精品解析：广东省江门市蓬江区省实学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

省实江门学校2026—2027学年第一学期月限时练（一） 初三数学 考试范围：二十五章到二十七章第二节：总分：120分：考试时间：120分钟 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 2. 反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的符号即可判断图象所在象限． 【详解】解：中，， ∴ 反比例函数的图象位于第二、第四象限． 3. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点　　 A. B. ， C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，得，分别判断各点的乘积是否等于，即可得到答案. 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴； 解得：， 即， ．，，即一次函数的图象不经过点，故本选项不符合题意； ．，，，即一次函数的图象不经过点，，故本选项不符合题意； ．，，即一次函数的图象不经过点，故本选项不符合题意； ．，，，即一次函数的图象经过点，，故本选项符合题意； 故选择：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记定义，熟练掌握. 4. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将向左平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 5. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的顶点坐标为. 将变形为. ∴顶点坐标为. 6. 一元二次方程的根的情况是（　 　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义可得，，求解即可． 【详解】由题意得：，， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 8. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 9. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据k的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【详解】解：①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限，故B选项的图象符合要求， ②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的性质． 一次函数： ①当，时，一次函数经过一、二、三象限； ②当，时，一次函数经过一、三、四象限； ③当，时，一次函数经过一、二、四象限； ④当，时，一次函数经过二、三、四象限； 反比例函数的（k≠0）， ①当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限； ②当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限． 10. 抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图像的性质等，根据抛物线对称轴，经过点得到，再由开口向下，得到，则，据此可判断①②；根据和关于对称轴对称，则时，，即可判断③；根据抛物线与x轴交点个数即可判断④；根据时，，得到，进而得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ∴， ， ∴，故②正确； ∵开口向下， ∴， ， ∵图像与y轴正半轴相交， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线对称轴， ∴和关于对称轴对称， 时，， ∴，故③正确， ∵抛物线与x轴交于，抛物线对称轴， 抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴抛物线与轴有2个交点，则 ∴，故④正确； ∵抛物线与x轴的另外一个交点为，开口向下， 时，， ， ， ，即，故⑤错误， 故选：B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 方程的解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法求解方程． 【详解】解： 则或 解得 ，． 12. 抛物线上有两点、，若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据二次函数的性质，得到函数图像开口向下，对称轴为，然后得到时，随的增大而减小，根据，即可得到与的关系． 【详解】解：抛物线的二次项系数， 抛物线开口向下， 对称轴为，， 两点均在对称轴右侧， 随的增大而减小， ． 故答案为：． 13. 关于x的方程的两根分别为、，则的值为________． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据二次方程根与系数的关系求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． ∴． 故答案为3． 14. 如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】设点的坐标为，利用垂直确定的坐标，根据矩形的面积推出即可求出 的值，根据求出的唯一值． 【详解】解：设点的坐标为， 在上， ，即． 由题意，轴于，轴于，点的坐标为， 点的坐标为点的坐标为， 矩形的面积为 ，， ， 矩形面积为， ， 或． 由图可知，点在第一象限（，）， ， ∴． 15. 如图，抛物线的对称轴是，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为___________． 【答案】﹣3＜x＜5 【解析】 【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标（5，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集． 【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0）， 根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即 抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣3，0）关于直线x＝1对称， ∴另一个交点的坐标为（5，0）， ∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜5． 故答案为﹣3＜x＜5． 【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 三、解答题一（共3题，每题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解答即可． 【详解】解：， 因式分解得：， 或 ， 解得 ，． 17. 今年3月份某图书角中有藏书册，到今年5月份藏书数量增长到册．求该图书角的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设图书角这两个月藏书的平均增长率为x，利用该图书角5月底的藏书量=该图书角3月的藏书量，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论． 【详解】解：设图书角这两个月藏书的平均增长率为，则： 或（不合实际，舍去） 答：图书角这两个月藏书的平均增长率为． 18. 如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下面的问题：图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ 【答案】图象的另一支在第四象限， 【解析】 【分析】先根据反比例函数图象的一支所在象限，确定另一支所在象限，再依据反比例函数性质求出常数的取值范围． 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数（）中，当时图象在第二、四象限是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，一支在第二象限， ∴另一支在第四象限． ∵在二、四象限， ∴， 解得． 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 【答案】抛物线的解析式为（或一般式），对称轴为直线． 【解析】 【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式，代入已知点坐标求待定系数，再由顶点坐标得对称轴． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， 将代入解析式，得，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式为． 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的对称轴为直线． 20. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 【答案】（1），另一根为 （2） 证明： ， 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）将方程的根代入可求得的值，再根据根与系数的关系可求得另一个根； （2）用表示出其判别式，利用配方可化为平方的形式，可判断判别式的符号，可得出结论． 【小问1详解】 解：将代入方程可得： ，解得； 方程为， 设另一根为，则， 解得，即方程的另一根为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键，即①一元二次方程无实数根，②一元二次方程有两个相等的实数根，③一元二次方程有两个相等的实数根． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为，一次函数的图象与轴交于点，连接． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值，然后根据B的横坐标求出B的纵坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）先求出C的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． 点的横坐标为，且点在反比例函数的图象上， ∴ 点． 将点，代入， 得 解得 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在一次函数中，令，则， 点， ． ， ． 五、解答题三（共2题，第22小题13分，第24小题14分，共27分） 22. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利6元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少千克． （1）该商场要保证每天盈利元，又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）商场要保证每天盈利元，又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价6元 （2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价7元，能使商场获利最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设每千克应涨价x元，由题意得，，进行计算即可得； （2）设这种水果每千克涨价x元时总利润为y则，即可得． 【小问1详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意得， （舍），， 即商场要保证每天盈利元，又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价6元． 【小问2详解】 解：设这种水果每千克涨价x元时总利润为y， 则 即若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价7元，能使商场获利最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 23. 如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线 （1）求抛物线的解析式． （2）设点P为抛物线对称轴上的一个动点． ①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积． ②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①3；②存在满足条件的点，其坐标为或． 【解析】 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、方程思想等知识． （1）把、两点坐标代入抛物线解析式，可求得、的值，可求得抛物线解析式； （2）①由抛物线解析式可求得、的坐标，可求得直线解析式，设对称轴交直线于点，则可求得点坐标，可求得的长，则可求得的面积；②设，则可用表示出的面积，可得到的方程，则可求得点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线、为常数）与轴相交于点、， ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：①， ，且， 设直线解析式为，则有， 解得， 直线解析式为， 设对称轴交于点，如图1， 则， ， ； ②设，由①可知， ， ， ， 解得或， 点坐标为或， 即存在满足条件的点，其坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省实江门学校2026—2027学年第一学期月限时练（一） 初三数学 考试范围：二十五章到二十七章第二节：总分：120分：考试时间：120分钟 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 没有实数根 2. 反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 3. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点　　 A. B. ， C. D. ， 4. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（　 　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 都不对 8. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 9. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ 　 ） A. B. C. D. 10. 抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 方程的解是___________． 12. 抛物线上有两点、，若，则___________ 13. 关于x的方程的两根分别为、，则的值为________． 14. 如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为，则的值为________． 15. 如图，抛物线的对称轴是，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为___________． 三、解答题一（共3题，每题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 今年3月份某图书角中有藏书册，到今年5月份藏书数量增长到册．求该图书角的月平均增长率． 18. 如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下面的问题：图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 20. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为，一次函数的图象与轴交于点，连接． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积． 五、解答题三（共2题，第22小题13分，第24小题14分，共27分） 22. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利6元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少千克． （1）该商场要保证每天盈利元，又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最大？最大利润是多少？ 23. 如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线 （1）求抛物线的解析式． （2）设点P为抛物线对称轴上的一个动点． ①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积． ②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $