第3讲 工程问题（奥数培优讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

第3讲 工程问题 考点梳理 工程问题是分数应用题中的重要类型，其核心在于将具体的工作量抽象化。在不列方程的前提下，我们需要熟练掌握以下基本概念和数量关系： 1. 基本公式 (1) 工作总量：通常看作单位“1”。如果题目给出了具体数量（如修路多少米），则工作总量为该具体数值。 (2) 工作效率：单位时间内完成的工作量。 1　 若甲单独做 天完成，则甲的效率为 。 2　 若乙单独做 天完成，则乙的效率为 。 (3) 工作时间：完成工作所需的时长。 1　 基本关系式： 2　 变形公式： 2. 核心解题策略 (1) “单位1”法：当工作总量未知时，设为“1”。这是解决此类问题最通用的方法。 (2) 合作效率：多人合作时，总效率等于各人效率之和。即 (3) 剩余工作量： 。通常用于处理“先做几天，再由其他人接着做”的情况。 3. 常见模型 (1) 普通合作：甲乙同时开始，同时结束。 (2) 轮流工作：甲做一段时间，乙做一段时间，循环进行。需注意周期内的总效率和剩余工作量的处理。 (3) 中途变动：某人中途休息或加入，需分段计算工作量。 (4) 水管问题：进水管效率为正，出水管效率为负（排水）。净效率 = 进水效率 - 出水效率。 例题讲解 【典型例题1】基础合作与剩余问题 题目：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。现在甲先做2天，然后乙加入一起做，还需要多少天才能完成这项工程？ 【思路分析】 设工作总量为1。 甲的效率是 ，乙的效率是 。 甲先做2天，完成了 。 剩余工作量为 。 甲乙合作的效率和为 。 所需时间 = 剩余工作量 合作效率。 【详解】 【答案】 还需要4.8天。 【跟踪训练1】 一批零件，师傅单独加工需要12小时，徒弟单独加工需要18小时。师傅先加工了3小时，剩下的由徒弟单独完成，徒弟还需要多少小时？ 【详解】 师傅3小时完成： 剩余工作量： 徒弟所需时间： 【答案】 13.5小时 【典型例题2】三人合作与中途退出 题目：一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需15天，丙单独做需20天。三人合做2天后，甲因事离开，乙和丙继续合作，问完成这项工程共用了多少天？ 【思路分析】 分别求出甲、乙、丙的效率： 。 计算三人合作2天的工作量。 计算剩余工作量。 计算乙丙合作的效率和。 求乙丙完成剩余工作所需的时间。 总时间 = 已做的2天 + 乙丙后续做的天数。 【详解】 三人的效率和： 三人合作2天完成的工作量： 剩余工作量： 乙丙的效率和： 乙丙完成剩余工作所需时间： 总共用时： 【答案】 共用了 天。 【跟踪训练2】 修一条公路，甲队单独修需10天，乙队单独修需12天，丙队单独修需15天。三队合修2天后，丙队调走，剩下的由甲、乙两队合修，还要几天修完？ 【详解】 三队效率和： 2天完成： 剩余： 甲乙效率和： 还需时间： 【答案】 天 【典型例题3】水管问题（进出水） 题目：一个水池，单开进水管A，4小时可注满；单开进水管B，6小时可注满；单开出水管C，8小时可将满池水放完。如果同时打开A、B、C三管，多少小时可以注满水池？ 【思路分析】 进水管效率为正，出水管效率为负。 A效率 ，B效率 ，C效率 （视为负值）。 净效率 = A效率 + B效率 - C效率。 时间 = 总量1 净效率。 【详解】 每小时净注水量： 通分（最小公倍数24）： 注满所需时间： 【答案】 小时。 【跟踪训练3】 某水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管。单开甲管10分钟注满，单开乙管15分钟注满，单开丙管20分钟排完。若三管齐开，多少分钟能注满半池水？ 【详解】 每分钟净注水效率： 目标工作量： 所需时间： 【答案】 分钟 培优练习 1. 打印一份稿件，小明单独打需6小时，小红单独打需8小时。两人合打2小时后，还剩几分之几没打？ 【详解】 效率和 。2小时完成 。剩余 。 【答案】 2. 一项工程，甲独做10天完成，乙独做15天完成。甲先做3天，余下的由乙独做，乙需几天完成？ 【详解】 甲完成 ，剩 。乙需 天。 【答案】 10.5天 3. 加工一批零件，王师傅每小时加工总数的 ，李师傅每小时加工总数的 。两人合作3小时，共加工了这批零件的几分之几？ 【详解】 效率和 。3小时完成 。 【答案】 4. 一项工程，甲乙合做6天完成，甲独做10天完成。乙独做需几天完成？ 