第15讲 正比例与反比例的应用（奥数培优讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

奥数培优讲义 第15讲 正比例与反比例的应用 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 欢迎进入苏教版六年级上册奥数培优的关键章节——《正比例与反比例的应用》。编写这份讲义，不仅是为了让大家掌握“比值一定”或“乘积一定”的判断口诀，更是为了帮助你们建立透过现象看本质的变量思维。 在比例的世界里，“不变量”是解题的锚点。无论是速度、单价还是工作总量，只有精准锁定那个恒定不变的量，才能正确判断另外两个量是“同增同减”的正比例，还是“一增一减”的反比例。请务必警惕：相关联不等于成比例，如身高与年龄虽有关联，却无定值关系。这是许多同学容易陷入的思维误区。 从基础的路程、工程问题，到复杂的连比转化、分段混合题型，我们希望通过典型的例题与23道精选练习，训练你们“找定量、设未知、列等式”的标准化解题流程。特别是在奥数拓展中，学会将分数、倍数转化为比，利用反比关系处理速度与时间、效率与时间的关系，将是你们突破高分的关键。 愿你们在练习中，不再畏惧变量的变化，而是享受寻找不变规律的逻辑乐趣。以比例为尺，理清数量脉络，在数学思维的进阶之路上从容自信，游刃有余！ 考点梳理 1. 正比例和反比例的意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 （1）正比例 如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 关系式：（k为定值，k≠0） 判断口诀：同增同减，比值不变。 常见正比例： 速度一定，路程和时间成正比例； 单价一定，总价和数量成正比例； 工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例； 圆的周长与直径成正比例。 （2）反比例 如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 关系式：（k为定值，k≠0） 判断口诀：一增一减，乘积不变。 常见反比例： 路程一定，速度和时间成反比例； 总价一定，单价和数量成反比例； 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例； 长方形面积一定，长和宽成反比例。 重要提醒：不是所有相关联的量都成比例！ 例：人的身高与年龄、正方形的边长与面积，只是相关联，但比值、乘积都不是定值，不成比例。 2. 正反比例应用题解题步骤 (1) 找不变量（定量），判断两种相关联的量成正比例还是反比例； (2) 设未知数； (3) 根据比例关系列等式： 正比例：两组对应量的比值相等； 反比例：两组对应量的乘积相等； (4) 解方程； (5) 检验，写答句。 3. 正反比例奥数常用技巧 (1) 抓不变量：总量不变、单一量不变是比例应用题突破口； (2) 转化比例：把分数、倍数关系转化成比； (3) 多个量连比：遇到三个量，先写出连比，再按比例分配； (4) 正反比例混合题：分段分析，哪一段定量，就用哪一段的比例。 例题讲解 【典型例题1】（正比例应用） 一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，这辆汽车从甲地开往乙地一共行驶5小时，甲、乙两地相距多少千米？ 【详解】 速度不变，路程和时间成正比例。 解：设甲乙两地相距x千米。 答：甲、乙两地相距300千米。 【答案】300千米 【跟踪训练1】 一台织布机4小时织布48米，照这个速度，织布180米需要多少小时？ 【详解】 织布速度不变，织布总米数和时间成正比例。 解：设织布180米需要x小时。 答：织布180米需要15小时。 【答案】15小时 【典型例题2】（反比例应用） 从A地到B地，如果每小时行60千米，4小时可以到达。若要3小时到达，每小时需要行驶多少千米？ 【详解】 总路程不变，速度和时间成反比例。 解：设每小时行驶x千米。 答：每小时需要行驶80千米。 【答案】80千米 【跟踪训练2】 一批零件，如果每天加工30个，12天可以完成任务。如果每天加工40个，多少天可以完成？ 【详解】 零件总数量不变，每天加工数量和加工天数成反比例。 解：设x天可以完成。 答：9天可以完成。 【答案】9天 【典型例题3】（正反比例综合） 工程队修一条公路，原计划每天修45米，20天修完。实际前3天修了180米，照这样计算，修完这条公路一共需要多少天？ 【详解】 第一步：公路总长不变：米。 实际每天修路长度不变，修路总长度和时间成正比例。 解：设一共需要x天。 答：修完这条公路一共需要15天。 【答案】15天 【跟踪训练3】 一批煤，原计划每天烧2.4吨，30天烧完。实际前5天烧煤8吨，照这样计算，这批煤一共可以烧多少天？ 【详解】 煤的总吨数：吨。 实际每天烧煤量不变，总煤量和可烧天数成正比例。 解：设一共可以烧x天。 答：这批煤一共可以烧45天。 【答案】45天 【典型例题4】（稍难反比例：人数与天数） 一项工程，15人做，24天可以完成。若每人工作效率相同，现在增加5人，可以提前几天完成这项工程？ 【详解】 工作总量不变，人数和工作天数成反比例。 解：设增加5人后需要x天完成。 总人数：人 原来24天，提前天数：（天） 答：可以提前6天完成。 【答案】6天 【跟踪训练4】 一堆货物，用12辆卡车运，18天可以运完。如果减少3辆卡车，需要多少天才能运完？（每辆车运货量相同） 【详解】 货物总量不变，卡车数量和运货天数成反比例。 现在卡车数量：辆 解：设需要x天运完。 答：需要24天才能运完。 【答案】24天 【典型例题5】（比例转化，奥数拓展） 甲、乙两人的速度比是3:4，走同一段路程，甲、乙两人所用时间比是多少？ 【详解】 路程一定，速度和时间成反比例。 速度比：甲:乙 = 3:4 时间比 = 速度反比，所以甲时间:乙时间 = 4:3。 【答案】4:3 【跟踪训练5】 甲、乙两个工程队工作效率比是5:6，完成同样一项任务，甲、乙两队所用时间之比是多少？ 【详解】 工作总量相同，工作效率与工作时间成反比例。 效率比 甲:乙 = 5:6 时间比 甲:乙 = 6:5 【答案】6:5 提升练习 第1题 一辆汽车4小时行240千米，照这个速度行驶，7小时可以行驶多少千米？ 【详解】速度一定，路程与时间成正比例。 解：设7小时行驶千米。 【答案】420千米 第2题 一台打印机5分钟打印60张纸，照这样的速度，打印240张纸需要多少分钟？ 【详解】每分钟打印张数不变，总张数和时间成正比例。 解：设需要分钟。 【答案】20分钟 第3题 从甲地到乙地，若每小时行45千米，8小时到达。如果要6小时到达，每小时要行多少千米？ 【详解】总路程一定，速度和时间成反比例。 解：设每小时行千米。 【答案】60千米 第4题 一批手工制品，如果每人做25个，16人可以完成。如果每人做40个，需要多少人完成？ 【详解】制品总数量一定，每人做的数量和人数成反比例。 解：设需要人。 【答案】10人 第5题 工厂要生产一批零件，原计划每天生产50个，24天完成。实际前4天生产了240个，照这样计算，生产完全部零件一共要多少天？ 【详解】先求零件总数：个；实际工作效率不变，总数量和天数成正比例。 解：设一共需要天。 【答案】20天 第6题 一堆粮食，原计划每天消耗1.8吨，40天用完。实际前6天一共消耗9吨，照这样计算，这堆粮食总共可以烧多少天？ 【详解】粮食总吨数：吨；实际每天消耗量不变，总吨数与天数成正比例。 解：设一共可以烧天。 【答案】48天 第7题 一项任务，20个人做，18天可以做完。如果增加10个人，可以提前多少天完成？（每人效率相同） 【详解】工作总量一定，人数和天数成反比例。 现在人数：人，设现在需要天。 提前天数：（天） 【答案】6天 第8题 一批物资，用15辆货车运，20天运完。如果减少5辆货车，需要多少天运完？（每辆车运量相同） 【详解】物资总量一定，货车辆数和天数成反比例。 现有车辆：辆，设需要天。 【答案】30天 第9题 甲、乙两人速度比，走同样一段路程，甲与乙的时间比是多少？ 【详解】路程一定，速度和时间成反比例，时间比为速度的反比。 速度比甲乙，时间比甲乙。 【答案】 第10题 A、B两个小组工作效率之比是，完成相同一份工作，A、B两组所用时间比是多少？ 【详解】工作总量相同，效率和时间成反比例，时间比是效率反比。 效率比AB，时间比AB。 【答案】 第11题 买同样的笔记本，买8本花48元，照这样，买15本需要花多少钱？ 【详解】笔记本单价一定，总价和数量成正比例。 解：设需要花元。 【答案】90元 第12题 用一批钱买钢笔，每支12元，可以买30支。如果每支钢笔价格变为18元，可以买多少支？ 【详解】总钱数一定，单价和数量成反比例。 解：设可以买支。 【答案】20支 第13题 一个长方形，如果面积保持，当长是20厘米时，宽是12厘米；如果长变成30厘米，宽应该是多少厘米？ 【详解】长方形面积一定，长与宽成反比例。 解：设宽为厘米。 【答案】8厘米 第14题 修一条水渠，6天修了270米，照这个进度，再修12天可以修完，这条水渠全长多少米？ 【详解】每天修的长度不变，总长度和时间成正比例，总时间：天。 解：设全长米。 【答案】810米 第15题 搬运一堆砖块，32人搬运，9天搬完。现在要提前3天完成任务，需要增加多少人？（每人效率一样） 【详解】总工作量不变，人数和天数反比例。 实际天数：天，设需要人。 增加人数：（人） 【答案】16人 第16题 某种铁丝，12米重3千克，现在有一捆铁丝重10千克，这捆铁丝长多少米？ 【详解】每米铁丝重量不变，总长度和总重量成正比例。 解：设铁丝长米。 【答案】40米 第17题 一艘轮船从甲港开往乙港，顺水每小时行30千米，10小时到达；返回逆水行驶，每小时行20千米，返回需要几小时？ 【详解】两港路程一定，速度和时间成反比例。 解：设返回需要小时。 【答案】15小时 第18题 用方砖铺地，边长3分米的方砖，需要400块。如果改用边长4分米的方砖，需要多少块？ 【详解】地面总面积不变，一块方砖的面积和块数成反比例。 平方分米，平方分米。 解：设需要块。 【答案】225块 第19题 一辆汽车从A到B，计划每小时行50千米，计划14小时到达；实际出发之后，3小时行了180千米，照这样，实际全程要几小时？ 【详解】总路程：千米；实际速度不变，路程时间正比例。 解：设实际一共要小时。 【答案】小时（即小时） 第20题 甲、乙两车行驶相同距离，时间比是，求甲、乙两车的速度比。 【详解】路程一定，速度和时间成反比例，速度比等于时间的反比。 时间比甲乙，速度比甲乙。 【答案】 模拟赛场 【奥数题1】甲、乙两辆汽车同时从A地开往B地。两车速度比。当甲车到达B地的时候，乙车距离B地还有120千米。求A、B两地全程多少千米？ 【详解】两车行驶时间相同，时间一定，路程和速度成正比例，路程比等于速度比。 甲乙路程比。把全程看作5份，乙走了3份，相差份；2份对应120千米。 1份：千米；全程5份：千米。 解：设全程千米。 【答案】300千米 【奥数题2】一项工程，如果A队、B队工人效率都相同。若12名A工人做，需要18天完工；现在由6名A工人和6名B工人合作完成。已知1名A工人与1名B工人效率比为，求一共需要多少天完工？ 【详解】先算工程总工作量，把1个A工人1天工作量记为1份。 总工作量：份。 A效率B效率，B工人每日效率相当于份。 6名A：份；6名B：份。 合作一天总工作量：份。 设合作需要天，总工作量不变，每天总工作量 × 天数 = 总工作量。 【答案】21.6天 【奥数题3】汽车从甲地到乙地，分为上坡、下坡两段，路程之比。已知汽车上坡与下坡速度比是，全程一共用时23小时。求汽车上坡、下坡分别用多少小时？ 【详解】对于同一段路，。 设上坡路程，下坡路程；上坡速度，下坡速度。 上坡时间；下坡时间。 上坡时间下坡时间。 时间比上坡下坡，总份数份，总时间23小时。 上坡时间：小时；下坡时间：小时。 解：设上坡用时，下坡用时。 上坡：；下坡：。 【答案】上坡小时，下坡小时 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第15讲 正比例与反比例的应用 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 欢迎进入苏教版六年级上册奥数培优的关键章节——《正比例与反比例的应用》。编写这份讲义，不仅是为了让大家掌握“比值一定”或“乘积一定”的判断口诀，更是为了帮助你们建立透过现象看本质的变量思维。 在比例的世界里，“不变量”是解题的锚点。无论是速度、单价还是工作总量，只有精准锁定那个恒定不变的量，才能正确判断另外两个量是“同增同减”的正比例，还是“一增一减”的反比例。请务必警惕：相关联不等于成比例，如身高与年龄虽有关联，却无定值关系。这是许多同学容易陷入的思维误区。 从基础的路程、工程问题，到复杂的连比转化、分段混合题型，我们希望通过典型的例题与23道精选练习，训练你们“找定量、设未知、列等式”的标准化解题流程。特别是在奥数拓展中，学会将分数、倍数转化为比，利用反比关系处理速度与时间、效率与时间的关系，将是你们突破高分的关键。 愿你们在练习中，不再畏惧变量的变化，而是享受寻找不变规律的逻辑乐趣。以比例为尺，理清数量脉络，在数学思维的进阶之路上从容自信，游刃有余！ 考点梳理 1. 正比例和反比例的意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 （1）正比例 如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 关系式：（k为定值，k≠0） 判断口诀：同增同减，比值不变。 常见正比例： 速度一定，路程和时间成正比例； 单价一定，总价和数量成正比例； 工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例； 圆的周长与直径成正比例。 （2）反比例 如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 关系式：（k为定值，k≠0） 判断口诀：一增一减，乘积不变。 常见反比例： 路程一定，速度和时间成反比例； 总价一定，单价和数量成反比例； 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例； 长方形面积一定，长和宽成反比例。 重要提醒：不是所有相关联的量都成比例！ 例：人的身高与年龄、正方形的边长与面积，只是相关联，但比值、乘积都不是定值，不成比例。 2. 正反比例应用题解题步骤 (1) 找不变量（定量），判断两种相关联的量成正比例还是反比例； (2) 设未知数； (3) 根据比例关系列等式： 正比例：两组对应量的比值相等； 反比例：两组对应量的乘积相等； (4) 解方程； (5) 检验，写答句。 3. 正反比例奥数常用技巧 (1) 抓不变量：总量不变、单一量不变是比例应用题突破口； (2) 转化比例：把分数、倍数关系转化成比； (3) 多个量连比：遇到三个量，先写出连比，再按比例分配； (4) 正反比例混合题：分段分析，哪一段定量，就用哪一段的比例。 例题讲解 【典型例题1】（正比例应用） 一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，这辆汽车从甲地开往乙地一共行驶5小时，甲、乙两地相距多少千米？ 【跟踪训练1】 一台织布机4小时织布48米，照这个速度，织布180米需要多少小时？ 【典型例题2】（反比例应用） 从A地到B地，如果每小时行60千米，4小时可以到达。若要3小时到达，每小时需要行驶多少千米？ 【跟踪训练2】 一批零件，如果每天加工30个，12天可以完成任务。如果每天加工40个，多少天可以完成？ 【典型例题3】（正反比例综合） 工程队修一条公路，原计划每天修45米，20天修完。实际前3天修了180米，照这样计算，修完这条公路一共需要多少天？ 【跟踪训练3】 一批煤，原计划每天烧2.4吨，30天烧完。实际前5天烧煤8吨，照这样计算，这批煤一共可以烧多少天？ 【典型例题4】（稍难反比例：人数与天数） 一项工程，15人做，24天可以完成。若每人工作效率相同，现在增加5人，可以提前几天完成这项工程？ 【跟踪训练4】 一堆货物，用12辆卡车运，18天可以运完。如果减少3辆卡车，需要多少天才能运完？（每辆车运货量相同） 【典型例题5】（比例转化，奥数拓展） 甲、乙两人的速度比是3:4，走同一段路程，甲、乙两人所用时间比是多少？ 【跟踪训练5】 甲、乙两个工程队工作效率比是5:6，完成同样一项任务，甲、乙两队所用时间之比是多少？ 提升练习 第1题 一辆汽车4小时行240千米，照这个速度行驶，7小时可以行驶多少千米？ 第2题 一台打印机5分钟打印60张纸，照这样的速度，打印240张纸需要多少分钟？ 第3题 从甲地到乙地，若每小时行45千米，8小时到达。如果要6小时到达，每小时要行多少千米？ 第4题 一批手工制品，如果每人做25个，16人可以完成。如果每人做40个，需要多少人完成？ 第5题 工厂要生产一批零件，原计划每天生产50个，24天完成。实际前4天生产了240个，照这样计算，生产完全部零件一共要多少天？ 第6题 一堆粮食，原计划每天消耗1.8吨，40天用完。实际前6天一共消耗9吨，照这样计算，这堆粮食总共可以烧多少天？ 第7题 一项任务，20个人做，18天可以做完。如果增加10个人，可以提前多少天完成？（每人效率相同） 第8题 一批物资，用15辆货车运，20天运完。如果减少5辆货车，需要多少天运完？（每辆车运量相同） 第9题 甲、乙两人速度比，走同样一段路程，甲与乙的时间比是多少？ 第10题 A、B两个小组工作效率之比是，完成相同一份工作，A、B两组所用时间比是多少？ 第11题 买同样的笔记本，买8本花48元，照这样，买15本需要花多少钱？ 第12题 用一批钱买钢笔，每支12元，可以买30支。如果每支钢笔价格变为18元，可以买多少支？ 第13题 一个长方形，如果面积保持，当长是20厘米时，宽是12厘米；如果长变成30厘米，宽应该是多少厘米？ 第14题 修一条水渠，6天修了270米，照这个进度，再修12天可以修完，这条水渠全长多少米？ 第15题 搬运一堆砖块，32人搬运，9天搬完。现在要提前3天完成任务，需要增加多少人？（每人效率一样） 第16题 某种铁丝，12米重3千克，现在有一捆铁丝重10千克，这捆铁丝长多少米？ 第17题 一艘轮船从甲港开往乙港，顺水每小时行30千米，10小时到达；返回逆水行驶，每小时行20千米，返回需要几小时？ 第18题 用方砖铺地，边长3分米的方砖，需要400块。如果改用边长4分米的方砖，需要多少块？ 第19题 一辆汽车从A到B，计划每小时行50千米，计划14小时到达；实际出发之后，3小时行了180千米，照这样，实际全程要几小时？ 第20题 甲、乙两车行驶相同距离，时间比是，求甲、乙两车的速度比。 模拟赛场 【奥数题1】甲、乙两辆汽车同时从A地开往B地。两车速度比。当甲车到达B地的时候，乙车距离B地还有120千米。求A、B两地全程多少千米？ 【奥数题2】一项工程，如果A队、B队工人效率都相同。若12名A工人做，需要18天完工；现在由6名A工人和6名B工人合作完成。已知1名A工人与1名B工人效率比为，求一共需要多少天完工？ 【奥数题3】汽车从甲地到乙地，分为上坡、下坡两段，路程之比。已知汽车上坡与下坡速度比是，全程一共用时23小时。求汽车上坡、下坡分别用多少小时？ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $