15.3.1 等腰三角形（等边对等角和三线合一） 同步评价试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.3.1 等腰三角形（等边对等角和三线合一） 同步评价试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，为线段的垂直平分线与直线的交点，连接，则（   ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，相交于点．当时，则的大小是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，点，在上，点在上，且，若，则_______°． 8．如图．点B，C，D，E，F在∠A的两边上，，，则________． 9．如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，若，，则的度数为_____． 10．如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是______． 11．如图，在中，，D为边的中点，E、F分别为边上的点，且，，则_____． 12．如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为__． 三、解答题 13．如图：是等腰的高，，求证： 14．如图，在中，平分，E是的中点，过点E作的垂线交于点F，连接．若，，求的度数． 15．如图，在中，，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 16．如图，在中，点，分别在，边上，，，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 17．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 18．如图中，，点在所在直线上，点在射线上，且，连接． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，，求的度数； (3)当点在直线上（不与点、重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D B C A 1．B 本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 由三线合一得，进而求出，由得，求出即可求解． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．C 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 3．D 本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 4．B 本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 由D为线段的垂直平分线与直线的交点可得，可得，根据三角形外角的性质可得，然后根据角的和差即可解答． 解：∵由D为线段的垂直平分线与直线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．C 本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出的度数是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，再由平行线的性质得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，即可求解． 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．A 此题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，还应理解翻折的性质．证明，利用三角形外角性质求出的度数，即可得到的度数，由翻折得，由此根据得到答案． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， 故选：A． 7．25 本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，先证明，，再利用三角形的外角的性质得到，从而可得答案，掌握等腰三角形的性质，三角形的外角的性质是解题的关键． 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．/36度 此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理．由，根据等腰三角形的性质，即可得，，，，又由三角形外角的性质、三角形内角和定理，即可求得的度数，此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据线段垂直平分线的性质，角平分线的定义以及等边对等角可得出，然后根据三角形内角和定理求出，，最后根据三线合一的性质求解即可． 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 10．或 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，连接，过作于，于，由，，则，，根据角平分线的性质得，然后证明，则，再根据四边形内角和求出，同理，掌握知识点的应用及正确的作出辅助线是解题的关键． 解：连接，过作于，于， ∵，， ∴， ∴， 当是以为腰的等腰三角形， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理证得， ∴， ∴， 得， 故答案为：或 11． 由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理得到，同理：，求出，即可得到，由平角定义解答即可． 本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由等腰三角形的性质，三角形内角和定理． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12． 本题考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定． 利用等腰三角形的三线合一求出，再求出即可解决问题． 解：∵，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．证明见解析 本题考查直角三角形全等的判定与性质、角平分线的性质及等腰三角形性质，根据等腰三角形性质先证明，，即可证明从而得出结论． 证明：，是等腰的高， ， ， ， 在和中， ， ， ． 14． 本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理和外角的性质，等边对等角，能求出是解此题的关键，设，则，根据线段垂直平分线性质求出，推出，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可． 解：∵平分， ∴， 设，则， 由题可知是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 15．(1) (2) 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质可得的度数，从而得到，再根据全等三角形对应角相等可得，从而得到，然后再利用平角的定义，即可求解． （1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．(1) 证明：，， ，， ， ， ， ， 即； (2) 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的两底角相等及三线合一性质得到，，再证明，得到，即得答案； （2）设，根据等腰三角形的两底角相等，可得，，，再根据三角形内角和定理列方程求解即可． （1）略 （2）解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 17．(1) 证明：连接， ，理由如下： ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； (2) 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，利用等边对等角得到，再根据列式计算即可求解． （1）略 （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴． 18．(1) (2) (3) 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握相关定理，并能正确识图是解题关键． （1）根据三角形内角和定理求出从而求得，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质即可求得； （2）根据三角形外角的性质求出，再根据等边对等角求得，从而求得，再根据三角形外角的性质即可求得； （3）分当点D在点B的左侧时，当点D在线段上时和当点D在点C右侧时利用三角形外角的性质和内角和定理，借助方程思想即可得出结论． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 设，，，， ①如图1，当点D在点B的左侧时，， ∴， 两式相减得，， ∴； ②如图2，当点D在线段上时，， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当点D在点C右侧时，， ∴， 两式相减得，， ∴． 综上所述，与的数量关系是． 学科网（北京）股份有限公司 $