【详解】 乙效率 = 合效 - 甲效 = 。乙需 天。 【答案】 15天 5. 水池有一进水管和一出水管。单开进水管5小时注满，单开出水管8小时放完。两管齐开，几小时注满？ 【详解】 净效率 。时间 小时。 【答案】 小时 6. 一项工作，甲做3天，乙做5天，完成全工程的 ；甲做5天，乙做3天，完成全工程的 。甲乙合做需几天完成？ 【详解】 两次相加：甲8天+乙8天 = 。甲乙1天和 = 。合做需 天。 【答案】 9.6天 7. 师徒二人共同加工一批零件，师傅单独做需10小时，徒弟单独做需15小时。完工时师傅比徒弟多加工了60个。这批零件共有多少个？ 【详解】 时间相同，效率比=工作量比。师:徒 = 。总份数5份，师占3份，徒占2份，差1份。1份对应60个。总数 个。 【答案】 300个 8. 一项工程，甲乙丙三人合做6天完成。已知甲独做需15天，乙独做需20天。丙独做需几天？ 【详解】 丙效率 = 。丙需20天。 【答案】 20天 9. 修一段路，甲队独修12天完成，乙队独修18天完成。两队合修4天后，甲队撤走，乙队还要修几天？ 【详解】 合效 。4天完成 。剩 。乙需 天。 【答案】 8天 10. 一件工作，甲独做需 天，乙独做需 天。两人合做需几天？（用字母表示） 【详解】 效率和 。时间 。 【答案】 天 11. 一项工程，甲先做2天，乙再做3天，完成全工程的 ；甲再做3天，乙再做2天，又完成全工程的 。甲乙合做需几天？ 【详解】 相当于甲5天乙5天完成 。甲乙1天和 。合做需10天。 【答案】 10天 12. 水池装有甲、乙两个进水管。单开甲管12分钟注满，单开乙管18分钟注满。现两管齐开4分钟后，关闭甲管，乙管还需几分钟注满？ 【详解】 合效 。4分钟完成 。剩 。乙需 分钟。 【答案】 8分钟 13. 一项工程，甲乙合做10天完成，乙丙合做12天完成，甲丙合做15天完成。甲乙丙三人合做需几天？ 【详解】 (甲+乙)+(乙+丙)+(甲+丙) = 。效率和 。三人效率和 。需8天。 【答案】 8天 14. 某项工作，甲单独做需20天，乙单独做需30天。现由甲先做若干天，然后乙接着做完，共用25天。甲做了几天？ 【详解】 假设全是乙做，完成 ，少 。甲每天比乙多做 。甲天数 天。 【答案】 10天 15. 一项工程，甲独做10天完成，乙独做15天完成。若甲先做5天，然后乙加入，还需几天完成？ 【详解】 甲5天完成 ，剩 。合效 。需 天。 【答案】 3天 16. 一个水池，单开A管10小时注满，单开B管15小时注满，单开C管20小时放完。先开A、B管2小时，再打开C管，还需几小时注满？ 【详解】 前2小时注入 。剩 。三管齐开净效 。需 小时。 【答案】 小时 17. 一项工程，甲乙丙三人合做6天完成。如果甲做3天，乙做7天，丙做9天，也正好完成。已知甲3天的工作量等于乙2天的工作量。丙独做需几天？ 【详解】 甲3天=乙2天 甲效:乙效=2:3。设甲效2k, 乙效3k。 原式： 。 又知 。 联立： 。 代入 。 丙效 ，需36天。 【答案】 36天 18. 加工一批零件，第一天加工了总数的 ，第二天加工了余下的 ，第三天加工了再余下的 ，这时还剩120个。这批零件共有多少个？ 【详解】 逆推法。 第三天加工前剩余： 。 第二天加工前剩余： 。 总数： 。 【答案】 300个 19. 一项工程，甲队单独做需12天，乙队单独做需18天。现在要求8天完成，甲队必须全程参与，乙队只需参与几天？ 【详解】 甲8天完成 。剩 由乙做。乙需 天。 【答案】 6天 20. 水池有甲、乙、丙三根水管。甲、乙同开2小时注满 ；乙、丙同开2小时注满余下的 ；甲、丙同开5小时注满剩下的。若三管齐开，几小时注满？ 【详解】 甲+乙效率： 余下 。乙+丙完成 。 乙+丙效率： 再余下 。甲+丙完成 。 甲+丙效率： 三管效率和 。 三管效率和 。 时间 小时。 【答案】 5小时 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 工程问题 考点梳理 工程问题是分数应用题中的重要类型，其核心在于将具体的工作量抽象化。在不列方程的前提下，我们需要熟练掌握以下基本概念和数量关系： 1. 基本公式 (1) 工作总量：通常看作单位“1”。如果题目给出了具体数量（如修路多少米），则工作总量为该具体数值。 (2) 工作效率：单位时间内完成的工作量。 1　 若甲单独做 天完成，则甲的效率为 。 2　 若乙单独做 天完成，则乙的效率为 。 (3) 工作时间：完成工作所需的时长。 1　 基本关系式： 2　 变形公式： 2. 核心解题策略 (1) “单位1”法：当工作总量未知时，设为“1”。这是解决此类问题最通用的方法。 (2) 合作效率：多人合作时，总效率等于各人效率之和。即 (3) 剩余工作量： 。通常用于处理“先做几天，再由其他人接着做”的情况。 3. 常见模型 (1) 普通合作：甲乙同时开始，同时结束。 (2) 轮流工作：甲做一段时间，乙做一段时间，循环进行。需注意周期内的总效率和剩余工作量的处理。 (3) 中途变动：某人中途休息或加入，需分段计算工作量。 (4) 水管问题：进水管效率为正，出水管效率为负（排水）。净效率 = 进水效率 - 出水效率。 例题讲解 【典型例题1】基础合作与剩余问题 题目：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。现在甲先做2天，然后乙加入一起做，还需要多少天才能完成这项工程？ 【跟踪训练1】 一批零件，师傅单独加工需要12小时，徒弟单独加工需要18小时。师傅先加工了3小时，剩下的由徒弟单独完成，徒弟还需要多少小时？ 【典型例题2】三人合作与中途退出 题目：一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需15天，丙单独做需20天。三人合做2天后，甲因事离开，乙和丙继续合作，问完成这项工程共用了多少天？ 【跟踪训练2】 修一条公路，甲队单独修需10天，乙队单独修需12天，丙队单独修需15天。三队合修2天后，丙队调走，剩下的由甲、乙两队合修，还要几天修完？ 【典型例题3】水管问题（进出水） 题目：一个水池，单开进水管A，4小时可注满；单开进水管B，6小时可注满；单开出水管C，8小时可将满池水放完。如果同时打开A、B、C三管，多少小时可以注满水池？ 【跟踪训练3】 某水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管。单开甲管10分钟注满，单开乙管15分钟注满，单开丙管20分钟排完。若三管齐开，多少分钟能注满半池水？ 培优练习 1. 打印一份稿件，小明单独打需6小时，小红单独打需8小时。两人合打2小时后，还剩几分之几没打？ 2. 一项工程，甲独做10天完成，乙独做15天完成。甲先做3天，余下的由乙独做，乙需几天完成？ 3. 加工一批零件，王师傅每小时加工总数的 ，李师傅每小时加工总数的 。两人合作3小时，共加工了这批零件的几分之几？ 4. 一项工程，甲乙合做6天完成，甲独做10天完成。乙独做需几天完成？ 5. 水池有一进水管和一出水管。单开进水管5小时注满，单开出水管8小时放完。两管齐开，几小时注满？ 6. 一项工作，甲做3天，乙做5天，完成全工程的 ；甲做5天，乙做3天，完成全工程的 。甲乙合做需几天完成？ 7. 师徒二人共同加工一批零件，师傅单独做需10小时，徒弟单独做需15小时。完工时师傅比徒弟多加工了60个。这批零件共有多少个？ 8. 一项工程，甲乙丙三人合做6天完成。已知甲独做需15天，乙独做需20天。丙独做需几天？ 9. 修一段路，甲队独修12天完成，乙队独修18天完成。两队合修4天后，甲队撤走，乙队还要修几天？ 10. 一件工作，甲独做需 天，乙独做需 天。两人合做需几天？（用字母表示） 11. 一项工程，甲先做2天，乙再做3天，完成全工程的 ；甲再做3天，乙再做2天，又完成全工程的 。甲乙合做需几天？ 12. 水池装有甲、乙两个进水管。单开甲管12分钟注满，单开乙管18分钟注满。现两管齐开4分钟后，关闭甲管，乙管还需几分钟注满？ 13. 一项工程，甲乙合做10天完成，乙丙合做12天完成，甲丙合做15天完成。甲乙丙三人合做需几天？ 14. 某项工作，甲单独做需20天，乙单独做需30天。现由甲先做若干天，然后乙接着做完，共用25天。甲做了几天？ 15. 一项工程，甲独做10天完成，乙独做15天完成。若甲先做5天，然后乙加入，还需几天完成？ 16. 一个水池，单开A管10小时注满，单开B管15小时注满，单开C管20小时放完。先开A、B管2小时，再打开C管，还需几小时注满？ 17. 一项工程，甲乙丙三人合做6天完成。如果甲做3天，乙做7天，丙做9天，也正好完成。已知甲3天的工作量等于乙2天的工作量。丙独做需几天？ 18. 加工一批零件，第一天加工了总数的 ，第二天加工了余下的 ，第三天加工了再余下的 ，这时还剩120个。这批零件共有多少个？ 19. 一项工程，甲队单独做需12天，乙队单独做需18天。现在要求8天完成，甲队必须全程参与，乙队只需参与几天？ 20. 水池有甲、乙、丙三根水管。甲、乙同开2小时注满 ；乙、丙同开2小时注满余下的 ；甲、丙同开5小时注满剩下的。若三管齐开，几小时注满？ 学科网（北京）股份有限公司 $