福建省福安市第一中学冠杭校区2026-2027学年第一学期阶段性质量监测九年级数学科试卷

福安一中冠杭校区 2026—2027 学年第一学期阶段性质量监测 九年级 数学科试卷 （满分：150 分；考试时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项正确） 1．一元二次方程 2x2＋3x−1＝0 的二次项系数是（　　) A．−1　　　　B．0　　　　C．2　　　　D．3 2．已知 2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．如图，要使平行四边形 ABCD 成为矩形，需要添加的条件是（　　) A．∠ABD＝∠CBD　　　B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD　　　　　　D．AB＝BC 4．下列图形一定是相似图形的是（　　) A．两个矩形　　　　B．两个正三角形 C．两个直角三角形　D．两个等腰三角形 5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　) A．对角线互相垂直　　B．对角线互相平分 C．对角线相等　　　　D．对角相等 6．如图，点 P 在 △ABC 的边 AC 上，要判断 △ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　) A．∠ABP＝∠C　　　　　　B．∠APB＝∠ABC 　　　　D． 7．已知线段 a＝2cm，b＝3cm，c＝6cm，则线段 a、b、c 的第四比例项 d 的长度为（　　) A．1cm　　　　B．5cm　　　　C．9cm　　　　D．12cm 8．根据下列表格中 x 与 ax2＋bx＋c 的对应值，判断一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根，下列说法错误的是（　　) x -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ax²+bx+c 0.43 0.09 -0.2 -0.33 -0.43 -0.44 -0.37 -0.23 0 0.31 A．方程有一根为 1　　　　　　　B．方程有一根的取值范围是 −0.4＜x＜−0.2 C．方程有一根为 −0.33　　　　　D．方程有两个不相等的实数根 9．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法。如图所示，以线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AD 的中点 E，连接 BE，延长 DA 至 F，使得 EF＝BE，以 AF 为边作正方形 AFGH，则点 H 即是线段 AB 的黄金分割点。若记正方形 AFGH 的面积为 S1，矩形 BCIH 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的比值是（　　) A．　　B．　　C．　　D．1 10．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝9，BC＝8，E 为 BC 中点，G 为 AB 上动点且 GF⊥CD，连接 AF、GE，则 AF＋GE 的最小值为（　　) 　　B．12　　　C．5＋3　　　D．15 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，两条公路 AC、BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AB 的长为 4km，则 M、C 两点间的距离为________km。 12．如图，AD∥BE∥CF，AB＝4，BC＝8，DE＝3，则 EF 的值为________。 13．若 x＝1 是关于 x 的方程 x2−mx＋3＝0 的解，则 m 的值为________。 14．【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法。以解方程 x2＋2x−35＝0 为例：将原方程整理可得 x(x＋2)＝35，可视为一个矩形的面积为 35，构造如图所示的图形。此时大正方形的面积为 (x＋x＋2)2，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和。由此可得： (x＋x＋2)2＝4x(x＋2)＋22＝4×35＋4＝144，得正整数解为 x＝5。 【应用体验】小明用此方法解关于 x 的方程 x2＋5x−n＝0。已知在他构造的图形中，大正方形的面积为 81，则该方程的正整数解为________。 15．如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，已知 ∠AOD＝120°，AB＝5cm，则矩形对角线 BD 的长为________cm。 16．如图，正方形 ABCD 中，点 E、F、H 分别是 AB、BC、CD 的中点，CE、DF 交于 G，连接 AG、HG。下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝。其中正确的有________（填序号）。 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分。请在答题卡的相应位置作答） 17．解方程：（本题满分 8 分） (1) 2x2−2x−1＝0；　　　　　　　　　　(2) (x−2)2＝3x−6。 18．（本题满分 6 分） 如图，已知四边形 ABCD 是菱形，过点 A 作 AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F。求证：BE＝DF。 19．（本题满分 6 分） 如图，在 △ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，∠EDB＋∠C＝180°。求证：△ABC∽△AED。 20．（本题满分 10 分） 如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃 ABCD，墙可利用的最大长度为 15 米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为 24 米。 (1) 若围成的花圃面积为 40 平方米时，求 BC 的长； (2) 围成的花圃面积能否为 75 平方米，如果能，请求出 BC 的长；如果不能，请说明理由。 21．（本题满分 10 分） 【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论。 已知实数 a，b，m，n 满足 a−b＝mn。 (1) 求证：a2−b2−2mnb 为非负数； (2) 若 m＜n，且 n＝m＋2，m 为正整数，c＝，求证：c 一定是偶数。 22．（本题满分 10 分） 一纸侨批，半生守望。作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣。截至 6 月初，《给阿嬷的情书》票房已超 16 亿元。 (1) 已知 5 月 12 日至 5 月 14 日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为 2100 万，第三天日票房为 3024 万，那么这三天的日票房平均增长率是多少？ (2) 随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的桥点。某旅行社推出“A、B 两种文创伴手礼套餐”，若购买 3 份 A 套餐和 2 份 B 套餐共需 320 元，购买 2 份 A 套餐和 3 份 B 套餐共需 300 元，求 A、B 两种套餐每份的价格分别是什么？ 23．（本题满分 10 分） 下面是某数学兴趣小组用尺规作图“作一条线段的三等分点”的过程，请认真阅读并完成相应的任务。 如图 1：①分别以点 A，B 为圆心，大于 的长为半径在 AB 两侧画弧，四段弧分别交于点 C，点 D； ②连接 AC，BC，AD，作射线 BD； ③以 D 为圆心，BD 的长为半径画弧，交射线 BD 于点 E； ④连接 CE，交 AB 于点 F，点 F 即为 AB 的三等分点（即 AF＝）。 任务： (1) 求证：四边形 ADBC 是菱形； (2) 请你证明点 F 为 AB 的三等分点； (3) 尺规作图：如图 2，请利用尺规再设计一种方法，作线段 AB 的三等分点。（保留作图痕迹，不要求写作法） 24．（本题满分 13 分） 已知关于 x 的方程 x2−(m＋2)x＋4m＝0 有两个实数根 x1、x2，其中 x1＜x2。 (1) 若 m＝−1，求 x12＋x22 的值； (2) 一次函数 y＝3x＋1 的图像上有两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，若 AB＝，求 m 的值； (3) 边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为 x1、x2，求该直角三角形的面积。 25．（本题满分 13 分） 在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4。如图 1，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转某个角度得到 △ADE，其中 D 是点 B 的对应点，E 是点 C 的对应点，连接 BD、CE。 (1) 求证：△ABD∽△ACE； (2) 如图 2，当点 D 在线段 CE 上时，求线段 BD 的长； (3) 连接 CD、BE，在旋转过程中，CD2＋BE2 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 参考答案与详细解析 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．C　　二次项系数是平方项前的系数，即 2。一次项系数为 3，常数项为 −1，故选 C。 2．C　　由 2x＝3y 得 x:y＝3:2。A 项 即 3x＝2y，错；B 项 ，错；C 项 即 2x＝3y，正确；D 项 ，错。故选 C。 3．B　　有一个角是直角的平行四边形是矩形，∠ABC＝90° 即可判定，故选 B。C 项 AC⊥BD 与 D 项 AB＝BC 是判定菱形的条件；A 项 BD 平分∠ABC 是菱形的性质，均不符合。 4．B　　所有正三角形的角都是 60°，形状完全相同，一定相似；矩形、直角三角形、等腰三角形的形状都不唯一，不一定相似。故选 B。 5．A　　菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等且互相平分，所以“对角线互相垂直”是菱形具有而矩形不一定具有的性质。B、D 两者都有，C 是矩形具有而菱形不一定具有的。故选 A。 6．D　　 7．C　　由 a:b＝c:d 得 d＝bc÷a＝3×6÷2＝9（cm），故选 C。 8．C　　x＝1 时值为 0，故 1 是方程的根，A 正确；函数值在 x＝−0.4 时为 0.09、x＝−0.2 时为 −0.2，由连续变号知另一根在 −0.4 与 −0.2 之间，B 正确；两根 1 与 −0.3 左右不等，故方程有两个不相等的实数根，D 正确；−0.33 是 x＝0 时的函数值，不是根，C 错误。故选 C。 9．D　　设 AB＝2a，则 ，，。，，，，所以 。故选 D。 10．D　　以 AB 所在直线为 y 轴、B 为原点建立坐标系，则 A(0,9)、C(8,0)、D(8,9)、E(4,0)。设 G(0,t)，则 F(8,t)。。当 t＝3 时取最小值 10＋5＝15。故选 D。 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．2　　解析：∠ACB＝90°，M 为斜边 AB 的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 MC＝AB÷2＝4÷2＝2（km）。 12．6　　解析：由 AD∥BE∥CF 得 ，即 ，解得 EF＝6。 13．4　　解析：把 x＝1 代入方程得 1−m＋3＝0，解得 m＝4。 14．2　　解析：仿照图解法：x(x＋5)＝n，构造大正方形边长为 2x＋5，其面积 ，得 n＝14，即 ，，正整数解为 x＝2。 15．10　　解析：矩形对角线相等且互相平分，∠AOD＝120°，则 ∠AOB＝60°，又 OA＝OB，故 △AOB 为等边三角形，OA＝AB＝5，BD＝2OA＝10（cm）。 16．①②③④　　解析：设正方形边长为 2。①由 △CEB≌△DFC 得 ∠ECD＝∠CDF，可证 CE⊥DF，正确；②建立坐标系求得 G(1.2,0.4)，，正确；③由 tan∠CHG＝0.6、tan∠DAG＝0.6 得两角相等，正确；④，正确。四个结论都正确。 三、解答题（共 86 分） 17．（8 分）解：(1) 配方得 (x−)2＝，所以 x−＝±，即 x1＝，x2＝。……4 分 (2) 原方程化为 ，因式分解得 ，所以 ，。……4 分 18．（6 分）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D。∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°。在 △ABE 和 △ADF 中，∠AEB＝∠AFD，∠B＝∠D，AB＝AD，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴BE＝DF。……6 分 19．（6 分）证明：∵∠EDB＋∠ADE＝180°（平角），又 ∠EDB＋∠C＝180°，∴∠ADE＝∠C。又 ∠A＝∠A（公共角），∴△ABC∽△AED（两角分别相等的两个三角形相似）。……6 分 20．（10 分）解：设 BC 的长为 x 米，则 AB＝CD＝(24−x)÷2 米。 (1) 由题意得 x(24−x)÷2＝40，整理得 ，解得 x＝4 或 x＝20。∵墙可利用的最大长度为 15 米，x＝20＞15 舍去，∴BC＝4 米。……5 分 (2) 不能。理由：若 x(24−x)÷2＝75，整理得 ，判别式 Δ＝，方程无实数根，∴围成的花圃面积不能为 75 平方米。……5 分 21．（10 分）(1) 证明：，∴ 为非负数。……5 分 (2) 证明：；。∴。∵m 为正整数，2m＋2 为偶数，∴c 一定是偶数。……5 分 22．（10 分）解：(1) 设这三天的日票房平均增长率为 x。由题意得 ，即 ，∴1＋x＝1.2（负值舍去），x＝0.2＝20%。答：这三天的日票房平均增长率为 20%。……5 分 (2) 设 A 套餐每份 a 元，B 套餐每份 b 元。由题意得 3a＋2b＝320，2a＋3b＝300。两式相加得 5a＋5b＝620，即 a＋b＝124；两式相减得 a−b＝20。解得 a＝72，b＝52。答：A 套餐每份 72 元，B 套餐每份 52 元。……5 分 23．（10 分）(1) 证明：由作图可知 AC＝BC＝AD＝BD，∴四边形 ADBC 是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）。……3 分 (2) 证明：∵四边形 ADBC 是菱形，∴AC∥BD。∵点 E 在射线 BD 上，∴AC∥BE。∴△ACF∽△BEF，∴。∵AC＝BD＝DE，∴BE＝BD＋DE＝2AC，∴，即 BF＝2AF，∴AF＝，∴点 F 为 AB 的三等分点。……4 分 (3) 示例：作 AB 的垂直平分线，再分别以 A、B 为圆心、AB 长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 PB……（答案不唯一，如：先作线段 AB 的垂直平分线取中点，再对半段重复作垂直平分线；或利用平行线等分线段定理，过三等分点作平行线。保留作图痕迹即可给分）。……3 分 24．（13 分）解：(1) 当 m＝−1 时，方程为 ，∴，，∴。……4 分 (2) A、B 在一次函数 y＝3x＋1 的图像上，∴，。，∴。由根与系数的关系：，即 ，解得 m＝6±。经检验 Δ＞0，均符合题意，∴m＝6±。……5 分 (3) 由根与系数的关系得 ，，∴两直角边的平方和 ，即斜边长为 m−2（m＞2）。∵三角形边长均为整数，∴x1、x2 为整数，判别式 Δ＝ 必为完全平方数。设 Δ＝，则 ，即 (m−6−k)(m−6＋k)＝32。由奇偶性得 (2，16) 或 (4，8)，解得 m＝15 或 m＝12。m＝15 时两直角边为 5、12，斜边 13（），面积＝＝30；m＝12 时两直角边为 6、8，斜边 10（），面积＝＝24。∴该直角三角形的面积为 24 或 30。……4 分 25．（13 分）(1) 证明：由旋转性质得 AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE（旋转角相等）。∴，且夹角 ∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE（两边成比例且夹角相等）。……4 分 (2) 解：由 (1) 知 △ABD∽△ACE，∴，即 。设旋转角为 ∠BAD＝∠CAE＝α。以 A 为原点、AB 所在直线为 x 轴建立坐标系，则 B(3,0)、C(0,4)、D(3cosα,3sinα)、E(−4sinα,4cosα)。当点 D 在线段 CE 上时，可解得 ，。。∴BD＝。……5 分 (3) 解： 为定值 50。理由：设旋转角为 α，则 D(3cosα,3sinα)、E(−4sinα,4cosα)。；。∴，为定值。……4 分 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $