福建省龙岩市第二中学2026-2027学年第一学期九年级第一次学情自测数学试卷

龙岩二中2026—2027学年第一学期第一次质量监测 九年级数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，请将学校、班级、姓名、座号填写清楚； 2．请用黑色字迹的签字笔或钢笔在试卷指定位置作答，作图题可先用铅笔画图，再用黑色签字笔描黑； 3．本试卷共三大题、25小题，满分150分；考试结束后，将本试卷交回。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．已知是方程 的一个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．将一元二次方程配方后可化为（ ） A． B． C． D． 4．抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ） A． B． C． D． 7．随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在年投入研发资金为万元，到年累计共投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 8．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 9．已知二次函数的几组对应值如下表： x y 给出下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③当时，随的增大而增大；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，当自变量时，；当自变量时，；则下列，关系正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．一元二次方程的解为                        ． 12．已知，是方程的两个实数根，则的值是                        ． 13．某种药原来每瓶售价为元，经过两次降价，现在每瓶售价为元，若设平均每次降低的百分率为，根据题意列出方程为                                                            ． 14．定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“友好方程”。则“友好方程”必有一个根为            ；若关于的方程是“友好方程”，则            。 15．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是            ． 16．如图一段抛物线：，记为，它与轴交于点和；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第段抛物线上，则的值为            ． 三、解答题（本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解下列方程： （1）；（2）． 18．（8分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根的和为，求的值，并求出该方程的根． 19．（8分）已知函数（其中）． （1）当为何值时，是的二次函数？ （2）当为何值时，是的一次函数？ 20．（8分）已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． （1）求，的值； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 21．（8分）如图，要设计一幅长厘米，宽厘米的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应设计横、竖彩条的宽度分别为多少厘米？ 22．（10分）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 23．（10分）已知二次函数，完成下列各题： （1）该抛物线的顶点坐标是                ，对称轴是直线            ； （2）请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系，画出该抛物线的简图； （3）根据图象回答：当的取值范围为                        时，． 24．（12分）同学们，你们还记得“上*下*，左*右*”这个口诀吗？这个口诀描述的是函数图象平移时解析式的变化规律，此口诀适用于任意函数． （1）把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线                             ． （2）请利用所学完成以下探究： （I）请借助下表，在图1所给的平面直角坐标系中画出函数的图象． … … … … （II）请在图2所给的平面直角坐标系中画出函数的图象（无需列表），并结合图象解答下列问题 ①若恒成立，则的取值范围是                              ； ②若，则的取值范围是                               ③我们知道，对于二次函数：当时，随的增大而减小，这时我们说：“当时，函数单调递减”； 当时，随的增大而增大，这时我们说：“当时，函数单调递增”． 现给出“当时，函数单调递增”的证明： 证明：设点、在函数的图象上，且，则： ， ，， ， ， 即当时，， 当时，函数单调递增． 请证明：函数，当时，单调递减． 25．(14分)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．点为线段上的一个动点(不与，重合)，过点作轴的垂线，垂足为，与抛物线交于点． （1）求直线的解析式； （2）求线段长度的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $