第14讲 线段上的动点探究问题 同步培优讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学线段上的动点探究问题，系统涵盖求线段长、定值、时间及新定义型四大题型，通过坐标法、分类讨论等核心方法，构建从静态线段计算到动态位置分析的学习支架，衔接线段中点、距离公式等基础内容。 资料特色在于分层设计与方法梳理，借助动态示意图培养几何直观（数学眼光），分类讨论提升推理意识（数学思维），新定义转化强化模型观念（数学语言）。课中辅助教师高效教学，课后练习助力学生巩固查漏，提升动点问题解决能力。

第14讲 线段上的动点探究问题 典 型 例 题 题型 线段上含动点求线段长问题 1 一、核心解题方法（分两点） 1.坐标法：设线段所在直线为数轴，定线段端点坐标，用字母（如t）表示动点坐标，根据“数轴上两点距离=坐标差绝对值”列关系式，代入条件求解。 2.分类讨论法：根据动点运动方向（向左/向右）、与定端点的位置关系（在线段上/延长线）分类，避免漏解，每类单独列等式计算。 二、关键解题技巧（分两点） 1.抓“不变量”与“变量”：固定线段长度、动点速度为不变量，用变量t表示运动时间，推导动点位置，建立长度与t的关联。 2.画动态示意图：分阶段画出动点不同位置的图形，标注已知与未知线段，直观梳理数量关系，减少思维混乱。 1 例 （1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 cm； ②若，则 cm； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ； 1-1 变式变式 如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当点C为中点时，求的长． (2)若E为中点，当时，求的长． 1-2 变式变式 应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．    (1)若，求的长； (2)若为的中点，则与的数量关系是______； (3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变． 1-3 变式变式 如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 题型 线段上含动点求定值问题 2 一、核心解题方法（分两点） 1.代数建模法：设数轴定端点坐标，用含t（运动时间）的式子表示动点坐标，根据距离公式列线段长度表达式，化简后消去t，证明结果为常数。 2.中点性质法：若涉及中点，利用“中点坐标=两端点坐标和的一半”推导线段关系，结合线段和差，直接得出定值结论。 二、关键解题技巧（分两点） 1.聚焦“消参”核心：化简表达式时，重点消去变量t，若结果与t无关，即为定值，避免陷入复杂计算。 2.特殊值验证法：取动点不同时刻的位置（如t=0、t=1），计算目标线段长，初步判断定值，再严谨推导，提高效率。 2 例 如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点． (1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________． (2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 2-1 变式变式 如图，M是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，N是线段的中点，，设点M运动时间为t秒． (1)当时，①______，②此时线段的长度______； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若中点为C，则的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由． 2-2 变式变式 如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________； (2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 2-3 变式变式 A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 题型 线段上含动点求时间问题 3 一、核心解题方法（分两点） 1. 距离等式法：设运动时间为t，用“速度×时间”表示动点移动距离，结合线段和差或中点关系，列关于t的一元一次方程求解。 2. 坐标方程法：建立数轴，用含t的式子表示动点坐标，根据“两点距离=坐标差绝对值”列方程，解方程得t的值。 二、关键解题技巧（分两点） 1. 明确运动细节：标注动点速度、方向及线段初始长度，避免因方向混淆导致列错方程。 2. 分类讨论避漏解：根据动点相遇、在线段上/延长线等不同位置情况分类，每类列方程求解，验证结果合理性。 3 例 如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3-1 变式变式 如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 3-2 变式变式 如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 题型 线段上含动点的新定义型问题 4 一、核心解题方法（分两点） 1.定义转化法：精读新定义，将“自定义概念”（如“中点衍生概念”“距离新规则”）转化为线段和差、坐标关系等已知数学语言，建立解题桥梁。 2.方程建模法：设运动时间为t，用含t的式子表示动点位置，结合转化后的定义条件，列一元一次方程或绝对值方程求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.举例验证定义：取特殊值（如t=0）代入新定义，快速理解其本质，避免误解题意。 2.分类讨论位置：根据动点运动方向、与定线段的位置关系分类，结合新定义列方程，确保覆盖所有可能情况。 4 例 已知线段，点在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)点是线段上的动点，线段的中点为，设． ①请用含有的式子表示线段，的长； ②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值． 