第12讲 鸡兔同笼问题及其假设法推广（奥数培优讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

奥数培优讲义 第12讲 鸡兔同笼问题及其假设法推广 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 欢迎进入苏教版六年级上册奥数培优的世界。编写这份《鸡兔同笼问题及其假设法推广》讲义，并非仅为了让大家掌握一道经典古题的解法，而是希望引导你们透过现象看本质，领悟数学中极具威力的“假设法”思维模型。 从基础的鸡兔脚数差异，到考试得分扣分、货物运输赔偿、钱币面值组合，看似千变万化的题目背后，都隐藏着相同的逻辑内核：通过假设极端情况，制造“理想”与“现实”的差值，再利用单位差量进行精准替换。这种化繁为简、以静制动的思维方式，是解决复杂应用题的金钥匙。 在后续的学习中，请重点关注“单份差量”的计算，尤其是涉及倒扣、赔偿等易错环节。希望你们不仅能熟练运用公式，更能享受逻辑推理带来的乐趣，将这一方法灵活迁移至更广阔的数学领域，从容应对各类挑战。 考点梳理 1. 基础鸡兔同笼模型 问题原型：笼子里有鸡和兔若干只，从上面数有总头数，从下面数有总脚数。鸡1头2脚，兔1头4脚，求鸡、兔各多少只。 核心思想：假设法。先假设全部是同一种动物，算出假设总脚数，对比实际总脚数，找到差值，分析每替换一只动物带来的脚数变化，求出另一种动物数量。 两个基础公式 假设全是兔： 假设全是鸡： 原理理解：假设和实际产生脚数差，原因是把鸡当成兔，每错看1只，脚就多算 只；把兔当成鸡，每错看1只，脚就少算2只。用总差值÷单只差量，得到需要替换的数量。 2. 假设法推广（奥数重点） 鸡兔同笼不只是鸡和兔子。只要有两类物品，每种物品有固定"特征量"，已知总数量、总特征量，都可以用假设法解决。 常见题型： 得失问题：答对得分、答错扣分（考试答题、生产零件合格/不合格） 钱币问题：两种面值硬币，已知总个数、总钱数 运输问题：完好收货款，损坏赔罚款 两种动物变形题：三轮车、自行车；大船、小船等 易错提醒：扣分类题目，单份差值不是简单相加，要仔细算！ 例：答对一题得5分，答错扣2分。把答错当成答对，每一题相差： 分（答对拿5分，答错不仅拿不到5，还要倒扣2，差距7分）。 3. 解题通用步骤 (1) 找出两类事物，确定各自的单位量； (2) 假设全部是其中一类，算出假设总量； (3) 求【假设总量与实际总量的差】； (4) 求单个事物的数量差（最容易出错）； (5) 另一类数量 = 总差值 ÷ 单个差； (6) 求第一类数量，检验。 4. 检验方法 算出两种数量后，代入原题，重新计算总特征量，和题目给的总数一致，答案正确。 例题讲解 【典型例题1】 笼子里鸡和兔一共35只，一共有94条腿。鸡和兔各有多少只？ 【详解】 方法：假设全是鸡。 假设35只全是鸡，总腿数：（条） 实际腿数94条，比假设多：（条） 每把1只鸡换成1只兔子，腿增加：（条） 兔子数量：（只） 鸡的数量：（只） 检验：（条），符合题意。 【答案】鸡23只，兔12只。 【跟踪训练1】 鸡兔同笼，共有20个头，56条腿。鸡、兔各几只？ 【详解】 假设全部是鸡，总腿数：（条） 腿相差：（条） 每换一只增加腿：（条） 兔：（只） 鸡：（只） 检验： 【答案】鸡12只，兔8只。 【典型例题2】 数学竞赛一共20道题，答对一题得5分，答错一题倒扣3分。小明全部做完，得了60分，他答对几道题？ 【详解】 这是鸡兔同笼推广——得失问题。 假设20题全部答对，总分：（分） 实际分数60分，相差：（分） 注意：答对得5分，答错扣3分。把答错看成答对，每题相差： 分。 答错题目：（道） 答对题目：（道） 检验： 分，正确。 【答案】答对15道。 【跟踪训练2】 一张试卷共25道题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，小华做完得70分。小华做对多少题？ 【详解】 假设全部做对，总分： 分 分数差： 分 每错一题相差： 分 做错：（道） 做对：（道） 检验： 【答案】做对19道。 【典型例题3】 有2元和5元纸币一共30张，总价值99元。2元、5元纸币各多少张？ 【详解】 假设全部是2元纸币。 总钱数： 元 钱数差： 元 一张5元当成2元，每张少： 元 5元张数：（张） 2元张数：（张） 检验： 元 【答案】2元17张，5元13张。 【跟踪训练3】 1元和5角硬币一共40枚，总钱数32元。1元、5角硬币各多少枚？ 【详解】 统一单位：5角=0.5元。 假设全部是1元，总钱数： 元 差额： 元 每枚5角看成1元，多算： 元 5角硬币：（枚） 1元硬币：（枚） 检验： 元 【答案】1元24枚，5角16枚。 【典型例题4】 运输队运送一批玻璃共100块，每运一块完好得运费5元，如果打碎一块，不仅没有运费，还要赔偿8元。最后运费一共409元。打碎了几块玻璃？ 【详解】 假设100块全部完好送达。 总运费： 元 差额： 元 打碎一块对比完好：少拿5元+赔8元，相差 元 打碎数量：（块） 检验：完好 块， 元，符合题意。 【答案】打碎7块。 【跟踪训练4】 工厂加工零件200个，合格零件每个赚加工费4元，不合格零件不仅没有加工费，还要扣6元。加工完成一共收入620元。不合格零件有多少个？ 【详解】 假设全部合格：总收入 元 差额： 元 不合格对比合格：相差 元 不合格数量：（个） 检验：合格 个， 元 【答案】不合格18个。 【典型例题5】 大船限坐6人，小船限坐4人。46名同学租10条船，每条船刚好坐满。大船、小船各租几条？ 【详解】 假设全部租小船：一共坐 人 人数差： 人 每条大船比小船多坐： 人 大船数量：（条） 小船数量：（条） 检验： 人 【答案】大船3条，小船7条。 【跟踪训练5】 停车场有自行车（2轮）和三轮车（3轮）一共22辆，车轮一共51个。自行车、三轮车各多少辆？ 【详解】 假设全部是自行车：总轮子 个 轮子差： 个 每辆三轮车比自行车多1轮。 三轮车： 辆 自行车： 辆 检验： 【答案】自行车15辆，三轮车7辆。 提升练习 练习1 鸡兔同笼，共有45个头，146条腿。鸡、兔各多少只？ 【详解】 假设全是鸡，总腿数：（条） 腿差：（条） 每替换一只增加腿：（条） 兔：（只） 鸡：（只） 检验： 【答案】鸡17只，兔28只。 练习2 鸡兔同笼，兔比鸡少10只，总腿数110条。鸡、兔各多少只？ 【详解】 去掉多出来的10只鸡，减少腿： 条，剩余腿 条。 此时鸡兔数量相等，把1鸡1兔分成一组，每组腿： 条。 组数： 组 → 兔15只，鸡： 只。 检验： 【答案】鸡25只，兔15只。 练习3 一次数学抢答比赛共15题，答对一题得8分，答错一题倒扣4分，小强全部答完，得84分。他答对几题？ 【详解】 假设全部答对： 分 分数差： 分 答错一题相差： 分 答错：（道） 答对：（道） 检验： 【答案】答对12道。 练习4 有1角和5角硬币共36枚，一共价值10元。两种硬币各多少枚？ 【详解】 统一单位：10元=100角。 假设全是1角：总钱 角 差额： 角 每枚5角比1角多 角 5角： 枚，1角： 枚 检验： 角 【答案】1角20枚，5角16枚。 练习5 工地运砂石，一共运40车，完好运到一车得运费12元，翻车一车不仅没有运费，还要赔偿28元。最终收到运费320元。翻车多少车？ 【详解】 假设全部完好： 元 差额： 元 翻车一车相差： 元 翻车：（车） 检验：完好 车， 【答案】翻车4车。 练习6 停车场停着轿车（4轮）和摩托车（2轮）共35辆，轮子一共110个。轿车、摩托车各几辆？ 【详解】 假设全是摩托车：轮子 个 轮子差： 个 每辆轿车多 轮 轿车： 辆，摩托车： 辆 检验： 【答案】轿车20辆，摩托车15辆。 练习7 春游租船，大船限坐8人，小船限坐5人。一共租12条船，78人全部坐满。大船、小船各几条？ 【详解】 假设全是小船： 人 人数差： 人 每条大船多 人 大船： 条，小船： 条 检验： 【答案】大船6条，小船6条。 练习8 钢笔每支8元，圆珠笔每支3元，一共买22支笔，花了111元。钢笔、圆珠笔各买几支？ 【详解】 假设全部买圆珠笔： 元 差额： 元 每支钢笔贵 元 钢笔： 支，圆珠笔： 支 检验： 【答案】钢笔9支，圆珠笔13支。 练习9 数学单元练习共30道题，做对一题得3分，不做扣1分，小明得66分，所有题目只有做对和不做两种情况。小明做对几道？ 【详解】 假设全部做对： 分 分数差： 分 不做一题相差： 分 不做： 道，做对： 道 检验： 【答案】做对24道。 练习10 有三轮车和四轮货车一共18辆，车轮共64个。三轮车、四轮车各多少辆？ 【详解】 假设全是三轮车： 轮 轮子差： 轮 每辆四轮车多 轮 四轮车： 辆，三轮车： 辆 检验： 【答案】三轮车8辆，四轮车10辆。 练习11 果园采摘苹果，一共摘25筐，完好一筐卖60元，磕碰一筐只能卖30元，全部卖掉一共收入1200元。磕碰的苹果有几筐？ 【详解】 假设全部完好： 元 差额： 元 每筐磕碰少收入： 元 磕碰： 筐 检验：完好 筐， 【答案】磕碰10筐。 练习12 储蓄罐中有5元和10元纸币共24张，合计170元。5元、10元纸币各多少张？ 【详解】 假设全是5元： 元 差额： 元 每张10元多 元 10元： 张，5元： 张 检验： 【答案】5元14张，10元10张。 练习13 鸡兔同笼，鸡比兔多15只，总腿数180条。鸡兔各多少只？ 【详解】 拿走多的15只鸡，腿减少： 条，剩余腿： 条。 鸡兔数量相同，一组（1鸡1兔）腿6条。 组数： 组 → 兔25只，鸡： 只。 检验： 【答案】鸡40只，兔25只。 练习14 工人制作工艺品45件，成功一件得工钱16元，失败一件倒扣8元。完工一共得到工钱528元。失败几件？ 【详解】 假设全部成功： 元 差额： 元 失败一件相差： 元 失败： 件 检验：成功 件， 【答案】失败8件。 练习15 班级购买笔记本，大本每本5元，小本每本2元，一共买30本，花99元。大本、小本各几本？ 【详解】 假设全部小本： 元 差额： 元 大本每本贵 元 大本： 本，小本： 本 检验： 【答案】大本13本，小本17本。 练习16 自行车赛场有两轮车和独轮车共26辆，车轮总数38个。独轮车、两轮车各几辆？ 【详解】 假设全是独轮车：轮子 个 轮子差： 个 每辆两轮车多 轮 两轮车： 辆，独轮车： 辆 检验： 【答案】独轮车14辆，两轮车12辆。 练习17 知识竞赛22道题，答对一题得10分，答错倒扣5分。小明答完所有题目，得145分，答对多少题？ 【详解】 假设全部答对： 分 分数差： 分 答错一题相差： 分 答错： 道，答对： 道 检验： 【答案】答对17道。 练习18 运输队运送瓷器50个，完好运到每个运费8元，打碎一个赔12元。最后收到运费320元。打碎几个瓷器？ 【详解】 假设全部完好： 元 差额： 元 打碎一个相差： 元 打碎： 个 检验：完好 个， 【答案】打碎4个。 练习19 水果店购进苹果和梨一共42箱，苹果每箱重25千克，梨每箱重17千克，总重量914千克。苹果、梨各多少箱？ 【详解】 假设全是梨： 千克 重量差： 千克 每箱苹果多 千克 苹果： 箱，梨： 箱 检验： 【答案】苹果25箱，梨17箱。 练习20 有20元和50元纸币共19张，总金额650元。20元、50元各多少张？ 【详解】 假设全部是20元： 元 差额： 元 每张50元多 元 50元： 张，20元： 张 检验： 【答案】20元10张，50元9张。 模拟赛场 【奥数题1】鸡兔同笼，共有100只。鸡的脚比兔的脚多80只。鸡、兔各多少只？ 【详解】 假设全部是鸡，总脚： 只。此时鸡脚比兔脚多200只。 题目鸡脚只比兔脚多80只，差值多了： 只。 每把一只鸡换成兔子：鸡脚减少2，兔脚增加4，鸡脚与兔脚的差减少 只。 需要替换： 只 → 兔20只，鸡： 只。 检验：鸡脚 ；兔脚 ；，符合题意。 【答案】鸡80只，兔20只。 【奥数题2】蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿2对翅膀，蝉6条腿1对翅膀。