究内容 与本节的联系 25.2 解一元二次方程（已学） 配方法、公式法、因式分解法，以及判别式 本节判断根的情况用它，求公共点坐标也是解方程 26.1 二次函数的概念 认识二次函数：一般式、判定、列关系式 先有「式」，才有对应的「方程」 26.2 二次函数的图象和性质 抛物线、开口、对称轴、顶点、增减性、最值 本节「看图象说话」的本领全靠它 26.3 二次函数与一元二次方程（本节） 抛物线 与 轴的公共点 ⇔ 方程 的根； 定个数；用图象求近似根 把「二次函数」与「一元二次方程」彻底打通 26.4 实际问题与二次函数 建立二次函数模型，解决最大面积、最大利润等实际问题 会用到本节「由图象判断取值范围」的思路 2. 中考对接 本节是「二次函数与方程、不等式」这一类题的入口，中考里以 ★ ~ ★★ 的基础题为主，常见四类：① 判断抛物线与 轴的公共点个数（算 ）；② 求抛物线与 轴（或与直线 ）的公共点坐标；③ 用图象求一元二次方程的近似根，题目常问「根在哪两个相邻整数之间」；④ 由图象写出不等式 或 的解集。这四类题的共同套路是：先把条件翻译成方程，算出根（或判断根的情况），再回到图象上说位置。 3. 三个必背 ① 一个对应：抛物线 与 轴公共点的横坐标，就是方程 的根。 ② 三种情况：。大于 0：两个公共点，两个不相等的实数根；等于 0：一个公共点，两个相等的实数根；小于 0：没有公共点，没有实数根。 ③ 一条直线：直线 与抛物线公共点的横坐标，就是方程 的根；图象在 轴上方（或下方）的那些 的值，就是 （或 ）的解集。 4. 一句话总结 二次函数与一元二次方程，其实是同一件事的两种说法：式子相等的位置，就是图象相交的位置。所以，拿不准有几个公共点就先算 ；要公共点的坐标就解方程；要在哪些 的范围里成立，就看图象在 轴上方还是下方。把「式」和「图」互相翻译，这一类题就再也没有难题。 学科网（北京）股份有限公司 $