4-1 变式变式 定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 4-2 变式变式 如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 4-3 变式变式 （1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 课 后 练 习 1 练 如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 2 练 定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 3 练 如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 4 练 已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 5 练 已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 6 练 如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 7 练 如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，为的中点，为的中点． (1)点出发_____秒后，． (2)在点的运动过程中，有如下两个结论：①的长度不变；②的长度不变．请选择一个正确的结论，并求出其值． 8 练 如图，已知数轴上点表示的数为8，点表示的数为．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)线段的长为 单位长度，点P运动t秒后表示的数为 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (3)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 9 练 如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 10 练 已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 11 练 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)_____， _______， _____． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为______． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒 ① t为何值，点Q追上点P？ ②是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 12 练 如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】 （1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 （2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】 （3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 13 练 如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 第14讲 线段上的动点探究问题 典 型 例 题 题型 线段上含动点求线段长问题 1 一、核心解题方法（分两点） 1.坐标法：设线段所在直线为数轴，定线段端点坐标，用字母（如t）表示动点坐标，根据“数轴上两点距离=坐标差绝对值”列关系式，代入条件求解。 2.分类讨论法：根据动点运动方向（向左/向右）、与定端点的位置关系（在线段上/延长线）分类，避免漏解，每类单独列等式计算。 二、关键解题技巧（分两点） 1.抓“不变量”与“变量”：固定线段长度、动点速度为不变量，用变量t表示运动时间，推导动点位置，建立长度与t的关联。 2.画动态示意图：分阶段画出动点不同位置的图形，标注已知与未知线段，直观梳理数量关系，减少思维混乱。 1 例 （1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 cm； ②若，则 cm； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ； 【答案】 6 6 / 【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点，∴, ∵D、E分别是、的中点,∴,,∴， ②∵，，∴,∵D、E分别是、的中点, ∴,,∴，故答案为：6，6； （2）DE的长度与点C的位置无关； 因为点D、E分别是、的中点，∴， ∴．故答案为：． 1-1 变式变式 如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当点C为中点时，求的长． (2)若E为中点，当时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【详解】（1）解：∵点C为中点，∴， ∵∴； （2）解：如图， ∵E为中点，∴∵，∴，∵， ∴，∴，∴， ∴． 1-2 变式变式 应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．    (1)若，求的长； (2)若为的中点，则与的数量关系是______； (3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1），，点是的中点，， 点是的中点，，()； （2）为的中点，，点是的中点，； （3）点是的中点，，点是的中点，， ()，的长不变． 1-3 变式变式 如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，，； （2）解：设运动时间为，则，，， ，． 题型 线段上含动点求定值问题 2 一、核心解题方法（分两点） 1.代数建模法：设数轴定端点坐标，用含t（运动时间）的式子表示动点坐标，根据距离公式列线段长度表达式，化简后消去t，证明结果为常数。 2.中点性质法：若涉及中点，利用“中点坐标=两端点坐标和的一半”推导线段关系，结合线段和差，直接得出定值结论。 二、关键解题技巧（分两点） 1.聚焦“消参”核心：化简表达式时，重点消去变量t，若结果与t无关，即为定值，避免陷入复杂计算。 2.特殊值验证法：取动点不同时刻的位置（如t=0、t=1），计算目标线段长，初步判断定值，再严谨推导，提高效率。 2 例 如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点． (1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________． (2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不会，的长为定值 【详解】（1）解：若点P表示的有理数是0，根据题意可知：， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ，； 若点P表示的有理数是6，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ，；故答案为：；； （2）解：的长不会发生改变； 设点表示的有理数为（且）， 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ，； 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ，； 综上所述，点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长不会发生改变，长是定值． 2-1 变式变式 如图，M是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，N是线段的中点，，设点M运动时间为t秒． (1)当时，①______，②此时线段的长度______； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若中点为C，则的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①2，②； (2)当时，，当时，； (3)的长度不变，为 【详解】（1）解；①由题意得，； ②∵，，∴， ∵N是线段的中点，∴； （2）解：当时，，当时，； （3）解：∵点C和点N分别是的中点，∴， ∴，∴的长度不变，为． 2-2 变式变式 如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________； (2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 【答案】(1)4；3 (2)或 (3)，定值为5 【详解】（1）解：∵，点以的速度运动， ∴时，，，∵是线段的中点，∴故答案为： （2）解：∵是线段的中点，∴，∵，∴， ∴，，当点从时， 当点从时，∵点沿的路线需要故 综上所述，当为或时，． （3）解：如图，由题意得：点的速度是，点速度为 ∵，∴点在点右侧，由题意可知 ∴∵是线段的中点∴即 ∵线段的长度始终是一个定值∴ 故解得，定值为5 2-3 变式变式 A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度，所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，，所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点，∴，， ∴ ，∵，∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 题型 线段上含动点求时间问题 3 一、核心解题方法（分两点） 1. 距离等式法：设运动时间为t，用“速度×时间”表示动点移动距离，结合线段和差或中点关系，列关于t的一元一次方程求解。 2. 坐标方程法：建立数轴，用含t的式子表示动点坐标，根据“两点距离=坐标差绝对值”列方程，解方程得t的值。 二、关键解题技巧（分两点） 1. 明确运动细节：标注动点速度、方向及线段初始长度，避免因方向混淆导致列错方程。 2. 分类讨论避漏解：根据动点相遇、在线段上/延长线等不同位置情况分类，每类列方程求解，验证结果合理性。 3 例 如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，8 (2)①或或；②存在， 【详解】（1）解：，， 故答案是：16，8； （2）①当M、N第一次相遇时，， 当M到达E点时，， 如图1， 当时，，∴， 如图2， 当时，，∴， 如图3， 当时，，∴， 综上所述：或或； ②如图4， 当时，由得，，∴， 如图5， 当时，，∴，此时不构成四边形，舍去综上所述：． 3-1 变式变式 如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，，∴，，∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，，∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，；当时，；当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得．当时，，（舍）． ∴或． 3-2 变式变式 如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：根据题意得，解得，，∴时，P、Q两点相遇； （2）解：根据题意得，，解得，，∴时，P、Q两点相遇； （3）解：根据题意得，，解得，或 ∴或时，P、Q两点之间距离为2时． 题型 线段上含动点的新定义型问题 4 一、核心解题方法（分两点） 1.定义转化法：精读新定义，将“自定义概念”（如“中点衍生概念”“距离新规则”）转化为线段和差、坐标关系等已知数学语言，建立解题桥梁。 2.方程建模法：设运动时间为t，用含t的式子表示动点位置，结合转化后的定义条件，列一元一次方程或绝对值方程求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.举例验证定义：取特殊值（如t=0）代入新定义，快速理解其本质，避免误解题意。 2.分类讨论位置：根据动点运动方向、与定线段的位置关系分类，结合新定义列方程，确保覆盖所有可能情况。 4 例 已知线段，点在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)点是线段上的动点，线段的中点为，设． ①请用含有的式子表示线段，的长； ②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值． 【答案】(1)， (2)①当点在线段上时，，；当点在线段上时，，；②的值为或 【详解】（1）解：解：∵线段，点C在线段AB上，且， ∴，； （2）解：①当点在线段上时，∵点是的中点，∴， ，； 当点在线段上时，∵点是的中点，∴， ，； ②当点在线段上时，则，∴，解得：， 当点在线段上时，则，∴，解得：，综上：的值为或． 4-1 变式变式 定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【详解】（1）假设点P是线段的中点，∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”，故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则，若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则；故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，，∴， 若点为的“倍距点”，则或，即，解得或10； 或，解得（负舍）；综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，∴， ∵点为的“倍距点”，∴则或，即或， 解得或8或10或13． 4-2 变式变式 如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 【答案】(1)是；是 (2)或或 (3)或或，理由见解析 【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”；故答案为：是；是． （2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”， ∴，或，或． 故答案为：或或． （3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间， ∵点P为的巧点，∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间， 当时，P为的巧点，∴ ，解得：； 当时，P为的巧点，∴，解得：； 当时，P为的巧点，∴ ，解得：； 所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”． 4-3 变式变式 （1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【答案】（1）是；（2）；（3）或 【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点，∴， ∴点为线段的“妙点”故答案为：是 （2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7， ∴，又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为， ∵，∴，解得：，点对应的数为，故答案为： （3），∴，∴ 设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则，依题意：或， 即或，解得：或， 又当点，相遇时，，得，即， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 当时，，故点在数轴上对应的数为，故答案为：或 课 后 练 习 1 练 如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【答案】C 【详解】解：线段，O是线段上的中点，， 设运动时间为，则，， ， 点P沿以的速度运动，分两种情况讨论： ①当点P沿运动时，点P到达点需要时间， 当时，，，， ，或，解得：或， ②当点P沿运动时，此时，， ，， ，，或，解得：或， 综上所述，当时，运动时间为、、或．故选：C． 2 练 定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，设点的运动时间为， ∴，，当时，相遇，即，解得： 当时，， 当时，，∴， 由新定义可知或或， 当时，则，解得或（舍去） 当时，则，解得； 当时，则，解得或， ∴的最大值为，最小值为，∴，故选：D． 3 练 如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点，， ∴， ，∴的值不变，故②错误； ，，解得：，故③正确； 4 练 已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 【答案】或 【详解】解：∵t秒后点P的路程是，点Q的路程是，， ∴在P与Q相遇前，； 在P与Q相遇后，． 故答案为：或． 5 练 已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 【答案】3或6 【详解】解：，，． 设点的运动时间为 ， 当时，，，根据题意得：，解得：； 当时，，，根据题意得：，解得：． 综上所述，当点出发或时，，两点重合．故答案为：3或6． 6 练 如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 【答案】②③④ 【详解】解：运动后，，∴， ∵为的中点， ∴，∴，故①错误； 设运动，则，， ∵为的中点，为的中点，∴，， ∴， ∴的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ∵，， ∴， ∴的值不变，故③正确； ∵，， 当时，则， 解得，故④正确；综上，说法正确的是②③④， 故答案为：②③④． 7 练 如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，为的中点，为的中点． (1)点出发_____秒后，． (2)在点的运动过程中，有如下两个结论：①的长度不变；②的长度不变．请选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)7 (2)选①的长度不变，；选②的长度不变， 【详解】（1）解：设出发x秒后，，，， 由题意得，，解得：；故答案为：7； （2）解：选①，的长度不变． 点为线段的中点，点为线段的中点，，， 或选②，的长度不变． 点为线段的中点， ． 8 练 如图，已知数轴上点表示的数为8，点表示的数为．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)线段的长为 单位长度，点P运动t秒后表示的数为 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (3)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【答案】(1)， (2)或 (3)不变，线段的长度为 【详解】（1）解：，点运动的路程为个单位长度， 点运动秒后表示的数为：，故答案为：，； （2）由题意得，点运动秒后表示的数为， 点与点相距4个单位， ，解得：或， 点运动8秒或12秒时与点相距4个单位长度； （3）线段的长度不发生变化，理由如下， 为的中点，点表示的数为8，点表示的数为， 点表示的数为， 为的中点，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为，， 线段的长度为10． 9 练 如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)当点P、Q相遇时，t的值为或8； (4)当时，t的值为1或或． 【详解】（1）解：∵点C为线段的中点，．∴ 点P从点B运动到点C时间为秒，从点C运动到点A时间为秒，从点A运动到点C时间为秒，∴点P与点C第二次重合时时间为秒， 点Q从点C运动到点A时间为秒，则点Q运动秒时， ∵，∴； （2）证明：当时，点P在线段上，点Q在线段上， 此时，，∴ （3）解：当点P、Q相遇时， ①当时，点P在上，点Q在上，此时点P、Q不能相遇； ②当时，点P、Q都在线段上，当点P、Q相遇时，，方程无解； ③当时，点P从点C向点A运动，点Q从点A向点C运动， 此时，，当点P、Q相遇时，解得； ④当时，点P、Q均从点A向点B运动，此时，， 当点P、Q相遇时，，解得；综上，当点P、Q相遇时，t的值为或8； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍）． 当时，， ∴，解得； 当时，，， ∴，解得； 当时，，，∴，方程无解； 综上，当时，t的值为1或或． 10 练 已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)2.5秒 (3)值不变；是定值10；理由见解析 【详解】（1）解：如图，∵，∴， ∵C点对应的数为20，∴点A对应的数为：，点B对应的数为：， ∴，； （2）解：如图2，根据（1）可得， 设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足， ∵，， ∴当时，， 解得：， ∴在三点出发后2.5秒时恰好满足； （3）解：的值不变．理由如下： 如图3，设运动的时间为t，则，， 由（1）可得，点C表示20，∴，，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点，∴，， ∴， ∴．即的值不发生变化，是定值10． 11 练 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)_____， _______， _____． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为______． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒 ① t为何值，点Q追上点P？ ②是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；4； (2)3 (3)①3；②存在t值为或，使得． 【详解】（1）解：∵，∴，解得：， ∵b是最大的负整数，∴，故答案为：；；4； （2）解：由题意可得，中点对应的数为， ∵点B表示的数为，∴点B与表示3的点重合；故答案为：3； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点Q追上点P时，，解得，∴t为3时，点Q追上点P； ②解：存在， 根据题意得：t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为， 当点B，Q重合时，，此时，当点Q在点B的右侧时，此时， ∵，∴，解得：； 当点Q在点B的左侧时，此时，∵，∴， 解得：；存在t值为或，使得． 12 练 如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】 （1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 （2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】 （3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）或或 【详解】解：（1）设点为线段的中点，∴， ∵点在线段上，∴中点是线段的“奇点”，故答案为：是； （2）设点在数轴上表示的数为， ∵点和点在数轴上表示的数分别是和，∴，， ∵点是线段的“奇点”，∴点在线段上，且或或， 当时，得：，解得：； 当时，得：，解得：； 当时，得：，解得：； 综上所述，点在数轴上表示的数为或或； （3）秒后，，，， ∵点是线段的“奇点”，∴或或， 当时，得：，解得：； 当时，得：，解得：； 当时，得：，解得：； ∴当为或或时，点是线段的“奇点”． 13 练 如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 【答案】(1)； (2)或； (3)或4或或． 【详解】（1）点M是线段上靠近点A的“友好点” 根据“友好点”的定义可得，，，， 解得，． （2）由题意可知，点N是线段的中点，不是线段的中点， 当点是靠近点的三等分点时，有，，， ，，， 当点是靠近点的三等分点时，有， ，，， ，． （3）由题意可知，A点不可能是“三等分点”，故P或Q点是“三等分点”． ，t秒后，，， 当P点是“三等分点”时，， 当时，有，解得 当时，有，解得， 当Q点是“三等分点”时，， 当时，有，解得 当时，有，解得 综上所述：或4或或． 学科网（北京）股份有限公司 $