精品解析：广东揭阳真理中学2026-2027学年九年级上学期第一次综合训练数学试题

揭阳真理中学九年级（上）第一次综合训练数学试题 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中为一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍．若菱形的面积为16，则它的边长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 如图，四边形是正方形，和都是直角且点E，A，B三点共线，，则阴影部分的面积是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 6. 已知点，为某图形边上的两个顶点，动点从点出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点，到达点后停止．设点运动的时间为，的面积为（当点与点或重合时，记作），若与的函数关系如图所示，则该图形可能是（ ） A. B. C. D. 7. 郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M、于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，射线交于点E，F为的中点，连接．，的周长是（ ） A. 4 B. C. D. 9. 根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则一元二次方程的一个根为 _____． 12. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 13. 如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么顺次连结这个四边形各边中点所得的四边形是______． 14. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为______． 15. 如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在小方格的格点上．请按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）在图中将线段向右平移个单位长度得到线段，点在点的上方，连接； （2）点是平行四边形的边上一点，请你在边上找一点，使． 18. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，过点O作交于点E，交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的面积为36，，求的长． 20. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 21. 阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： （1）解方程：． （2）若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． （1）观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为__________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是________． （2）数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． （3）结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为_____________． （4）结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为，求的最小值． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_______，________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭阳真理中学九年级（上）第一次综合训练数学试题 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中为一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义；根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：，是一元一次方程，最高次数为1，不符合条件． 选项B：，仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合定义． 选项C：，含两个未知数和，是二元二次方程，不符合“一元”要求． 选项D：，含分式，属于分式方程，非整式方程，不符合条件． 综上，只有B满足一元二次方程的定义． 故选：B． 2. 在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的中心对称性得到经过对角线交点的直线平分平行四边形面积，进而求出阴影部分的面积. 【详解】解：， 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心， 根据中心对称的性质：经过对称中心的直线，会把平行四边形分成完全全等（面积相等）的两部分，且关于对称中心对称的两个图形，面积一定相等， 本题中、、都经过对角线的交点（对称中心），因此每一块阴影区域，都存在一块和它关于对称中心中心对称的空白区域，二者面积相等； 由此可推：所有阴影部分的面积之和平行四边形面积的一半， . 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 4. 菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍．若菱形的面积为16，则它的边长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．由菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且菱形的面积为，可求得其对角线的长，又由勾股定理，即可求得其边长． 【详解】解：∵菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍， ∴设菱形的一条对角线长为，则另一条对角线长为， ∵菱形的面积为， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴菱形的两条对角线长分别为，， ∴菱形的边长为：， 故选：D． 5. 如图，四边形是正方形，和都是直角且点E，A，B三点共线，，则阴影部分的面积是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质（四边相等、四个角为直角）、全等三角形的判定（）及三角形面积公式，解题的关键是通过证明得出，进而利用三角形面积公式计算阴影部分面积． 利用四边形是正方形，得且，推出；由为直角，得，进而通过“同角的余角相等”得；根据证，得；最后代入三角形面积公式底高，计算阴影部分面积． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴； ∵是直角，即， ∴， ∴（同角的余角相等）； 在和中， ∵，，， ∴（）； ∴； 由图可知，阴影部分的底和高分别为与， 则； 故选：A． 6. 已知点，为某图形边上的两个顶点，动点从点出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点，到达点后停止．设点运动的时间为，的面积为（当点与点或重合时，记作），若与的函数关系如图所示，则该图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可得点在运动的过程中，的面积为会发生三次变化，且变化规律是：第一次变化是从0逐步增大，第二次变化是保持不变即意味着此时点所在的边与原图形的底边一定平行，第三次变化是逐步减小，减小到0，说明点P在运动过程中，要经历两个拐点，且三次运动时间相同．分析解答即可． 【详解】解：选项：点在运动的过程中，的面积为发生了二次变化，从点到第二个顶点是第一次变化，从0逐步增大，第二次变化是从第二个顶点到点，逐步减小，减小到0，没有保持不变的变化过程，故该选项不符合要求． 选项：点在运动的过程中，的面积为发生了三次变化，从点到第二个顶点是第一次变化，从0逐步增大，第二次变化是从第二个顶点到第三个顶点，保持不变，第三次变化是从第三个顶点到点，逐步减小，减小到0，且三次运动时间相同，满足函数的图象，故该选项符合要求． 选项：点在运动的过程中，的面积为发生了四次变化，不满足函数的图象，故该选项不符合要求． 选项：点在运动的过程中，的面积为发生了三次变化，点在上运动的过程中，面积相等；点在上运动的过程中，面积相等；点在上运动的过程中，面积不变；但是，三次变化的运动时间不相同，不满足函数的图象， 故该选项不符合要求． 7. 郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 8. 中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M、于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，射线交于点E，F为的中点，连接．，的周长是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由题意得，为的平分线，结合等腰三角形的性质得出，，利用勾股定理求出的场，最后根据直角三角形斜边中线的性质即可得出答案． 【详解】解：由题意得，为的平分线， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵点F为的中点， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 9. 