2.4 第2课时销售利润问题与平均变化率问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

步.根据题意，得x(60一x)=864,整理得x2一60x+864= 0,解得x=36或x=24(舍去)，.∴.x一(60一x)=12. 2.25一2由题意知，正方形的边长为4.在矩形中添上 字母，如图所示.设AB=x,则EF=4一x,BF=4一(4 x)=x,BC=CF十BF=4十x.根据题意，得x(4十x)=16, 整理得x2+4x-16=0,解得x1=25-2,x2=-2√5-2 (不符合题意，舍去)，∴AB的长为25-2. ①② E② ③ （4】 ④ ① C (第2题) 3.①②由题意得，AP=2tmm,BQ=4tmm,∴.BP= AB-AP=(12-2t)mm.当t=2时，BP=8mm,BQ= 8mm,:∠B=90°，∴.PQ=√BP2+BQ=8√2mm.故 ①说法正确，S6m=2BQ·PB=号·412-2)= (一4t2+24t)mm2,当△PBQ的面积为35mm时， -42+241=35,整理得42-24+35=0，解得1=2或1 5 「7：0<1<2=6，.△PBQ的面积可以为35mm,故 ②说法正确.当t=1时，S△P0=一4X1十24×1= 20(mm2);当1=5时，S△Pa=-4×52+24×5= 20(mm),∴.当t=1时和当t=5时，△PBQ的面积相等. 又：四边形APQC的面积=S△Ae一S△PQ,∴.当t=1时 和当t=5时，四边形APQC的面积相等，故③说法错误， 4(①5(2)由题意，得CP=2em.CQ=(25-4)cm 由题意，得(2t)2十(25一t)2=252,解得t1=10,t2=0(不合 题意，舍去)..10s后P,Q两点相距25cm.(3)存在. 由题意，易得5，=号×20×(25-)=-+251,5：= 2×30×25=375.:S1:S2=2:5,5(-42+251)= 375×2,解得t1=10,t2=15.,∴.点P运动的时间为10s或 15s. 5.B设这批椽的数量为x株，则(x一1)株椽的运费是 3(x一1)文，一株椽的价钱为3(x一1)文.根据题意得 3(x-1)·x=216,整理得x2-x-72=0,解得x1=-8 (不符合题意，舍去)，x2=9.,.3(x一1)=3×(9一1)=24， 3x=3×9=27..设这批椽的数量为x株，所列方程为 3x(x一1)=216，这批椽的总运费为27文，一株椽的价钱 为24文，这批椽一共有9株. 6.(1).'BC=500km,AB=300km,.∴.AC=/BC2-AB2= 400km:'√(11×40-400)2+(300-11×20)2=40V5(km), 40√5<200，∴.经过11h后轮船与台风中心相距 40√5km,此时轮船受到台风的影响.(2)设这艘轮船航 行的时间为th.由题意，得(400-40t)2+(300-20t)2= 2002,解得t1=7,t2=15.∴.轮船受到台风影响的时间为 15-7=8(h). 7.(1)26:12.(2)设剪去的正方形的边长为xcm.根据 题意，得(30-2x)(16-2x)=240,解得x1=20(不合题 意，舍去)，x2=3..剪去的正方形的边长为3cm. (3)设剪去的正方形的边长为ycm.根据题意，得30 16-2y2-2,3受=412.解得1=-17（不合题意，含去. y2=2..剪去的正方形的边长为2cm. 第2课时销售利润问题与平均变化率问题 1.B设该景区这两年接待游客人次数的年平均增长率为 x.根据题意，得25(1+x)2=36,解得x1=0.2=20%, x2=一2.2（不符合题意，舍去），∴.该景区这两年接待游客 人次数的年平均增长率为20%. 2.55设每件售价应定为x元.根据题意列一元二次方程 得，(x-50)[10+2(70-x)]=(70-50)×10,解得x1= 55,x2=70.:商家想尽快销售完该款小商品，·x=55. .若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款小商品，每 件售价应定为55元. 3.(1)设月平均增长率为x.由题意，得500(1十x)2= 720,解得x=0.2=20%或x=-2.2(舍去).∴.月平均增 长率为20%.(2)设售价应降低a元.由题意，得(100一 a-60)(20+2a)=1200,.∴.a2-30a+200=0.,∴.a=10 或a=20.,商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴.a=20.∴.售价应降低20元. 4.B设2月到4月该厂家自行车产量的月增长率为x. 依题意得200(1十x)2=288,解得x1=0.2=20%,x2= 一2.2（不合题意，舍去），.3月自行车产量为200×(1十 20%)=240(辆). 5.D设涨价t元.根据题意列方程得(10十t-8)[200一 10×(t÷0.5)]=700,整理得t2一8t+15=0,解得t=3, t2=5,∴.10+3=13（元）或10十5=15（元），即售价为 13元或15元时，每天的利润可达到700元. 6.9设每件商品降价x元，则每件利润为(200一x一 155)元，即(45一x)元：每天销售量为(20+2x)件.根据每 天盈利1500元，得(45-x)(20+2x)=1500,整理得， 900+70x-2x2=1500,即-2x2+70x-600=0,x2 35.x十300=0，(x-15)(x-20)=0,解得x=15或x=20. 为尽快减少库存，取x=20,折扣率为200一20× 200 100%=90%. 7.设年利率为x.根据题意，得10000(1+x)2 10000(1+2.x)=100,整理得100x2=1,解得x1=0.1= 10%,x2=一0.1（不符合题意，舍去）..年利率为10% 8.(1)设这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月 平均增长率为m.由题意，得250(1十m)2=360,解得m1= 0.2=20%,2=一2.2（不符合题意，舍去）.∴.这种跳绳 和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为 20%.(2)设该套装的月销量y(套)与每套的售价x(元) 之间的一次函数关系式为y=kx十b.由题意得 129k+b=360, k=-20, 解得《 .y=-20x+2940.由 139k+b=160, b=2940. 题意得(x-100)(-20x+2940)=10800,整理得x2 247x+15240=0,解得x1=120,x2=127.:尽可能让学 生得到实惠，.x=120.∴.129-120=9（元）.∴这种跳绳 和排球套装每套应降价9元 9.(1)设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x.由题 意，得32(1十x)2=50,解得x1=0.25=25%,x2=-2.25 (不合题意，舍去).∴·该市参加健身运动人数的年平均增 长率为25%.(2)设购买的这种健身器材的套数为. :240000÷1600=150(套)，.m>100.由题意，得 m(1600-m,00×40=240000,整理，得m2一500m2十 60000=0,解得m1=200,m2=300.:最低售价不得少于 1000元，.1600-m100×40≥1000，解得m≤250. 10 ∴.m=200.∴.购买的这种健身器材的套数为200. 专题特训五一元二次方程的其他应用 1.设这个数的个位数字为x,则十位数字为(x2一1).依题 意有10(x2-1)十x一(10x十x2-1)=9,解得x1=2, x2=-1(负值舍去)，则10(x2-1)十x=10×(4-1)十2= 32..这个两位数是32， 2.(1)设最小数是x,则最大数是x十8.根据题意，得 x(x+8)=180,整理，得x2+8.x-180=0,解得x1=10, x2=一18（不合题意，舍去）..最小数是10.(2)虚线方 框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124. 理由：假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和 能为124，设最小数为y,则另外三个数分别是y十1，y十7， y十8.根据题意，得y(y+8)+y+(y十1)+(y+7)+ (y+8)=124,整理，得y2+12y-108=0,解得y1=6, y2=一18（不合题意，舍去）.·y=6在最后一列，∴.假设 不成立，即虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数 的和不能为124. 3.设每轮中每人必须教会x人.由题意，得1十x十x2= 57,解得x1=7,x2=一8（不合题意，舍去）.∴.每轮中每人 必须教会7人 4.(1)设平均每人每轮转发给x个人.根据题意，得1十x十 1·3x=331,解得x1=30,x2=-33(舍)..平均每人 每轮转发给30个人.(2)由(1)知，平均每人每轮转发30 人，经3轮转发后收到信息的人数为1+30+号×30+ 号×30=331<3000：经4轮转发后收到信息的人数为 1+30+日×30+号 」1×30+27×304=33331>30000， 故若要使收到信息的人数超过3万，需要经过4轮转发. 5.设该兴趣小组的人数为x,则每名同学需送出(x一1)件 礼品.依题意，得x(x-1)=30,解得x1=6,x2=-5(不合 题意，舍去)..该兴趣小组的人数为6 6设该旅游团共有x位游客，依题意，得女一D=45, 解得x1=一9（不合题意，舍去），x2=10..该旅游团共有 10位游客， 7.设共有x支队伍参加比赛，则在小组赛阶段，每个小组 1 ,1、11 有8x支队伍.根据题意，得8×2×8x(8x-1)=48, 整理得x2-8x-768=0,解得x1=32,x2=一24（不符合 题意，舍去).∴.共有32支队伍参加比赛」 8.(1)设AB的长为xm.,篱笆的总长为30m,∴.BC 的长为02m根据题意，得x·02=108,整理，得 2 x2-30x十216=0，解得x1=12,x2=18(不合题意，舍 去).30,2=30业=9.·BC的长为9m.(2)养 2 殖园的面积不能达到100m.理由：假设养殖园的面积能拔尖特训· 数学（北师版）九年级上 第2课时 销售利润问题与平均变化率问题 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.某景区2023年接待游客25万人次，后经过两年旅游开发力度的加大，该景区2025年接待游客 达到36万人次，那么该景区这两年接待游客人次数的年平均增长率为 ) A.10% B.20% C.22% D.44% 2.随着直播浪潮的袭来，各行各业都开始在直播市场中尝试并探索更多的方法，其中直播带货就很 受大众欢迎.某电商在网络直播平台上对一款成本价为50元的小商品进行直播销售，如果按每 件70元销售，每天可卖出10件.通过市场调查发现，小商品售价每降低1元，日销售量增加 2件.若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款小商品，则每件售价应定为 元 3.[2025抚松期末]某网店为弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型.今年9月份该 模型的销售量是500件，11月份的销售量是720件. (1)若该网店9月份到11月份该模型销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率 (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能 销售20件，售价每降低1元，每天可多售出2件.为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减 少库存，若销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.数形结合思想某厂家2026年1~5月的自行车产量统计图如图所示，其中3月自行车产量不小心被 墨汁覆盖.若2~4月该厂家自行车产量的月增长率相同，则3月自行车产量为 产量/辆 A.218辆 500 400 450 B.240辆 300 200180 288. C.256辆 200 100-寸 D.272辆 012345月份 (第4题) 5.某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件.通过调查发现，该商品若每 件涨价0.5元，其销量就减少10件.要想每天的利润达到700元，则售价应为 A.10元 B.13元 C.15元 D.13元或15元 6.[2025东莞期中]小明妈妈在国庆节期间以155元/件的价格购进了一批商品，如果按标价 200元/件出售，那么每天可以售出20件.为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施， 经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1500元，为了满 足降价要求，小明妈妈应将商品打 折出售， 38 第二章一元二次方程 7.新青境生活实际在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的 计息方式：单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息；复利法是指 每年依据本金和前期利息之和计算利息.小明准备用10000元购买该理财产品，银行提供如下 两种方案（年利率相同）：方案一：按单利法存2年；方案二：按复利法存2年.两年后，方案二得到 的本利和比方案一多100元，请计算年利率！ 8.数形结合思想体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球是学生必备的中考体育用 品.某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为100元，经统计， 4月份的销售量为250套，6月份的销售量为360套 (1)求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率. (2)经市场预测，若售价为129元，则7月份的销售量将与6月份持平，经调查发现，该套装的月 销量y(套)与每套的售价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示，为减少库存，商店决 定降价促销，该商店要想使月销售利润达到10800元，而且尽可能让学生得到实惠，这种跳绳和 排球套装每套应降价多少元？ y/套1 360- 160H 04 129139x7元 (第8题) 门三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐 年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人. (1)求该市参加健身运动人数的年平均增长率， (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从某公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买 不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，每套售价可降低40元，但最低售 价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数. “答案与解析”见P24 39