第02章 一元二次函数、方程和不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习（安徽适用）

高考数学知识点总结（2027 版） 高考数学知识点总结 （2027 版） ───────────── 第 02 章　一元二次函数、方程和不等式 适用对象：2027 届高考考生 · 一轮复习 2026 年 9 月 目　录 第 02 章　一元二次函数、方程和不等式 4 （一）等式与不等式的性质 4 1. 等式的基本性质 4 2. 不等式的基本性质 4 3. 比较实数大小的基本方法 5 4. 常用不等式结论 5 （二）基本不等式 5 1. 基本不等式（均值不等式） 5 2. 基本不等式的变形 6 3. 使用条件：“一正、二定、三相等” 6 4. 常用变形技巧 6 （三）一元二次函数 6 1. 一元二次函数的三种解析式 6 2. 图象与性质 7 3. 二次函数在区间上的最值 7 （四）一元二次方程 7 1. 根的判别式 7 2. 根与系数的关系（韦达定理） 8 3. 一元二次方程根的分布 8 （五）一元二次不等式 8 1. 一元二次不等式的解法（图象法） 8 2. 三个二次之间的关系 9 3. 含参一元二次不等式 9 4. 分式不等式与高次不等式 9 （六）典型题型与方法 9 题型一　比较大小与不等式性质 9 题型二　基本不等式求最值 10 题型三　一元二次函数在给定区间上的最值 10 题型四　一元二次方程根的分布 10 题型五　含参一元二次不等式 10 题型六　恒成立与存在性问题 10 （七）易错警示 10 （八）本章小结与口诀 11 （九）巩固练习 11 A 组　选择题 11 B 组　填空题 12 C 组　解答题 12 （十）综合提升训练 12 （十一）本章知识清单（速记） 12 （十二）章末综合检测 13 （十三）补充练习 14 第 02 章　一元二次函数、方程和不等式 （一）等式与不等式的性质 1. 等式的基本性质 性质 1（对称性）：。 性质 2（传递性）：。 性质 3（可加性）：；即等式两边同加（减）同一个数（式），等式仍成立。 性质 4（可乘性）：；即等式两边同乘（除以一个不为 的）同一个数（式），等式仍成立。 补充：等式的性质是”解方程”的依据；恒等式与方程的区别在于：恒等式对使各式有意义的一切取值都成立，方程只对某些（或某个）值成立。 例 1　若 ，则下列各式一定成立的是（　　） ① ；② ；③ ；④ 。 2. 不等式的基本性质 设 ，则： 1. 对称性：； 1. 传递性：； 1. 可加性：（移项的依据）； 1. 同向可加性：； 1. 可乘性：；（变号）； 1. 同向同正可乘性：； 1. 可乘方法则：（，）； 1. 可开方法则：（，）； 1. 倒数法则：。 特别提醒： · 性质 5 是”乘负数变号”——这是不等式与等式最大的不同，也是最常见的失分点； · 由 不能推出 （除非已知 ）； · 由 不能推出 （除非已知 ，即 同号）。 例 2　已知 ，判断下列结论是否正确： （1）；　（2）；　（3）；　（4）。 3. 比较实数大小的基本方法 作差法：；；。 步骤：作差 变形（因式分解、配方、通分） 判断符号 下结论。 作商法：若 ，则 ；；。 例 3　比较 与 的大小。 4. 常用不等式结论 · ；（，当且仅当 取等）； · （）； · （，当且仅当 取等）； · 若 ，则 ；若 ，则 。 （二）基本不等式 1. 基本不等式（均值不等式） 若 ，则 即 ，当且仅当 时取等号。其中 叫算术平均数， 叫几何平均数。 推论： 时，，当且仅当 取等。 2. 基本不等式的变形 · （和定积最大）； · ； · （，调和平均数）； · 中，若 为定值 ，则 （积定和最小）； · 若 为定值 ，则 （和定积最大）。 3. 使用条件：“一正、二定、三相等” · 一正：各项必须为正数； · 二定：和或积为定值； · 三相等：等号能取到（验证 是否成立）。 三点缺一不可，尤其是”三相等”——若等号取不到，则不能用基本不等式直接求最值，需改用函数的单调性。 4. 常用变形技巧 · 配凑法：如 （）； · “1”的代换：若 ，求 的最小值，可乘 展开； · 分离常数：； · 添项法：。 例 4　已知 ，求 的最小值。 例 5　已知 ，且 ，求 的最小值。 （三）一元二次函数 1. 一元二次函数的三种解析式 · 一般式：（）； · 顶点式：，顶点为 ，对称轴 ； · 交点式：，其中 为图象与 轴交点横坐标。 2. 图象与性质 设 （），则 项目 开口方向 向上 向下 顶点 同左 对称轴 单调性 在 上递减，在 上递增 反之 最值 最小值 最大值 配方法：。 3. 二次函数在区间上的最值 设 （），对称轴 ，区间 ： · 若 ，则在 上递增，最小值 ，最大值 ； · 若 ，则在 上递减，最小值 ，最大值 ； · 若 ，则最小值 ，最大值取 与 中较大者。 口诀：“轴在区间外单调，轴在区间内顶点取最小；最大值比较两端点。” 例 6　求 在 上的最小值。 （四）一元二次方程 1. 根的判别式 对方程 （），记 ： · 有两个不相等的实根； · 有两个相等的实根（重根）； · 无实根。 2. 根与系数的关系（韦达定理） 若 是 （）的两根，则 常用变形： · ； · ； · ； · 。 3. 一元二次方程根的分布 设 （），研究根在区间 内的情况，需同时考虑：判别式、对称轴位置、区间端点的函数值符号、开口方向。 以两根均在 内为例： 口诀：“一看开口二看轴，判别式外看端点。” 例 7　若方程 的两根均大于 ，求 的取值范围。 （五）一元二次不等式 1. 一元二次不等式的解法（图象法） 解 （）的步骤： 1. 计算 ； 1. 求对应方程 的根； 1. 画出抛物线草图，读出使函数值为正的 范围。 结论（）： · 的解集：（，）； · 的解集：。 口诀：“大于取两边，小于取中间。”（前提 ） 2. 三个二次之间的关系 判别式 二次函数 （） 方程 不等式 的解集 与 轴有两个交点 两根 与 轴相切 重根 与 轴无交点 无实根 3. 含参一元二次不等式 解含参不等式 的一般步骤：因式分解得 ，再比较 与 的大小分类讨论： · 当 时，解集为 ； · 当 时，解集为 ； · 当 时，解集为 。 例 8　解关于 的不等式 。 4. 分式不等式与高次不等式 分式不等式：； 高次不等式（穿根法）：将各因式的根在数轴上标出，从最右端上方开始，“奇穿偶不穿”，画出曲线，取符号符合要求的部分。 例 9　解不等式 。 （六）典型题型与方法 题型一　比较大小与不等式性质 方法：作差（作商）法、特值排除法、函数单调性。 例 10　已知 ，，求 的取值范围。 题型二　基本不等式求最值 方法：一正二定三相等；凑配、换元、“1”的代换。 例 11　已知 ，且 ，求 的最小值。 题型三　一元二次函数在给定区间上的最值 方法：判断对称轴与区间的相对位置，分类讨论。 例 12　求 在 上的最大值与最小值。 题型四　一元二次方程根的分布 方法：判别式 + 对称轴 + 端点值，必要时借助图象。 例 13　若方程 有两个实根 ，且 ，求 的范围。 题型五　含参一元二次不等式 方法：因式分解求根，比较根的大小分类讨论。 例 14　解关于 的不等式 （）。 题型六　恒成立与存在性问题 方法：转化为最值问题。 · 对任意 恒成立 ； · 存在 成立 。 例 15　若不等式 对一切实数 恒成立，求 的取值范围。 （七）易错警示 1. 乘（除）负数不变号：解不等式时两边同乘（除）负数，不等号方向必须改变。 1. 基本不等式”三相等”：忽略等号能否取到，直接用基本不等式求最值会出错；如 （）的最小值不是 ，而是 （在 处取）。 1. 含参不等式忽略 ：二次项系数含参时，务必先讨论 的情形。 1. 根的分布漏条件：既要判别式，又要对称轴、端点值，缺一不可。 1. 分式不等式去分母：不能直接两边乘分母（符号未知），应移项通分或用等价转化。 1. 区间最值不分类：动轴或动区间问题必须按对称轴与区间的关系分类讨论。 （八）本章小结与口诀 知识主线：等式性质 不等式性质 基本不等式 一元二次函数 一元二次方程 一元二次不等式。 核心口诀： · 不等式性质：“两边同乘负数，不等号要变向”； · 基本不等式：“一正二定三相等，缺一不可记心中”； · 二次不等式：“大于取两边，小于取中间”； · 根的分布：“一看开口二看轴，判别式外看端点”； · 穿根法：“奇穿偶不穿，从右往左看”。 三个”二次”关系：二次函数图象、二次方程的根、二次不等式的解集三者一一对应，画图是解决问题的通法。 （九）巩固练习 A 组　选择题 1. 若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 2. 函数 （）的最小值为（　　） A. 　B. 　C. 　D. 3. 不等式 的解集是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 若方程 有两个不相等的实根，则 的取值范围是（　　） A. 　B. 　C. 　D. B 组　填空题 5. 已知 ，且 ，则 的最小值为 。 6. 函数 的对称轴为 ，最小值为 。 7. 若 是方程 的两根，则 。 C 组　解答题 8. 已知 且 ，求 的最小值。 9. 解关于 的不等式 。 10. 已知函数 在 上单调递增，求 的取值范围。 （十）综合提升训练 1. 已知 ，且 ，求 的最小值。 2. 求 在 上的值域。 3. 若关于 的不等式 的解集为 ，求 的取值范围。 4. 已知方程 的两根均大于 ，求 的取值范围。 5. 某商品进价 元，售价 元时每天售出 件，若要求每天利润不低于 元，求售价 的范围。 （十一）本章知识清单（速记） 知识点 核心内容 不等式性质 同乘负数变号；同向可加；同向同正可乘 比较大小 作差法（ 与 ）、作商法（ 与 ） 基本不等式 （）；一正二定三相等 常用变形 ； 二次函数 顶点 ，对称轴 判别式 两不等实根； 重根； 无实根 韦达定理 ， 二次不等式 ：大于取两边，小于取中间 根的分布 判别式 + 对称轴 + 端点值 恒成立 恒成立 （十二）章末综合检测 一、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 1. 若 且 ，则（　　） A. 　B. 　C. 　D. 2. 函数 （）的最小值为（　　） A. 　B. 　C. 　D. 3. 不等式 的解集是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 二次函数 与 轴交点的横坐标是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 5. 若 （），则 的最大值为 。 6. 方程 有两正根，则 的取值范围是 。 7. 不等式 的解集为 。 三、解答题（共 25 分） 8.（12 分）已知 ，，求 的最小值，并求取得最小值时 的值。 9.（13 分）已知函数 在 上的最小值为 ，求 的解析式。 （十三）补充练习 1. 已知 ，求 的最大值。 2. 若不等式 对 恒成立，求 的取值范围。 3. 解不等式 （）。 4. 已知 ，若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案与解析 第02章 一元二次函数、方程和不等式 (一)等式与不等式的性质 1.等式的基本性质 例1 解析：①③④由等式性质恒成立；②要求C≠0，故不一定成立。答案： ①③④. 2.不等式的基本性质 例2 解析：c<0,两边同乘c变号，故ac<bc,(1)错误：a>b>0则ab>0, 由倒数法则得后行(2)正确：由日行两边同乘c<0变号得合号 (3)正确：a>b>0由可乘方得a2>b2,(4)正确。 3.比较实数大小的基本方法 例3 解析：作差 a2+b2+2-2a+2b=a2-2a+1+b2-2b+1=a-12+b-12≥0， 故a2+b2+2≥2a+2b,当且仅当a=b=1时取等号。 高考数学知识点总结(2027版) (二)基本不等式 4.常用变形技巧 例4 解析：x0,则兰>0，由基本不等式 y=x+4≥2x44, X 当且仅当X是即X=2时取等号，板最小值为4。 例5 解析：由”1的代换 a+b=a+b +2*g2*284， a b 当且仅当a=b=2时取等号，最小值为4。 (三) 一元二次函数 3.二次函数在区间上的最值 例6 解析：对称轴x=a,分类讨论： ·当a<0时，[0,2]在其右侧，递增，最小值f0=1; 当0≤a≤2时，最小值fa=1-a2; 。 当a>2时，[0,2]在其左侧，递减，最小值f2=5-4a。 1, a<0 综上，ga={1-a2,0≤a≤2 5-4a,a>2 2 高考数学知识点总结(2027版) (四)一元二次方程 3.一元二次方程根的分布 例7 解析：设fx=x2-2mx+m+2,须满足 △=4m2-4m+2≥0 { -2m=m>1 2 f1=1-2m+m+2=3-m>0 m-m-2≥0 即{m>1 ,故2≤m<3。 m<3 (五)一元二次不等式 3.含参一元二次不等式 例8 解析：x2-ax-2a2=x-2ax+a<0。 当a>0时，-a<2a,解集为{x|-a<x<2a}: 当a=0时，x2<0,解集为0： 。 当a<0时，2a<-a,解集为{x|2a<x<-a}。 4.分式不等式与高次不等式 例9 解析：等价于 x-1川x+2≥0 x+2≠00，解得x21或x<-2,即解集为 {x|x<-2或x≥1}。 3 高考数学知识点总结(2027版) (六)典型题型与方法 题型一比较大小与不等式性质 例10 解析：由-2<b<-1得1<-b<2,两式同向相加：1+1<a+-b<3+2,即 2<a-b<5。 题型二 基本不等式求最值 例11 解析： 1+1=x+2y3+1=3+2y+23+22, x V 当且仅当 2y=,即x=2y时取等号，最小值为3+22。 题型三一元二次函数在给定区间上的最值 例12 解析：fx=-x-1+4,对称轴x=1∈[0,4]，最大值f1=4:最小值在离 对称轴较远的端点取，f0=3,f4=-5,故最小值为-5。 题型四一元二次方程根的分布 例13 解析：设fx=x2+m-2x+5-m,开口向上，由x1<2<x,知f2<0,即 4+2m-2+5-m<0,得m<-5。 题型五含参一元二次不等式 例14 解析：原式化为ax-1川x-1<0。 ·a=0时，1-x<0,解集为{x|x>1}; 4 高考数学知识点总结(2027版) a<0时，两边除以口变号，得x-x-10,且1，解集为 a a {x|x<1或x>1: a 0<a<1时，日1，解集为{x1<x< 1 a=1时，x-12<0,解集为o; a>1时，合1，解集为x日X1. 题型六恒成立与存在性问题 例15 解析：x2-2x+m=x-1+m-1>0恒成立~m-1>0,即m>1。 (九)巩固练习 参考答案 1.C(A需c>0:B需a>b>0或a<-b<0:D需ab>0)。 2.C(y=x-1++122+1=3,x=2时取等). X-1 3.B(x-1x-2>0,大于取两边)。 4.A(△=4-4m>0,即m<1)。 5.6(a+b≥2Vab=6,a=b=3时取等)。 6.x=2:-1(fx=x-22-1)。 7.19(x+x=x1+x2}-2x1x2=25-6=19)。 最小准为号侵引++5+4=号 9.因式分解得x-ax-a+1<0,因a<a+1,故解集为{x|a<x<a+1}。 10.对称轴x=a,由在[1，+∞)递增知a≤1。 高考数学知识点总结(2027版) (十)综合提升训练 参考答案 1.最小值为4日+la+b=2++g4) a b a b 2.fx=x-12+2,在[0,3]上最小值为2(x=1),最大值f3=6,值域为 [2,6]。 3.△=a2-4a<0,得0<a<4。 4=m+12-16≥0 4.设fx=x2-m+1x+4,须{ m+1>1 2 ,解得3≤m<4。 f1=1-m+1+4>0 5.利润x-40100-2x≥48，整理得x2-90x+2024≤0，因式分解 x-44x-46≤0，故44≤x≤46。 (十二)章未综合检测 参考答案 1.B.2.C(2x+82216=8,X=2取等)。3.A.4B. 5子60<ms景7-1,1 8君分a+b日+-5+8把25+2-9，当且仅当 a b b=2a,即 a b 9 3,b-3时取最小值9。 9.对称轴x=a:当a<-1时ga=f-1=3+2a;当-1≤a≤1时 ga=fa=2-a2;当a>1时ga=f1=3-2a。 6 高考数学知识点总结(2027版) (十三)补充练习 参考答案 1x0时-20，x+女-[-X+大1s-2,当X=-1时取最大值-2. 2.X>0时x+≥2，不等式即m<x+恒成立，故m<2。 X 3.x-2x-a≤0：当a<2时解集[a,2];当a=2时解集{2}：当a>2时 解集[2，a]。 4.fx在[1,3]上递增，最小值为f1=3+a>0,故a>-3。