根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的近似解．观察表格数据，可得当时，的值为负，当时，的值为正，从而得到方程根在和之间，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，； 当时，； ∴ 方程根在和之间． 故选：C 10. 对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④. 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 12. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 13. 如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么顺次连结这个四边形各边中点所得的四边形是______． 【答案】 正方形 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理和平行四边形.矩形.正方形的判定，根据三角形中位线定理得到中点四边形对边的位置关系和数量关系，结合原四边形对角线垂直且相等的条件，逐步判定四边形的形状. 【详解】解：设四边形中， 对角线，，，，，分别为，，，的中点， 根据三角形中位线定理可得：，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， ， ∴， ，即， 平行四边形是矩形， 又， ， 矩形是正方形． 14. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为______． 【答案】 【解析】 【分析】八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可． 【详解】解：如图，八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长， ∴， 设， ∴，即， 解得， ∴正方形边长为， ∵要将八角碗放进底面为正方形的长方体硬纸盒， ∴硬纸盒底面的边长至少为． 15. 如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，即， ， ，． 【小问2详解】 解：， 因式分解，得， 或， ，． 17. 如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在小方格的格点上．请按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）在图中将线段向右平移个单位长度得到线段，点在点的上方，连接； （2）点是平行四边形的边上一点，请你在边上找一点，使． 【答案】（1） 如图即为所求． （2） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）由（1）知四边形为平行四边形．连接相交于点，连接并延长交于点，则点即为所求．根据平行四边形的性质可证得，从而可得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 18. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 【答案】（1）;(2) 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，结合可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合m的取值范围即可确定m的值． 【详解】（1）∵关于x的方程总有两个实数根， ∴ ， 解得：． （2）∵为方程的两个根， ∴． ∵， ∴， ∴， 整理，得：，即， 解得：（不合题意，舍去），， ∴m的值为1． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是一元二次有两个实数根的等价条件. 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，过点O作交于点E，交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的面积为36，，求的长． 【答案】（1）证明：点O是中点， ． 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）8． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，得到，可知四边形是平行四边形，根据可知四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，，进而得到，根据完全平方公式得到，可知，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 即， 菱形的面积为36． ， ， 在中，由勾股定理可得：． 20. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】（1）这三天票房的平均增长率为； （2）扛标旗单价上涨了2元或5元． 【解析】 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 21. 阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： （1）解方程：． （2）若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】（1）原方程的解为，， （2）这四个整数为2，3，4，5 【解析】 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【小问1详解】 解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． 【小问2详解】 解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． （1）观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为__________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是________． （2）数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． （3）结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为_____________． （4）结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为，求的最小值． 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 在上取一点，使，连接． 四边形是正方形， ，． ， ，是等腰直角三角形， ， ． 是的外角平分线， ， ， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）通过构造中点，连接辅助线，利用正方形性质、等腰直角三角形性质以及角的关系，找到全等三角形的判定条件，使用角边角的证明方法，证明从而猜想并证明； （2）沿用（1）中构造全等三角形的方法，利用正方形基本性质和角的关系，使用角边角的证明方法，证明，证明无论在上什么位置，都成立； （3）将绕点逆时针旋转得到，借助图形变换的思想，把分散的线段通过变换集中到一起，再利用几何图形的各种性质来探究它们之间的数量关系，通过延长线段构造全等三角形，由边角边的证明方法证明，将与，转化到一条线段上找关系即可； （4）延长至，使，连接，，，得到垂直平分，通过对称变换将两条线段的和进行转化，再利用三点共线原理找到最小值的情况． 【小问1详解】 解：点、点分别为、中点， ，， 四边形为正方形， ，则， ， ， ， ， ，， ，则， 为正方形外角的角平分线， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图2，将绕点逆时针旋转得到， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ，， 则点、、三点共线， 在和中， ， ， ， 即， 故答案为：； 【小问4详解】 如图3，延长至，使，连接，，， ，， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小值是的长， ，，， ， ． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_______，________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点Q速度为和点P速度为即可求解，再由点Q到点C停止，可确定时间t范围为； （2）矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、、中用勾股定理表示、、，分、、三类列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【小问1详解】 解：∵点Q的速度为，运动时间为， ∴， ∵点P的速度为， ∴， 又∵， ∴， ∵点Q运动到点C时两点同时停止， ∴ 解得， 又∵， ∴t的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 将，，代入其中， 得 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中， ， ①当时，则， 解得（舍去）或； ②当时，则， 解得（舍去）或（舍去）， ∴此情况无符合条件的t； ③当时，则， 解得（舍去）或； 综上所述，符合条件的t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $