26.4 实际问题与二次函数 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 · 第二十六章 二次函数 · 26.4 实际问题与二次函数（导学案） 第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 九年级上册 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 第二十六章 二次函数 · 第 4 节 · 3 课时 · 教材 P51—P54 前面三节把二次函数从头到脚看了一遍：26.1 认识了它，26.2 摸清了它的样子与脾气（开口方向、对称轴、顶点、增减快慢），26.3 又把它与一元二次方程接到了一起。这一节换一种用法 —— 把二次函数搬到生活里去，看看水池、菜园、柜台和桥底下藏着什么样的数学。 翻开课本这一节的开头只有一句话：对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数来刻画，那么就可以利用二次函数的图象和性质来研究。这句话听起来平淡，其实是整章的一个总开关。前面学的是"已知式子看图象"，从今往后要学的是"从情境里长出式子"——这一步比前一步难，因为它没有现成的式子递到手里。 这一节挑了四件事来做例子：跳水运动员起跳后什么时候最高、一面墙加二十米篱笆围出的菜园什么时候最大、一件商品定价多少最赚钱、拱桥下的水面有多宽。四件事的开头各不相同，可它们都在问同一个字 —— 最。把四个现场摆在一起看，你会发现它们走的是同一条流水线：先把实际情境里的量设出来，再列出二次函数的式子，然后借顶点求出那个"最"，最后把答案说回实际。 学习目标 1. 会把实际问题中的两个变量找出来，分析它们之间的等量关系，写出二次函数的解析式，并说出式中每一个字母表示实际中的什么量。 2. 会根据问题的实际意义确定自变量的取值范围：边长与时间不能为负、靠墙的那条边不能超过墙长、单价为整数时自变量的取值只能是整数。 3. 会把"最高""最大""最赚钱"这类说法翻译成"求二次函数的最大值（或最小值）"，并用顶点公式或配方把最大值（或最小值）以及取到它的自变量的值都算出来。 4. 会解决抛物线形的实际问题：把拱桥、隧道、喷泉、投篮的轮廓放进平面直角坐标系，求出对应的二次函数解析式，再由已知的高度求宽度、或由已知的宽度求高度。 5. 会检验算出的结果是否符合实际，说得清"顶点不在取值范围内"时该取哪一个值，最后用完整的句子把答案写出来。 6. 会说出利用二次函数解决实际问题的一般步骤，并能举出本节的一个例子把六步走一遍。 学习重点与难点 项目 内容 学习重点 把实际问题里的数量关系写成二次函数的解析式；用顶点公式或配方求二次函数的最大值（或最小值），并确定取到最值时自变量的值 学习难点 第一，只列式不写自变量的取值范围，或者把范围写成纯数学上的全体实数；第二，顶点不在范围内时，仍照搬顶点的函数值作答；第三，把"何时最高"说成"最高是多少"（一个是自变量，一个是函数值）；第四，抛物线形问题不先建系、不先求解析式就动笔；第五，算出的长度、面积、钱数不带单位，或者用"米"去答面积的题；第六，只答调价的情形，漏掉不调价这一种方案 本节在课本第几页 本节是第二十六章的第 4 节，课本 P51 到 P54 一共 4 页，安排 3 课时：第 1 课时解决最大高度与最大面积问题（课本 P51—P52，含例1 跳水运动员、例2 围菜园与练习）；第 2 课时解决最大利润问题（课本 P52，含探究1 定价与练习）；第 3 课时解决抛物线形的实际问题（课本 P53—P54，含探究2 拱桥、练习与全节的归纳）。配套练习是《习题26.4》，在课本 P54 到 P55，按复习巩固、综合运用、拓广探索三个层次编排。 课本 P51 的例1 图、例2 的墙与菜园图、P53 的拱桥图与建系图，都是课本原图，请同学自己翻课本看，本材料不重画。课本用的图号是「图26.4-1」到「图26.4-4」，与本材料正文里的图 1 至图 8 不是一套，不要混。 本材料里的图 1 至图 8 都只画事情本身 —— 四个现场的四幅轮廓、跳水时重心高度与起跳时间的关系、一面墙与篱笆围出的菜园、两种墙长下的菜园、涨价时利润随涨价的变化、拱桥的截面与水面、两个水位下的水面、从实际情境走到回答的四步；把"事情长什么样"摆在眼前，式子与结论留给自己写。 热身三问 1. 抛物线 y = a + bx + c（a 不为 0）的顶点坐标是什么？当 a 小于 0 时，函数在顶点处取到最大值还是最小值？先把结论写出来。 2. 用一条长 20 米的篱笆围一个长方形，如果长是 x 米，宽能写成含 x 的什么式子？x 可以取 15 吗？为什么？ 3. 一件商品的售价提高 1 元，买的人就少一些。那么"卖得贵"与"赚得多"是不是一回事？先写下你的判断，理由暂时可以空着。 我写热身答案： 【预习提醒】第 1 问：顶点坐标是 ；当 a 小于 0 时抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，所以函数在顶点处取到最大值。第 2 问：周长为 20 米，长是 x 米时宽是 (10 - x) 米；x 取不了 15，因为那时宽成了 -5 米，长方形的边长必须是正数，所以 0 < x < 10。第 3 问：不是一回事。卖得贵，每件赚得多，可是卖出的件数会变少；总利润等于每件利润乘卖出件数，是"乘"出来的结果，要两头一起看才能知道哪种定价赚得最多。 一、先认一个"最"字 · 四个现场都绕不开顶点 这一节请来的四个现场，场面差得很远：一个在高台边，一个在墙根下，一个在柜台上，一个在桥洞底。式子也各不相同：有的自变量是时间，有的是边长，有的是涨价的钱数，有的是横坐标。可是把四个式子排成一排就会发现，它们都是二次函数的式子，而且每一个式子里都藏着一处"顶"。 先别急着算。第一步只做一件事：把四件事各自在问的那句话抄下来，比一比。 ① 跳水运动员起跳以后，什么时候重心升到最高？最高是多少？ ② 一面墙加二十米篱笆，边长取多少时菜园的面积最大？最大是多少？ ③ 一件商品定价多少，每星期的利润最大？最大是多少？ ④ 水位上升以后，拱桥下的水面有多宽？ 我写四件事各自在问什么： 前三句话里都有"最大"，第四句里没有，它要的是一个长度。那么，四件事真的走在两套完全不同的路上吗？带着这个疑问，往下看。 我写我的判断： 如图 1，四件事的轮廓按顺序摆在一起 —— 高台边的跳水、墙根下的菜园、柜台上的商品、桥洞下的水面。看一看：四幅轮廓里，各自最"顶"的地方分别在哪里？ 图 1 四个现场的轮廓 【先看共同点】四件事各盯着一处"顶"：跳水运动员的重心升到最高处、菜园的面积涨到最大、商场的利润涨到最多、拱桥的拱形拱到最高。前三处要的是"什么时候到顶""顶有多高"，第四处先要认出"拱顶就是这条抛物线的顶点"，再顺着抛物线去量水面。四个现场问法不一，却都绕不开同一个东西 —— 抛物线的顶点。 现场 在问什么 式子里的自变量 现场一 · 跳水 重心什么时候升到最高、最高是多少 起跳后的时间 现场二 · 围菜园 边长取多少时菜园面积最大、最大是多少 垂直于墙的边长 现场三 · 定价 涨价（或降价）多少时利润最大、最大是多少 每件涨的（或降的）钱数 现场四 · 拱桥 水位变化以后水面有多宽 水面上某点到对称轴的距离 一眼看过去，前三处都是"求最大值"的问题，第四处不是；可第四处也要先把拱形写成二次函数的式子，再拿它去换长度，用的还是一套办法。这一节最后会把四个现场收进同一条流水线，那时你就能看清它们到底有多像。 二、现场一 · 跳水台上什么时候最高 先看现场一。例1（课本 P51）是这样的：在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h（单位：米）与起跳后的时间 t（单位：秒）之间的关系式是 h = -4.9 + 2.8t + 11。问的是：运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少（结果保留小数点后一位）？ 第一步仍然不是计算。先把题面里的"已知"与"问"分开写下来。 我写已知与所求： 在题面里，"已知"是一个关系式，"问"里出现了两样东西：一样是"多长时间"，一个时刻；另一样是"最大高度是多少"，一个高度。把这两样分别对到函数上去，就能看清它们各是自变量的值还是函数的值。 我写两问各求什么： 如图 2，跳水时重心的高度随起跳时间变化的曲线画了出来：横轴是起跳后的时间，纵轴是重心离水面的高度。先看图想一想：曲线的最高处大致落在什么位置？那时重心离水面有多高？ 图 2 跳水时重心高度与起跳时间的关系 【怎么翻译】"经过多长时间达到最高点"问的是时刻，是自变量的值；"最大高度是多少"问的是高度，是函数的最大值。式子里 a = -4.9 小于 0，抛物线开口向下，顶点就是图象的最高点，所以顶点横坐标就是那个时刻，顶点纵坐标就是那个最大高度。 把话翻译成数学：求"什么时候最高"，就是求 t 取什么值时 h 最大；求"最大高度是多少"，就是求 h 的最大值。对于 h = -4.9 + 2.8t + 11，先写下 a = -4.9、b = 2.8、c = 11。因为 a 小于 0，抛物线开口向下，顶点处的函数值就是最大值。 顶点的横坐标是 t = = = 约等于 0.3，所以起跳后大约 0.3 秒时重心达到最高点。顶点的纵坐标是 h = = 约等于 11.4，所以最大高度约为 11.4 米。 这里还有一处要留心：题面要求结果保留小数点后一位，是因为 化不成有限小数，11.4 也是四舍五入以后的结果。凡是估算或四舍五入得到的量，书写时都要带上"约"字，写成"约 0.3 秒""约 11.4 米"，不能直接写成等号。 我写为什么答案前面要带"约"字： 再看练习第 2 题（课本 P52）：从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h（单位：米）与小球的运动时间 t（单位：秒）的关系近似为 h = 30t - 5，这里 t 取 0 到 6 之间的值，两端都能取到。小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 这一题与例1 是同一个套路，只多了一处不同：式子里带着 t 的取值限制。先自己算一遍，算完还要回头看一眼顶点横坐标是不是落在这段范围内。 我写这一题的答案： 【做完了对一对】a = -5 小于 0，抛物线开口向下，顶点处取最大值。t = = = 3，而 3 确实落在 0 与 6 之间，可以用；h = = = 45。答：小球运动 3 秒时最高，最大高度是 45 米。 三、现场二 · 一面墙加二十米篱笆 再到现场二。例2（课本 P51—P52）是这样的：利用一面墙（墙的长度不限），用 20 米长的篱笆围成一个矩形菜园。如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 这一题的难处不在计算，在于先认清篱笆到底围在哪几条边上。题目说"利用一面墙"，意思是菜园有一条边不需要篱笆，直接用现成的墙；篱笆只负责剩下的边。先把这一层看明白，式子自然就出来了。 动笔之前先回答两个小问题：篱笆围住了菜园的几条边？这几条边一共多长？ 我写篱笆围住了几条边： 既然篱笆只围一部分边，那么"面积最大"这句话里的面积，就得用篱笆管的那些边来表示。接着回答第二问：如果把垂直于墙的那条边设为 x 米，平行于墙的那条边该怎样用含 x 的式子表示？菜园的面积又怎样表示？ 我写边长与面积的式子： 如图 3，一面墙与篱笆围出的菜园画了出来。数一数：篱笆围着的是哪几条边？贴着墙的那条边在哪里？ 图 3 一面墙与篱笆围出的菜园 【数一数篱笆】菜园有一边靠着墙，那一边不用篱笆；另外三条边用篱笆，三条边加起来正好 20 米。所以设垂直于墙的边长为 x 米，两条这样的边共用 2x 米，剩下给平行于墙那条边的是 (20 - 2x) 米。 要定的事 怎么定 得到什么 设 设垂直于墙的边长为 x 米 平行于墙的边长为 (20 - 2x) 米 列 用矩形的面积公式把 S 写成 x 的式子 S = x(20 - 2x) = -2 + 20x 定范围 边长都要为正数 x > 0 且 20 - 2x > 0，即 0 < x < 10 式子与范围都齐了，剩下的就是把"面积最大"翻译成"二次函数的最大值"。请你想一想：这里的"面积最大"指的是什么？它对应函数图象上的哪一个位置？ 我写"面积最大"对应图象上的什么位置： S = -2 + 20x 里 a = -2 小于 0，抛物线开口向下，顶点处取最大值。顶点的横坐标 x = = = 5，落在 0 与 10 之间，可以用；顶点的纵坐标 S = = = 50。因为 a 小于 0，只要 x ≠ 5，算出的面积就比 50 平方米小。 答：当垂直于墙的边长为 5 米时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 平方米。此时平行于墙的那条边是 20 - 2 × 5 = 10 米，面积是 5 × 10 = 50 平方米，与算出来的结果一致。 再看练习第 1 题（课本 P52）：如果例2 中墙的长度为 8 米，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 题目只改了一个条件 —— 墙的长度从"不限"变成了 8 米。多出来的这条限制会落在哪里？先自己想一想，写下你的判断，再看下面的提示。 我写多出的限制落在哪里： 【范围变了没有】多出的限制落在"平行于墙的那条边"上：它贴着墙，就不能比墙更长，所以 20 - 2x 不能大于 8，即 x 不能小于 6。原来的范围 0 < x < 10 于是被收窄成 6 到 10 之间（6 能取到，10 取不到）。对称轴 x = 5 已经落在区间左边，所以在这段范围内 S 随 x 的增大而减小，x 取 6 时 S 最大。 把上面的推理写完整：由 20 - 2x 不大于 8 得 x 不小于 6；又边长要为正数，于是 6 不大于 x、x 小于 10。当 x = 6 时，S = -2 × + 20 × 6 = -72 + 120 = 48，同时平行于墙的那条边是 20 - 2 × 6 = 8 米，正好贴满这面墙。答：垂直于墙的边长为 6 米时面积最大，最大面积是 48 平方米。 把两小题摆在一起看很有意思：篱笆的总长没变，只是墙变短了，最大面积就从 50 平方米掉到了 48 平方米。可见墙长不是可有可无的条件，它直接改变答案。 四、先给 x 画一道圈 · 取值范围怎样定 前面两题都出现了同一句话：自变量的取值应使问题有现实意义。这句话不是客套，它是一道必须画的圈。圈画小了会漏掉答案，圈画大了会算出生活里不存在的图形，两种错都算错。 把本节几个式子里的自变量摆在一起看，它们受到的限制其实就那么几类：长度与时间不能为负；件数、人数这类量只能是整数；跟图形有关的量还要满足图形本身的条件。下面这张表把三类限制与例子对上。 限制的类型 为什么 本节里的例子 不能为负 长度、时间、面积这些量在生活中没有负的 t 不能小于 0；边长 x 必须大于 0 受另一条边的牵制 两条边要一起把篱笆用完，一条太长另一条就为负 平行于墙的边 20 - 2x 必须大于 0 受墙的长度牵制 贴着墙的那条边不能比墙更长 墙长 8 米时，20 - 2x 不能大于 8 只能取整数 单价、件数、人数都是整的，不能取带小数的值 涨价的钱数只能取整数 这三种限制不是凭空想出来的，它们来自题目里的每一句话、图上的每一处牵连。请你自己把本节四个现场的自变量取值范围各写一遍，看看能不能都对上号。 我写四个现场的取值范围： 范围不只是"能不能取到"的问题，"两端取不取得到"也要说清。例如菜园的 x 必须满足 0 < x < 10，这里的 x ≠ 0，也不取 10。请你想一想：为什么 x = 0 与 x = 10 都不能要？ 我写两端为什么都取不到： 【两端为何取不到】x = 0 时平行于墙的那条边是 20 米，可垂直于墙的边长为 0，菜园扁成了一条线；x = 10 时平行于墙的那条边为 0，照样扁成一条线。两种情形下菜园都不存在，面积是 0，根本谈不上最大。所以范围的两端只能画成空心的，写成 0 < x < 10，两端的等号都不带。 还有一处要提醒：当顶点算出来的值落在范围外面时，不能硬把顶点的函数值当答案。下面这张图说的是同一种牵制 —— 墙的长度不一样，那条贴着墙的边就不一样，答案也就跟着变。先想一想"墙变短会带来什么后果"，再往下看。 我写墙变短会带来什么后果： 如图 4，两种墙长下的菜园并排画了出来：左格的墙长一些，右格的墙短一些。比一比两格里贴着墙的那条边，再看看它把最大面积挤到了哪里。 图 4 两种墙长下的菜园 【范围提醒】左格里的墙比需要的长，平行于墙的那条边可以随意伸缩，顶点处的最大面积取得到；右格里的墙短，平行于墙的那条边被墙卡住，顶点被挤到范围外面，最大值只能在范围的端点上取。所以每算完一道最值题，都要回头看一眼：顶点在不在范围内。 把这三句话记住就够用了：先写范围，再求顶点；顶点在范围内就取顶点，不在就取端点；最后用一句完整的话把答案说清楚，带上单位。 五、现场三 · 定在几元最赚钱 第三个现场搬到柜台上。探究1（课本 P52）是这样的：某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件。市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价 1 元，则每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件。已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 这一题与前面两题最大的不同，是"怎么定价"这句话里藏着三条路：涨价、降价，还有一条最容易忘 —— 什么都不做，照原价卖。三条路都要算一遍，最后比一比。 先走涨价这一条。把"每件涨 x 元"作为自变量，请你想一想：涨价以后每件能赚多少？每星期还能卖出多少件？这两样乘起来是什么？ 我写涨价后每件利润与卖出件数： 如图 5，涨价时每星期利润随涨价的钱数变化的曲线画了出来。先看图想一想：这条曲线是从头到尾都在上升吗？它在哪里掉头？ 图 5 涨价时利润随涨价的变化 【利润怎么算】每件涨价 x 元后，每件利润是 (60 + x) - 40 元，每星期卖出 (300 - 10x) 件；总利润等于每件利润乘卖出件数，也就是 (60 + x)(300 - 10x) - 40(300 - 10x) 元。把这个式子整理出来，是一个开口向下的二次函数，所以利润会先升后降。 整理一下：y = (60 + x)(300 - 10x) - 40(300 - 10x) = -10 + 100x + 6000。自变量 x 的范围也要说清：涨价不能为负，所以 x 不小于 0；每星期卖出的件数不能为负，由 300 - 10x 不小于 0 得 x 不大于 30；又因为单价为整数，x 只能取整数。合起来，x 取 0 到 30 之间的整数。 再求最值：a = -10 小于 0，抛物线开口向下，顶点处取最大值。x = = = 5，是整数又在范围内，可以用；y = = = 6250。所以涨价 5 元时利润最大，最大利润是 6250 元。 再走降价这一条。设每件降价 x 元，则每件利润是 (60 - x) - 40 = 20 - x 元，每星期卖出 (300 + 20x) 件，于是 y = (20 - x)(300 + 20x) = -20 + 100x + 6000。 顶点横坐标 x = = = 2.5。麻烦就在这里：2.5 不是整数，而题目规定单价为整数，所以 2.5 取不到。这时候要在与 2.5 最接近的两个整数处试一试：x = 2 时 y = (20 - 2)(300 + 20 × 2) = 18 × 340 = 6120；x = 3 时 y = (20 - 3)(300 + 20 × 3) = 17 × 360 = 6120。两种取法一样多，都是 6120 元。 最后一条路：什么都不做，照每件 60 元卖。此时每件利润是 60 - 40 = 20 元，每星期卖出 300 件，利润是 20 × 300 = 6000 元。 方案 利润的解析式 最大利润（元） 每件涨价 x 元 y = -10 + 100x + 6000（x 取 0 到 30 的整数） 6250（x = 5 时） 每件降价 x 元 y = -20 + 100x + 6000（x 取 0 到 20 的整数） 6120（x = 2 或 3 时） 不调价 y = 20 × 300 6000 三个数摆在一起：6250 最大，6000 最小。答：每件涨价 5 元，也就是把定价定为 65 元时利润最大，最大利润是 6250 元。这题告诉我们一条经验：定价问题不是"越贵越好"，也不是"越便宜越好"，而是要让"每件赚多少"与"能卖多少件"这两头乘起来最大。 再看练习（课本 P52—P53）。第 1 题：旅行社开设一个旅游团，20 人起组团，每人需缴 2100 元；旅行社对超过 20 人的旅行团给予优惠，每增加 1 人，每人需缴费用降低 30 元。当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？第 2 题：生产某种商品需要 500 元的固定花费，在此基础上，每生产 1 件商品花费 10 元，预定单价为 50 元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一。当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 这两题的自变量都受整数与正数的限制，先把范围写下来再求顶点。自己动手算一遍，写完再看下面的提示。 我写这两题的解析式与答案： 【做完了对一对】第 1 题：设增加 x 人，营业额 y = (20 + x)(2100 - 30x) = -30 + 1500x + 42000，顶点 x = = 25，是整数且在范围内，此时人数是 20 + 25 = 45 人，营业额 y = 60750 元。第 2 题：设产量为 x 件，实际单价为 元，利润 y = x - 500 - 10x = - + 40x - 500，顶点 x = = 160，是整数且在范围内，此时 y = 2700 元。 六、现场四 · 桥下的水面有多宽 最后一个现场在桥洞底下。探究2（课本 P53—P54）：一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4 米时，水面宽 10 米。突降暴雨后水面上升 1 米，此时水面宽为多少？ 这一题不像前三题那样问"最大"，它要的是一个长度。可它仍然绕不开顶点：拱形是一条抛物线，拱顶就是这条抛物线的顶点。要量水面的宽，得先知道这条抛物线的解析式；要写出解析式，又得先给它找一个合适的坐标系。 先回答一个关键问题：要把拱形写成二次函数的式子，必须先做什么？为什么建系时把原点放在拱顶最省事？ 我写建系的想法： 如图 6，拱桥的截面与水面画了出来：拱形是一条抛物线，水面是一条水平线。先看图找一找：拱形的最高处在哪里？它到水面的距离、到左右两端的距离各是什么关系？ 图 6 拱桥的截面与水面 【怎么建系】建系时把抛物线的顶点放在原点、把对称轴放在 y 轴上，抛物线的式子就简写成 y = a 的形式，只有一个待定的 a，代一个已知点就能定下来。若把原点放在别处，式子里会多出一次项和常数项，凭空添麻烦。 按这个想法建系：以拱顶为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系。这时抛物线顶点在原点、对称轴是 y 轴，所以可设它对应的二次函数为 y = a。 题目给了两个条件：拱顶离水面 4 米，水面宽 10 米。水面与拱形相交于两点，它们关于对称轴对称，所以各自到对称轴的距离都是 10 ÷ 2 = 5 米；水面又在拱顶下方 4 米处。两点里右边那个的坐标就是 (5, -4)。把它代入 y = a，得 -4 = a × ，解得 a = -。所以这条抛物线对应的二次函数是 y = -。 水面上升 1 米以后，水面所在的纵坐标从 -4 变成 -3。把 y = -3 代入 y = -，得 -3 = -，解得 = 。于是水面右端点的横坐标是 x = ，水面宽就是它的两倍：2x = 2 = = 5 ≈ 8.7（米）。 答：水位上升 1 米后，水面宽约为 8.7 米。把这个数与原来的 10 米比一比：水位抬高，水面反而变窄了 —— 这个结论与脑海里那座拱桥的样子对得上。 再看练习第 2 题（课本 P54）：对于探究2，在突降暴雨致水位上升 1 米后，有一艘装满物资的小船准备从桥下通过，这艘小船宽 4 米，船舱顶部为长方形，露出水面的部分高 2 米。这艘小船能从这座拱桥下通过吗？ "能不能通过"这句话要翻译成数学语言：船最宽的地方是 4 米，只要在船的两侧所在的位置上，拱形都比船顶高，就能过。先在图上比一比两处水位下的水面，再动笔。 我写"能通过"要满足什么： 如图 7，两个水位下的水面并排画了出来：左格是原来的低水位，右格是上升以后的高水位。比一比两格里水面的宽窄，再看看要判断小船能不能通过，该看船的两侧处在哪一个高度。 图 7 两个水位下的水面 【换成数比一比】船宽 4 米，船的两侧到对称轴的距离都是 2 米，所以只需看横坐标为 2 与 -2 处拱形的高度。把 x = 2 代入 y = - 得 y = -0.64；此时水面在 y = -3 处，拱形在这一点比水面高 3 - 0.64 = 2.36 米，而船顶只露出水面 2 米，2.36 大于 2，所以过得去。因为抛物线左右对称，另一侧算出来也是同样的数，算一次就够。 把解答写完整：答：这艘小船能从这座拱桥下通过。船顶与桥洞之间还留着约 0.36 米的空隙。 这类抛物线形的实际问题，走法可以固定成四步：先建系，再设解析式，接着代已知点求出待定的系数，最后用解析式去求所要的高度或宽度。求宽与求高是一对反向的动作 —— 已知高度求宽度，或已知宽度求高度，都靠同一个式子来回换。 七、把四个现场收进一条流水线 · 找错、易错与作业 1. 找错活动：下面三处说法或做法各有一处错误，先自己指出错在哪里、再改正，然后往下对。 序号 原来的说法或做法 错在哪里 改正后 ① 跳水运动员起跳后 0.3 秒达到最高点，最大高度是 11.4 米 把估算或四舍五入得到的数写成了准确值 这两个数都是近似值，应写成"约 0.3 秒""约 11.4 米" ② 用 20 米篱笆靠墙围菜园，垂直于墙的边长为 5 米时面积最大、是 50 平方米；所以把墙长改成 8 米以后，边长仍取 5 米，最大面积仍是 50 平方米 墙变短后取值范围被收窄，顶点已经落到范围外面，却仍照搬顶点的函数值 墙长 8 米时 20 - 2x 不能大于 8，得 x 不能小于 6，范围收窄为 6 到 10 之间；顶点 5 不在范围内，S 随 x 增大而减小，x = 6 时最大，为 48 平方米 ③ 定价问题里把涨价与降价两种方案各算了一遍，比出最大利润是 6250 元，就算做完了 漏掉了"不调价"这条方案，方案没有列全就下结论 三条方案都要算：涨价 6250 元、降价 6120 元、不调价 6000 元，三者相比最大仍是 6250 元，但漏掉一条方案，结论就没有根据 我写错因与改正： 【查错提醒】三例各有各的错法。① 是书写上的错： 化不成有限小数，11.4 也是四舍五入的结果，凡由估算或取近似得到的量都要带"约"字。② 是范围上的错：题目的条件一改，自变量的取值范围就要跟着改；顶点不落在范围里时，最大值只能在范围的端点上找。③ 是完整的错：问"如何定价"就要求把所有可能的定价方式都算出来再比，漏掉一种方案，答案就可能出错。 2. 易错清单：本节最容易踩的八处，请逐条对照自己的作业检查一遍。 序号 容易写错的地方 正确的说法 1 只把二次函数的式子列出来，不写自变量的取值范围 每个实际问题都要根据题意写出范围：长度与时间不能为负、贴着墙的边不能比墙长、单价与件数只能取整数 2 把"何时最高""何时最大"与"最高是多少""最大是多少"混在一起，只答一个 前一个问的是自变量的值，后一个问的是函数的最大值，两问就要写两个答案 3 顶点算出来落在范围外面，仍把顶点的函数值当答案 先看顶点在不在范围内：在就取顶点，不在就取范围的端点 4 靠墙围菜园时，把靠着墙的那条边也算进了篱笆 靠着墙的那条边用现成的墙，篱笆只围剩下的边；几条篱笆加起来才是篱笆的总长 5 墙长有限时，不把"贴着墙的边不能比墙长"写进范围 墙长 8 米时，20 - 2x 不能大于 8，于是 x 不能小于 6 6 定价问题只算涨价的方案，漏掉降价或不调价 把涨价、降价、不调价三种方案都算出来，再比一比哪种最大 7 单价、件数、人数这类量取了带小数的值 这类量只能取整数；顶点算出来是小数时，取与它最接近的两个整数各试一次 8 算出的面积、长度、钱数不带单位，或者用错了单位 面积用平方米、长度用米、时间用秒、钱用元，答句末尾都要带上 3. 自我评价与反思：请给自己本节的表现打个分（1 至 5 分），再写下一条还想弄明白的问题或一处已经改正的错。 我写自评与反思： 【自评提醒】自评时重点看三件事：一是拿到一道实际问题，能不能独立把式子列出来、并把自变量的取值范围写全；二是算完最值以后，有没有回头确认顶点落在范围里；三是答句有没有说清"何时取到"与"取到多少"，并带上单位。 4. 作业安排：本节配套练习是《习题26.4》（课本 P54—P55），按课本层级分三层完成，题面以课本原文为准。 层级 题目所在的课本页 完成要求 复习巩固 （课本 P54） 照课本原文在本子上完成，先把自变量的取值范围写下来，再求最值 综合运用 （课本 P55） 写出完整的解析式与推理过程，算完最值回头检查顶点是否落在范围内 拓广探索 （课本 P55） 把抛物线形问题的建系过程画出来，写清"由已知点求系数、再由式子求宽度或高度"的来龙去脉 我写作业中画出的关键步骤： 【作业提醒】做《习题26.4》时把握一条主线：不管问的是高度、面积、利润还是宽度，都先把实际情境里的量设成自变量、把要找的那个量设成函数，再列出二次函数的式子；列完先写范围，求完最值再验范围，最后用一句带单位的话作答。 5. 如图 8，本节四个现场走的路都画在一张图上：从实际情境出发，列出二次函数的式子，借图象与顶点求出那个"最"，最后回答实际问题。请你照着这条流水线，从本节四个现场里挑一个，把四步各写一句话。 图 8 从实际情境走到回答的四步 我写这四步： 【结构提醒】以现场二为例：实际情境是一面墙加 20 米篱笆围出的菜园；二次函数式子是 S = x(20 - 2x)；图象与顶点给出它在 x = 5 时最大，最大值是 50；最后回答实际问题 —— 垂直于墙的边长取 5 米时菜园面积最大，最大面积是 50 平方米。四步都走齐了，一步不落。 八、参考答案 （一）前导 · 学习目标与热身三问 热身第 1 问：抛物线 y = a + bx + c 的顶点坐标是 ；当 a 小于 0 时抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，所以函数在顶点处取到最大值。 热身第 2 问：周长是 20 米，长是 x 米时宽是 (10 - x) 米；x 取不了 15，因为那时宽成了 -5 米，长方形的边长必须是正数，所以 0 < x < 10。 热身第 3 问：不是一回事。卖得贵，每件赚得多，可是卖出的件数会变少；总利润等于每件利润乘卖出件数，是"乘"出来的结果，要两头一起看，才知道哪种定价赚得最多。 （二）板块一 · 先认一个"最"字 四件事各自在问什么：① 跳水运动员的重心什么时候升到最高、最高是多少；② 边长取多少时菜园的面积最大、最大是多少；③ 涨价（或降价）多少时每星期的利润最大、最大是多少；④ 水位上升以后拱桥下的水面有多宽。 我的判断：不是两套完全不同的路。前三处问的是"最大值"，第四处问的是一个长度；第四处也要先把拱形写成二次函数的式子，再拿式子去换长度。 四个现场的共同点：四件事的式子都是二次函数的式子，也都绕不开抛物线的顶点 —— 前三处用顶点求最大值，第四处先认出拱顶就是顶点，再顺着抛物线去量水面。 （三）板块二 · 现场一 · 跳水 例1：h = -4.9 + 2.8t + 11，a = -4.9 小于 0，抛物线开口向下，顶点处取最大值。t = = = 约等于 0.3，所以起跳后约 0.3 秒重心达到最高点；h = 约等于 11.4，所以最大高度约为 11.4 米。 为什么两个答案前面都要带"约"字： 化不成有限小数，11.4 也是四舍五入以后的结果；凡是由估算或四舍五入得到的量，书写时都要带"约"字，不能写成等号。 练习第 2 题：h = 30t - 5，a = -5 小于 0，顶点处取最大值。t = = 3，而 3 确实落在 0 与 6 之间，可以用；h = = 45。答：小球运动 3 秒时最高，最大高度是 45 米。 （四）板块三 · 现场二 · 篱笆菜园 篱笆围住的是三条边：垂直于墙的两条边，加上平行于墙的一条边，三条边的长度加起来正好是 20 米。 例2：设垂直于墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为 (20 - 2x) 米，面积 S = x(20 - 2x) = -2 + 20x；边长都要为正数，所以 0 < x < 10。因为 a = -2 小于 0，抛物线开口向下，顶点 x = = 5 落在 0 与 10 之间，S = = 50。答：垂直于墙的边长为 5 米时面积最大，最大面积是 50 平方米。 练习第 1 题（墙长 8 米）：平行于墙的那条边贴着墙，不能比墙更长，由 20 - 2x 不大于 8 得 x 不小于 6，范围收窄为 6 到 10 之间（6 能取到，10 取不到）。顶点 5 已经落在范围外面，在这段范围内 S 随 x 的增大而减小，所以 x 取 6 时 S 最大，S = -2 × + 20 × 6 = 48。答：垂直于墙的边长为 6 米时面积最大，最大面积是 48 平方米。 把两小题摆在一起看：篱笆的总长没有变，只是墙变短了，最大面积就从 50 平方米掉到了 48 平方米。可见墙长不是可有可无的条件，它直接改变答案。 （五）板块四 · 取值范围 自变量的限制一共三类：长度、时间、面积这类量不能为负；两条边要一起把篱笆用完，所以平行于墙的那条边也必须为正；贴着墙的边不能比墙更长，这是墙长带来的额外限制。此外，单价、件数、人数这类量只能取整数。 四个现场的取值范围：① 例1 中 t 不能小于 0；练习里 t 取 0 到 6 之间的值，两端都能取到。② 菜园中 0 < x < 10，墙长 8 米时收窄为 6 到 10 之间。③ 定价中涨价的钱数 x 取 0 到 30 之间的整数，降价的钱数 x 取 0 到 20 之间的整数。④ 拱桥中水面上某点到对称轴的距离 x 不能小于 0。 两端为什么都取不到：x = 0 时平行于墙的那条边是 20 米，可垂直于墙的边长成了 0；x = 10 时平行于墙的那条边成了 0。两种情形下菜园都扁成了一条线，面积是 0，根本谈不上最大，所以范围的两端只能写成空心的 0 < x < 10。 墙变短会带来什么后果：平行于墙的那条边被墙卡住，自变量的取值范围跟着收窄，本来在范围内的顶点被挤到了范围外面；这时最大值只能在范围的端点上取，不能再照搬顶点的函数值。 （六）板块五 · 现场三 · 定价 涨价这一条：设每件涨价 x 元，每件利润是 (60 + x) - 40 元，每星期卖出 (300 - 10x) 件，总利润 y = (60 + x)(300 - 10x) - 40(300 - 10x) = -10 + 100x + 6000；由 300 - 10x 不小于 0 得 x 不大于 30，又因单价为整数，x 取 0 到 30 之间的整数。顶点 x = = 5，是整数又在范围内，y = = 6250。 降价这一条：设每件降价 x 元，每件利润是 (60 - x) - 40 = 20 - x 元，每星期卖出 (300 + 20x) 件，总利润 y = (20 - x)(300 + 20x) = -20 + 100x + 6000。顶点 x = = 2.5 不是整数，取不到；在与 2.5 最接近的两个整数处试算：x = 2 时 y = 18 × 340 = 6120，x = 3 时 y = 17 × 360 = 6120，两种取法一样多，都是 6120 元。 不调价这一条：每件利润是 60 - 40 = 20 元，每星期卖出 300 件，利润是 20 × 300 = 6000 元。三个数摆在一起，6250 最大、6000 最小。答：每件涨价 5 元，也就是把定价定为 65 元时利润最大，最大利润是 6250 元。 练习第 1 题：设增加 x 人，营业额 y = (20 + x)(2100 - 30x) = -30 + 1500x + 42000，顶点 x = = 25，是整数且在范围内，此时人数是 20 + 25 = 45 人，营业额 y = 60750 元。 练习第 2 题：设产量为 x 件，实际单价为 元，利润 y = x - 500 - 10x = - + 40x - 500，顶点 x = = 160，是整数且在范围内，此时 y = 2700 元。 （七）板块六 · 现场四 · 拱桥 怎么建系：把抛物线的顶点放在原点、把对称轴放在 y 轴上，抛物线的式子就简写成 y = a，只有一个待定的 a；若把原点放在别处，式子里会多出一次项和常数项，凭空添麻烦。 探究2：以拱顶为原点、以抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，可设抛物线对应的二次函数为 y = a。水面与拱形相交于两点，它们关于对称轴对称，各自到对称轴的距离都是 10 ÷ 2 = 5 米，水面又在拱顶下方 4 米处，所以右边那个点的坐标是 (5, -4)。代入得 -4 = a × ，解得 a = -，所以 y = -。 水位上升 1 米以后，水面所在的纵坐标从 -4 变成 -3。把 y = -3 代入 y = -，得 -3 = -，解得 = ，于是水面右端点的横坐标是 x = ，水面宽是它的两倍：2x = = 5 约等于 8.7 米。答：水位上升 1 米后，水面宽约为 8.7 米。这个数比原来的 10 米小，水位抬高、水面反而变窄，与拱桥的样子对得上。 练习第 2 题：小船宽 4 米，船的两侧到对称轴的距离都是 2 米，只需看横坐标为 2 与 -2 处拱形的高度。把 x = 2 代入 y = - 得 y = -0.64；此时水面在 y = -3 处，拱形在这一点比水面高 3 - 0.64 = 2.36 米，而船顶只露出水面 2 米，2.36 大于 2，所以过得去。答：这艘小船能从这座拱桥下通过，船顶与桥洞之间还留着约 0.36 米的空隙。 （八）板块七 · 找错、易错与作业 找错 ①：0.3 与 11.4 都是由估算或四舍五入得到的近似值，应写成"约 0.3 秒""约 11.4 米"，不能写成等号。 找错 ②：墙长改成 8 米后，20 - 2x 不能大于 8，得 x 不能小于 6，范围收窄为 6 到 10 之间；顶点 5 已经落在范围外面，S 随 x 增大而减小，x = 6 时最大，为 48 平方米，不是 50 平方米。 找错 ③：问"如何定价"要把所有可能的定价方式都算出来再比。三条方案是涨价 6250 元、降价 6120 元、不调价 6000 元，最大仍是 6250 元，但漏掉不调价这条方案，结论就没有根据。 易错八条：① 列式以后一定要写取值范围；② "何时最大"答自变量的值、"最大是多少"答函数的最大值；③ 顶点不在范围内就取端点；④ 靠墙的那条边不算进篱笆；⑤ 墙长有限时要写进范围；⑥ 定价要把涨价、降价、不调价都算出来；⑦ 单价、件数、人数只能取整数；⑧ 面积的单位是平方米、长度的单位是米、时间的单位是秒、钱的单位是元。 《习题26.4》说明：本节配套练习在课本 P54—P55，按复习巩固、综合运用、拓广探索三个层次排列，题面以课本原文为准。三层的主线是：复习巩固题多为"给定关系式求最大高度或最大面积"，先把式子认下来、写出自变量的取值范围，再用顶点公式求最值；综合运用题多一层筛选，要自己从情境里设出变量并列出式子，还要留意单价或件数只能取整数、顶点是小数时取最接近的两个整数各试一次；拓广探索题多为抛物线形的实际问题，按"建系、设式、代点求系数、由式求宽度或高度"四步走，答句带上单位。 — 2026—2027学年 · 班级 ______ 姓名 ______ — 学科网（北京）股份有限公司 $