三种小虫共21只，腿共140条，翅膀共23对。三种小虫各几只？ 【详解】 第一步：先按腿分类，蜻蜓和蝉都是6条腿，蜘蛛8条腿。假设全部6条腿。 总腿： 条，腿差： 条。 蜘蛛： 只。 蜻蜓+蝉： 只。 第二步：对蜻蜓、蝉用假设法（翅膀）。假设14只全是蝉，翅膀 对。 翅膀差： 对。蜻蜓比蝉多1对翅膀。 蜻蜓： 只；蝉： 只。 检验：总数 ；腿 ；翅膀 。 【答案】蜘蛛7只，蜻蜓9只，蝉5只。 【奥数题3】甲乙两人进行射击比赛，规定每打中一发得20分，脱靶一发倒扣12分。两人各打10发，合计得分208分，甲比乙多得64分。甲、乙两人各打中多少发？ 【详解】 先分别算出甲乙得分： 甲得分： 分 乙得分： 分 计算甲打中数量：假设甲10发全中： 分 分数差： 分 脱靶1发相差： 分 甲脱靶： 发，打中： 发。 计算乙打中数量：假设乙10发全中： 分 分数差： 分 乙脱靶： 发，打中： 发。 检验：甲得分 ；乙得分 ；总分 ，甲比乙多64分，符合条件。 【答案】甲打中8发，乙打中6发。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第12讲 鸡兔同笼问题及其假设法推广 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 欢迎进入苏教版六年级上册奥数培优的世界。编写这份《鸡兔同笼问题及其假设法推广》讲义，并非仅为了让大家掌握一道经典古题的解法，而是希望引导你们透过现象看本质，领悟数学中极具威力的“假设法”思维模型。 从基础的鸡兔脚数差异，到考试得分扣分、货物运输赔偿、钱币面值组合，看似千变万化的题目背后，都隐藏着相同的逻辑内核：通过假设极端情况，制造“理想”与“现实”的差值，再利用单位差量进行精准替换。这种化繁为简、以静制动的思维方式，是解决复杂应用题的金钥匙。 在后续的学习中，请重点关注“单份差量”的计算，尤其是涉及倒扣、赔偿等易错环节。希望你们不仅能熟练运用公式，更能享受逻辑推理带来的乐趣，将这一方法灵活迁移至更广阔的数学领域，从容应对各类挑战。 考点梳理 1. 基础鸡兔同笼模型 问题原型：笼子里有鸡和兔若干只，从上面数有总头数，从下面数有总脚数。鸡1头2脚，兔1头4脚，求鸡、兔各多少只。 核心思想：假设法。先假设全部是同一种动物，算出假设总脚数，对比实际总脚数，找到差值，分析每替换一只动物带来的脚数变化，求出另一种动物数量。 两个基础公式 假设全是兔： 假设全是鸡： 原理理解：假设和实际产生脚数差，原因是把鸡当成兔，每错看1只，脚就多算 只；把兔当成鸡，每错看1只，脚就少算2只。用总差值÷单只差量，得到需要替换的数量。 2. 假设法推广（奥数重点） 鸡兔同笼不只是鸡和兔子。只要有两类物品，每种物品有固定"特征量"，已知总数量、总特征量，都可以用假设法解决。 常见题型： 得失问题：答对得分、答错扣分（考试答题、生产零件合格/不合格） 钱币问题：两种面值硬币，已知总个数、总钱数 运输问题：完好收货款，损坏赔罚款 两种动物变形题：三轮车、自行车；大船、小船等 易错提醒：扣分类题目，单份差值不是简单相加，要仔细算！ 例：答对一题得5分，答错扣2分。把答错当成答对，每一题相差： 分（答对拿5分，答错不仅拿不到5，还要倒扣2，差距7分）。 3. 解题通用步骤 (1) 找出两类事物，确定各自的单位量； (2) 假设全部是其中一类，算出假设总量； (3) 求【假设总量与实际总量的差】； (4) 求单个事物的数量差（最容易出错）； (5) 另一类数量 = 总差值 ÷ 单个差； (6) 求第一类数量，检验。 4. 检验方法 算出两种数量后，代入原题，重新计算总特征量，和题目给的总数一致，答案正确。 例题讲解 【典型例题1】 笼子里鸡和兔一共35只，一共有94条腿。鸡和兔各有多少只？ 【跟踪训练1】 鸡兔同笼，共有20个头，56条腿。鸡、兔各几只？ 【典型例题2】 数学竞赛一共20道题，答对一题得5分，答错一题倒扣3分。小明全部做完，得了60分，他答对几道题？ 【跟踪训练2】 一张试卷共25道题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，小华做完得70分。小华做对多少题？ 【典型例题3】 有2元和5元纸币一共30张，总价值99元。2元、5元纸币各多少张？ 【跟踪训练3】 1元和5角硬币一共40枚，总钱数32元。1元、5角硬币各多少枚？ 【典型例题4】 运输队运送一批玻璃共100块，每运一块完好得运费5元，如果打碎一块，不仅没有运费，还要赔偿8元。最后运费一共409元。打碎了几块玻璃？ 【跟踪训练4】 工厂加工零件200个，合格零件每个赚加工费4元，不合格零件不仅没有加工费，还要扣6元。加工完成一共收入620元。不合格零件有多少个？ 【典型例题5】 大船限坐6人，小船限坐4人。46名同学租10条船，每条船刚好坐满。大船、小船各租几条？ 【跟踪训练5】 停车场有自行车（2轮）和三轮车（3轮）一共22辆，车轮一共51个。自行车、三轮车各多少辆？ 提升练习 练习1 鸡兔同笼，共有45个头，146条腿。鸡、兔各多少只？ 练习2 鸡兔同笼，兔比鸡少10只，总腿数110条。鸡、兔各多少只？ 练习3 一次数学抢答比赛共15题，答对一题得8分，答错一题倒扣4分，小强全部答完，得84分。他答对几题？ 练习4 有1角和5角硬币共36枚，一共价值10元。两种硬币各多少枚？ 练习5 工地运砂石，一共运40车，完好运到一车得运费12元，翻车一车不仅没有运费，还要赔偿28元。最终收到运费320元。翻车多少车？ 练习6 停车场停着轿车（4轮）和摩托车（2轮）共35辆，轮子一共110个。轿车、摩托车各几辆？ 练习7 春游租船，大船限坐8人，小船限坐5人。一共租12条船，78人全部坐满。大船、小船各几条？ 练习8 钢笔每支8元，圆珠笔每支3元，一共买22支笔，花了111元。钢笔、圆珠笔各买几支？ 练习9 数学单元练习共30道题，做对一题得3分，不做扣1分，小明得66分，所有题目只有做对和不做两种情况。小明做对几道？ 练习10 有三轮车和四轮货车一共18辆，车轮共64个。三轮车、四轮车各多少辆？ 练习11 果园采摘苹果，一共摘25筐，完好一筐卖60元，磕碰一筐只能卖30元，全部卖掉一共收入1200元。磕碰的苹果有几筐？ 练习12 储蓄罐中有5元和10元纸币共24张，合计170元。5元、10元纸币各多少张？ 练习13 鸡兔同笼，鸡比兔多15只，总腿数180条。鸡兔各多少只？ 练习14 工人制作工艺品45件，成功一件得工钱16元，失败一件倒扣8元。完工一共得到工钱528元。失败几件？ 练习15 班级购买笔记本，大本每本5元，小本每本2元，一共买30本，花99元。大本、小本各几本？ 练习16 自行车赛场有两轮车和独轮车共26辆，车轮总数38个。独轮车、两轮车各几辆？ 练习17 知识竞赛22道题，答对一题得10分，答错倒扣5分。小明答完所有题目，得145分，答对多少题？ 练习18 运输队运送瓷器50个，完好运到每个运费8元，打碎一个赔12元。最后收到运费320元。打碎几个瓷器？ 练习19 水果店购进苹果和梨一共42箱，苹果每箱重25千克，梨每箱重17千克，总重量914千克。苹果、梨各多少箱？ 练习20 有20元和50元纸币共19张，总金额650元。20元、50元各多少张？ 模拟赛场 【奥数题1】鸡兔同笼，共有100只。鸡的脚比兔的脚多80只。鸡、兔各多少只？ 【奥数题2】蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿2对翅膀，蝉6条腿1对翅膀。三种小虫共21只，腿共140条，翅膀共23对。三种小虫各几只？ 【奥数题3】甲乙两人进行射击比赛，规定每打中一发得20分，脱靶一发倒扣12分。两人各打10发，合计得分208分，甲比乙多得64分。甲、乙两人各打中多少发？ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $