第二单元 一元二次函数、方程和不等式 基础训练-2027届高三数学一轮复习

第二单元一元二次函数、方程和不等式基础训练 一、单选题 1. 下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2.下列函数中，最小值为4的是（ ）. A. B. C. D. 3.若函数在处取得最小值,则（ ）. A. B. C. 3 D. 4 4.设,且,则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 6 5.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 6.若关于的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 7．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 8．若关于的一元二次方程的一个根小于，另一个根大于1，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 2、 多选题 9.已知实数，，满足，且，则（ ）. A. B. C. D. 10．已知，，且，则（ ）. A. B. C. D. 11.已知关于的不等式的解集为或，则（ ）. A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 三、填空题 12.已知，且，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 13.若正数，满足，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ ，的最小值为_ _ _ _ . 14.若对于，恒成立，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 3、 解答题 15． （1）若的三边长分别为，，，且满足，求的取值范围； （2） 若二次函数的图象关于轴对称，且，，求的取值范围． 16．已知，，，求： （1）的最大值； （2）的最小值． 17.解关于的不等式. 18．已知函数． （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 19．已知函数,. （1）若在上恒成立,求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元一元二次函数、方程和不等式基础训练 一、单选题 1. 下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】对于，当 时，，所以 错误； 对于，若，则,所以，所以 正确； 对于，若，则,所以，所以 错误； 对于，若，则,所以，所以 错误. 故选. 2.下列函数中，最小值为4的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于，，当且仅当 时取等号，所以其最小值为3，不符合题意；对于，因为，，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，不符合题意；对于，因为函数的定义域为，而，，当且仅当，即 时取等号，所以其最小值为4，符合题意；对于，，函数的定义域为，而 且，如当 时，，不符合题意.故选. 3.若函数在处取得最小值,则（ ）. A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】当 时,,,当且仅当,即 时取等号,故当 取得最小值时,,即.故选. 4.设,且,则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】由题意得,,所以,所以,当且仅当,且,即 时,等号成立.故选. 5.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当，即 时，不等式为，对一切 恒成立； 当 时，解得. 综上所述，实数 的取值范围是.故选D. 6.若关于的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】（法一：分离参数法）不等式 在 上有实数解，等价于不等式 在 上有实数解. 因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且，， 所以，即实数 的取值范围是.故选A. （法二：最值转化法）若不等式 在 上无解，则 解得，因此当不等式 在 上有解时，，即实数 的取值范围是. 故选A. 7．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，得.因为不等式 的解集为， 所以 解得， 所以，即，解得， 所以不等式 的解集为．故选. 8．若关于的一元二次方程的一个根小于，另一个根大于1，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设，由题意知 即 解得 所以.故选． 2、 多选题 9.已知实数，，满足，且，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】对于，由，且 可知，且，均不等于0， 当 时，不等式 显然成立，当 时，，均为正数， 由于，故 正确； 对于，因为，所以，所以 成立，故 正确； 对于，当，，时，满足 且，但 不成立，故 错误； 对于，因为，，又，所以，故 正确.故选． 10．已知，，且，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】，，且. 对于，， ，当且仅当，即，时,等号成立，错误； 对于， ，当且仅当，即，时，等号成立，正确； 对于，,当且仅当,即 时，等号成立，错误； 对于，，， 当且仅当，即，时,等号成立，正确.故选． 11.已知关于的不等式的解集为或，则（ ）. A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 【答案】ABD 【解析】由 的解集为，得， 故，，，故A正确； ，故D正确； ，即，解得，故B正确； ，即，解得，故C错误. 故选ABD. 三、填空题 12.已知，且，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设， 则 解得 即. ,且，,且， ，即 的取值范围是. 13.若正数，满足，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ ，的最小值为_ _ _ _ . 【答案】 ；5 【解析】由已知可得，则，当且仅当，即 时，等号成立，所以，即，即 的最小值为. 由，得，当且仅当,即,时，等号成立，所以 的最小值为5. 14.若对于，恒成立，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】：（法一：单调性法）因为对于，恒成立， 所以令，， 当 时，在 上单调递增，所以，解得，则； 当 时，在 上单调递减，所以，解得，所以. 综上所述，的取值范围是. （法二：分离参数法）因为，所以. 又因为函数 在 上的最小值为，所以只需. 因为，所以 的取值范围是. 3、 解答题 15． （1）若的三边长分别为，，，且满足，求的取值范围； （2） 若二次函数的图象关于轴对称，且，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由已知及三角形的三边关系得 所以 则 两式相加得，所以． （2）设，则，，． 设，则， 即，则有 解得 所以. 因为，，所以，，所以， 即． 16．已知，，，求： （1）的最大值； （2）的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，，所以根据基本不等式，得（当且仅当 时取等号）. 令，则，解得，又， 所以，即，所以，故 的最大值为18. （2）由 可知，，可得， 则， 当且仅当，,即,时取等号，所以 的最小值为11． 16． 解关于的不等式. 【答案】见解析 【解析】若，则原不等式等价于，解得. 若，则原不等式等价于，解得 或. 若，则原不等式等价于. ①当 时，，无解； ②当 时，，由，得； ③当 时，，由，得. 综上所述，当 时，原不等式的解集为 或； 当 时，原不等式的解集为； 当 时，原不等式的解集为； 当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为. 18．已知函数． （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1），则，因为 在 上恒成立，所以，解得.故实数 的取值范围是，． （2），易知 在 上的最大值为，故 在 上满足，故，解得.故实数 的取值范围是． 19．已知函数,. （1）若在上恒成立,求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）见解析。 【解析】（1）依题意,在 上恒成立. ①当 时,,恒成立; ②当 时,要使原不等式恒成立, 则 解得. 综上,实数 的取值范围是. （2）不等式, 等价于, 即. 当 时,解得 或. 当 时,不等式整理为,解得. 当 时,方程 的两根分别为,, ①当,即 时,解得; ②当,即 时,原不等式的解集为 ; ③当,即 时,解得. 综上所述,当 时,原不等式的解集为; 当 时,原不等式的解集为 ; 当 时,原不等式的解集为; 当 时,原不等式的解集为; 当 时,原不等式的解集为 或. 学科网（北京）股份有限公司 $