精品解析：黑龙江佳木斯市富锦市两校联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

10月份阶段性数学试题 一．选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 一元二次方程需满足：①整式方程；②一个未知数；③最高次数为2． 【详解】A． ，次数不是2次，不符合题意； B． ，有两个未知数，不符合题意； C．不是整式方程，不符合题意； D． ，满足一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 2. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【详解】解：A、∵，∴抛物线的开口向下，本选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，本选项符合题意； C、抛物线的顶点坐标是，本选项不符合题意； D、因为开口向下，抛物线的对称轴为直线，所以当时，随的增大而减小，本选项不符合题意． 故选：B． 5. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ∵关于的方程有实数根， ∴，且 ， 解得，且， 当方程为一元一次方程时，k=1，方程有实根 综上， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键． 6. 一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象，二次函数的图象即可分析判断得出答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为：， ∴对称轴为，故A和B错误； 当，一次函数过第一、二、三象限， 二次函数图象开口向上，对称轴为，故C正确，D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，利用函数图象解决问题是本题的关键． 7. 如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，再由对称轴计算公式可得，据此可判断①③；根据抛物线与x轴有两个不相同的交点，据此可判断②；当时，，根据对称性质可得，可判断④． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴，即， ∴，，故①错误；③正确 ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，故②正确； ∵对称轴是直线， ∵当时，， ∴当时，， 故④错误； ∴正确的为②③，共2个． 8. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 9. 如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小路的宽为xm，则草坪的总长度为，总宽度为，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设小路的宽为xm，则草坪的总长度为，总宽度为， 根据题意，得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清楚草坪的总长度和总宽度是解题关键． 10. 如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， 故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型． 二．填空题（每题3分，满分30分） 11. 设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵，分别是一元二次方程的两个根， ∴． 12. 若关于x的方程 有两个相等的实数根，则 m = ___． 【答案】 【解析】 【分析】由于已知方程有两个相等的实数根，所以利用一元二次方程的根的判别式，建立关于m的方程，解方程即可求出m的取值．本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知一元二次方程的两个解恰好是等腰的底边长和腰长，则的周长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求得方程的两根，再把方程两根分别作为底可求得三角形的三边长，即可求得答案． 【详解】解：解方程可得或， 当的底为7时，则三角形的三边长为4、4、7，满足三角形三边关系，其周长为， 当的底为4时，则三角形的三边长为4、7、7，满足三角形三边关系，其周长为， ∴的周长为或． 14. 若关于的方程有一根是，则另一个根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知根代入一元二次方程，求出参数的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：将代入方程， 可得， 解得， 则原方程为， 可得， 解得，， 故方程的另一个根是． 15. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 16. 已知实数m、n满足m2﹣4m﹣1=0，n2﹣4n﹣1=0，则+=________． 【答案】2或﹣18 【解析】 【分析】分类讨论：当m=n时，易得原式=2；当m≠n时，则可把m、n看作方程x2-4x-1=0的两根，根据根与系数的关系得到m+n=4，mn=-1，再把原式变形，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】当m=n时，原式=1+1=2； 当m≠n时，m、n可看作方程x2−4x−1=0的两根， 则m+n=4，mn=−1， 所以原式====-18， 故答案为2或-18. 【点睛】本题考查的知识点是根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根与系数的关系. 17. 二次函数的图象如图所示，与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据图象得：函数值时，的取值范围是． 18. 把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后，所得抛物线的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后，所得抛物线的解析式是． 19. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年游客人数的年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：该景区这两年接待游客的年平均增长率为． 故答案为： 20. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为、、，设，，，则，，，再根据正三角形的边长，分别表示，，的纵坐标，代入抛物线中，求、、的值，得出规律． 【详解】解：分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为、、， 设，，， 由勾股定理则，，， 在中，， 代入中，得，解得（负值已舍去），即， 在中，， 代入中，得，解得（负值已舍去），即， 在中，， 代入中，得，解得（负值已舍去），即， …， 以此类推由此可得的边长为． 三．解答题（共60分） 21. 解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1），； （2）； （3）没有实数解． 【解析】 【小问1详解】 解：因式分解得， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：整理得，即， 解得； 【小问3详解】 解：整理得， ，，， ， ∴原方程没有实数解． 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 23. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 24. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． 根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根：________________． （2）若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________________． （3）当时，的取值范围是________________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，进而可得出方程的两个根； （2）根据抛物线的顶点坐标为且开口向下求解即可； （3）根据图象解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两个根是； 【小问2详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为且开口向下， ∴方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，的取值范围是或． 25. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （2）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每盒月饼的售价应定为74元； （2）当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 【解析】 【分析】（1）根据总利润等于每盒利润乘以销量，列出函数关系式，令，求出的值，即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，； 当时， 解得， ∵尽快减少库存， ∴，此时售价为（元）； 答：每盒月饼的售价应定为74元； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下，当时，函数有最大值为； 故当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点B，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标： （2）如图，点P为线段上的一个动点（点P不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段长度的最大值． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；点B的坐标为 （2）当时，最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象及性质，最值问题等． （1）将点代入中即可求出抛物线解析式，再令即可求出点B的坐标； （2）待定系数法求出直线的表达式为，设点，则，继而表示出线段表达式，利用二次函数最值即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， 解得：， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月份阶段性数学试题 一．选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 4. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 9. 如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，满分30分） 11. 设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 12. 若关于x的方程 有两个相等的实数根，则 m = ___． 13. 已知一元二次方程的两个解恰好是等腰的底边长和腰长，则的周长为________． 14. 若关于的方程有一根是，则另一个根是___________． 15. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 16. 已知实数m、n满足m2﹣4m﹣1=0，n2﹣4n﹣1=0，则+=________． 17. 二次函数的图象如图所示，与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是________． 18. 把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后，所得抛物线的解析式是________． 19. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为_____． 20. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 三．解答题（共60分） 21. 解下列方程： （1） （2） （3） 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 23. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 24. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． 根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根：________________． （2）若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________________． （3）当时，的取值范围是________________． 25. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （2）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点B，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标： （2）如图，点P为线段上的一个动点（点P不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $