2.4 一元二次方程的应用——增长率问题、传播问题 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用（增长率、传播问题），分层设计从基础选择到综合解答，覆盖从单一公式到实际情境应用，适配新授课巩固与提升，培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式直接应用|中考/期末基础选择（如3月到5月产量增长列方程）| |中档|公式变式与多条件结合|增长率变化/传播模型变式（如两年不同增长率问题）| |综合|实际情境综合应用|跨情境解答题（如大闸蟹产量增长与费用最低问题）|

2.4 一元二次方程的应用——增长率问题、传播问题 考向1 增长率问题 1.（2026山西中考）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 2.（2025-2026学年池州期末）随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用一元二次方程求解即可，设第一季度成本为单位1，设下降百分率为x，根据题意列方程，舍去不符合题意的解即可得到结果． 【详解】解：设每个季度的下降百分率为，设第一季度制造成本为单位， ∵从第一季度到第三季度共经过个季度，且第三季度制造成本为第一季度的， ∴， 开方得， ∵下降率满足， ∴取正根得， 解得． 3.（2025-2026学年马鞍山期末）由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据月平均增长率分别表示出2月、3月的用电量，再结合第一季度总电量为三个月用电量之和列方程，进而得到正确选项． 【详解】解：∵设月平均增长率为，已知1月用电量为 亿千瓦时， ∴2月用电量为 亿千瓦时， ∴3月用电量为亿千瓦时， ∵第一季度总用电量为 亿千瓦时，是三个月用电量的和， ∴可得方程． 4.（2025-2026学年杭州期末）杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件表示出2026年的增长率，再依次推导各年研发经费，最终根据2026年研发经费列出方程． 【详解】解：∵设2025年研发经费的增长率为，2026年研发经费的增长率比2025年高， ∴2026年研发经费的增长率为． ∵2024年研发经费为2000万元， ∴2025年研发经费为万元， ∴2026年研发经费为万元． 又∵2026年研发经费为2310万元， ∴列方程得． 5.（2025-2026学年淮北期末）某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设前年该工厂的利润为单位，分别用两种方式表示今年的利润，根据相等关系列出方程即可． 【详解】设前年该工厂的利润为单位， ∵去年利润比前年减少，今年计划比去年增长， ∴今年计划完成后的利润为 ； ∵两年平均增长的百分数为，即从前年到今年经过两年平均增长，年均增长率为， ∴今年的利润也可表示为 ； 由于两种方式表示的今年利润相等，因此可得方程． 6.（2026东营中考）解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： （1）该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ （2）若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 【答案】（1） （2）购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 【解析】 【分析】（1）设平均每年增长的百分率为x，根据“该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．”列出方程，即可求解； （2）设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只，根据“购买母蟹的数量不少于公蟹数量的”列不等式求出m的取值范围，设购买费用为w元，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设平均每年增长的百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：平均每年增长的百分率为； 【小问2详解】 解：设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只， 根据题意得：， 解得：， 设购买费用为w元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴m的最大值为9， 当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 考向2 传播问题 1.（2026抚顺模拟）冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以，即可作答． 【详解】解：∵最初有人患流感， ∴第一轮传染后，患病人数为， ∴第二轮传染后，患病人数为 ∵两轮传染后该班级共有32人患流感， ∴可列方程为． 2.（2025-2026学年云南月考）2025年4月，某区举办了“云南村T——有一种叫云南的时尚”美育时尚展演活动，并发起了邀请一定数量的好友“转发”海报得门票的活动．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，如果收到小昆邀请的人也同样参与了活动并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 根据转发规则，从小昆开始，第一轮他邀请x人，第二轮第一轮被邀请的x人每人再邀请x人，故两轮后总人数为小昆自己、第一轮被邀请者和第二轮被邀请者之和，即，据此列方程． 【详解】解：设每人转发x人， ∵第一轮后人数为（小昆及第一轮被邀请者）， ∵第二轮新增人数为（第一轮被邀请者每人邀请x人）， ∴两轮后总人数为， ∴方程为． 故选：B． 3.（2026东营二模）春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设主干长出支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21列方程即可． 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 4.（2026重庆二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感． A. 8 B. 9 C. 648 D. 729 【答案】D 【解析】 【分析】先列方程求出每轮平均传染人数，那么第一轮后患病总人数为，第二轮新增患病人数为，根据“经过两轮传染后共有81个人患流感”，列出方程解得后再计算第三轮传染后的总患病人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， ， 整理得， 解得或， ∵传染人数不能为负数， ∴不符合题意，舍去， 则第三轮传染后总患病人数为（人）． 5.（2026临汾一模）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 6.（2025-2026学年邢台阶段检测）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” （1）______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； （2）丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 【答案】（1）甲和乙 （2）丙的说法不正确 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据每一个人每周能够号召个人参加列出代数式求解即可得； （2）根据题意建立方程，解方程，结合为正整数求解即可得． 【小问1详解】 解：由题意可知，第一周结束后，包括小颖在内有人参加了“传递正能量志愿服务者”， 第二周新参加“传递正能量志愿服务者”的有人， 所以甲和乙的说法都正确， 故答案为：甲和乙． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 又∵是正整数， ∴不符合题意， 所以丙的说法不正确． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 一元二次方程的应用——增长率问题、传播问题 考向1 增长率问题 1.（2026山西中考）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 2.（2025-2026学年池州期末）随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（ ） A. B. C. D. 3.（2025-2026学年马鞍山期末）由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4.（2025-2026学年杭州期末）杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（ ） A. B. C. D. 5.（2025-2026学年淮北期末）某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6.（2026东营中考）解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： （1）该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ （2）若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 考向2 传播问题 1.（2026抚顺模拟）冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 2.（2025-2026学年云南月考）2025年4月，某区举办了“云南村T——有一种叫云南的时尚”美育时尚展演活动，并发起了邀请一定数量的好友“转发”海报得门票的活动．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，如果收到小昆邀请的人也同样参与了活动并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 3.（2026东营二模）春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 4.（2026重庆二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感． A. 8 B. 9 C. 648 D. 729 5.（2026临汾一模）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 6.（2025-2026学年邢台阶段检测）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” （1）______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； （2）丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 学科网（北京）股份有限公司 $