第24讲 比在行程、工程问题中的拓展应用 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第24讲 比在行程、工程问题中的拓展应用 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 行程问题中的比的关系 行程问题核心公式：，三个量中某一个量固定时，另外两个量成明确的比例关系： 时间一定：行驶时间相同，路程比 = 速度比。 原理：时间相同，，，因此。 常见场景：同时出发到相遇、同时出发同时间行驶。 路程一定：行驶总路程相同，速度比与时间比成反比。 原理：路程相同，，，因此。 常见场景：同一段路往返、走相同路线。 速度一定：行驶速度不变，路程比 = 时间比。 原理：速度相同，，，因此。 常见场景：同一辆车 / 人行驶不同时间的路程。 2. 工程问题中的比的关系 工程问题核心公式：，三个量中某一个量固定时，另外两个量成明确的比例关系： 时间一定：工作时间相同，工作总量比 = 工作效率比。 原理：合作完工、同时工作的场景，工作时间相同，效率越高，完成的总量越多。 总量一定：工作总量相同，工作效率比与工作时间比成反比。 原理：同一项工程，效率越高，需要的时间越短。 效率一定：工作效率不变，工作总量比 = 工作时间比。 原理：同一个人 / 队伍，工作时间越长，完成的总量越多。 3. 核心解题步骤 ① 找不变量：根据题意，确定路程 / 时间 / 速度、总量 / 时间 / 效率中哪个量固定不变； ② 转比例：根据不变量，将另外两个量的关系转化为比； ③ 量份对应：结合已知的数量（和、差、部分量），求出 1 份量； ④ 算结果：根据问题所求，对应份数计算最终结果。 4. 易错警示 反比关系不要搞反：路程一定时，速度越快时间越短，速度比是，时间比是；工程总量一定时同理。 必须先确定不变量，再判断是正比还是反比，不能直接套用比。 相遇问题中，同时出发到相遇，两人行驶时间相同，路程比等于速度比，不要当成反比。 工程合作问题，工作时间相同，工作量比等于效率比，不是时间比。 例题讲解 【典型例题 1】时间一定（相遇问题） 甲乙两车同时从 A、B 两地相向开出，速度比是，相遇时甲车比乙车多行驶 60 千米。A、B 两地相距多少千米？ 【跟踪训练 1】 甲乙两车同时从东、西两城相向开出，速度比是，两车在距中点 30 千米处相遇。东、西两城相距多少千米？ 【典型例题 2】路程一定（速度时间反比） 走同一段山路，甲和乙的速度比是，甲走完全程需要 25 分钟。乙走完全程需要多少分钟？ 【跟踪训练 2】 行完同一段路程，甲和乙所用的时间比是，甲的速度是 80 千米 / 时。乙的速度是多少千米 / 时？ 【典型例题 3】工程时间一定（总量比 = 效率比） 甲乙两队合作修一条公路，两队的工作效率比是，完工时甲队比乙队少修 240 米。这条公路全长多少米？ 【跟踪训练 3】 张师傅和李师傅加工一批零件，工作效率比是，两人合作 8 小时一共加工了 720 个零件。张师傅每小时加工多少个零件？ 【典型例题 4】工程总量一定（效率时间反比） 加工一批零件，甲单独做需要 12 天，乙单独做需要 18 天。甲、乙两人的工作效率比是多少？ 【跟踪训练 4】 生产一批玩具，王师傅和赵师傅的工作时间比是，王师傅每天生产 40 个。赵师傅每天生产多少个？ 巩固练习 1. 甲乙两车同时从两地相对开出，速度比是 4:3，相遇时甲车行了 120 千米。两地相距多少千米？ 2. 走同一段路，小明和小红的速度比是 5:6，小明用了 12 分钟。小红用了多少分钟？ 3. 甲乙两队合挖一条水渠，效率比是 5:4，完工时甲队比乙队多挖 30 米。这条水渠全长多少米？ 4. 一项工程，甲单独做要 10 天，乙单独做要 15 天。甲乙的工作效率比是多少？ 5. 甲乙两车同时从 A 地开往 B 地，速度比是 3:5，当乙车到达 B 地时，甲车距 B 地还有 80 千米。A、B 两地相距多少千米？ 6. 加工一批零件，师傅和徒弟的效率比是 7:4，徒弟每小时加工 24 个。师傅每小时比徒弟多加工多少个？ 7. 从甲城到乙城，货车要行 8 小时，客车要行 6 小时。货车和客车的速度比是多少？ 8. 甲乙两个工程队合修一段路，8 天完工。已知甲乙两队的效率比是 3:2，甲队每天修 15 米。这段路全长多少米？ 9. 甲乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，速度比是 5:7，在距中点 20 千米处相遇。相遇时乙车行了多少千米？ 10. 生产一批零件，甲单独做 4 小时完成，乙单独做 6 小时完成。两人合作完成时，甲比乙多做 24 个。这批零件一共有多少个？ 11. 小明从家到学校，每分钟走 60 米，15 分钟到达。如果速度提高 20%，可以提前几分钟到达？ 12. 一项工程，甲乙合作 6 天完成，已知甲乙的效率比是 2:3。甲单独做需要多少天？ 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）甲乙两车同时从两地相向开出，速度比是 5:4，相遇时甲车行了 250 千米。两地相距多少千米？ 2.（希望杯六年级试题）走同一段路，小刚和小丽的时间比是 3:4，小刚的速度是 80 米 / 分。小丽的速度是多少米 / 分？ 3.（小升初衔接题）甲乙两队合修一条公路，两队效率比是 4:5，完工时甲队比乙队少修 120 米。这条公路全长多少米？ 4.（华杯赛初赛）加工一批零件，甲单独做要 8 天，乙单独做要 12 天。甲、乙的工作效率比是多少？ 5.（苏教版培优题）甲乙两车同时从 A 地开往 B 地，速度比是 2:3，甲车走完全程用 6 小时。乙车走完全程用多少小时？ 6.（重点中学分班考）甲乙两人合作加工一批零件，5 小时完成。已知甲乙效率比是 7:5，甲每小时比乙多加工 12 个。这批零件一共有多少个？ 7.（走美杯真题）从甲地到乙地，快车要 6 小时，慢车要 8 小时。快车和慢车的速度比是多少？如果两车同时从两地相对开出，相遇时快车和慢车的路程比是多少？ 8.（六年级期末真题）一项工程，甲乙两队合作 20 天完成，已知甲乙两队的效率比是 3:2。乙队单独做需要多少天？ 9.（希望杯模拟题）甲乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 4:5，两车在距中点 30 千米处相遇。A、B 两地相距多少千米？ 10.（小升初真题）加工一批零件，师傅单独做要 10 小时，徒弟单独做要 15 小时。师徒两人合作完成任务时，师傅比徒弟多加工 30 个。这批零件一共有多少个？ 11.（华杯赛模拟题）小明骑车从家去学校，原计划每分钟行 200 米，12 分钟到达。实际每分钟多行 40 米，提前几分钟到达？ 12.（思维训练题）甲乙两车同时从 AB 两地出发相向而行，速度比是 7:11，相遇后两车继续前进，到达对方起点后立即返回，第二次相遇时甲车离 B 地 80 千米。AB 两地相距多少千米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 比在行程、工程问题中的拓展应用 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 行程问题中的比的关系 行程问题核心公式：，三个量中某一个量固定时，另外两个量成明确的比例关系： 时间一定：行驶时间相同，路程比 = 速度比。 原理：时间相同，，，因此。 常见场景：同时出发到相遇、同时出发同时间行驶。 路程一定：行驶总路程相同，速度比与时间比成反比。 原理：路程相同，，，因此。 常见场景：同一段路往返、走相同路线。 速度一定：行驶速度不变，路程比 = 时间比。 原理：速度相同，，，因此。 常见场景：同一辆车 / 人行驶不同时间的路程。 2. 工程问题中的比的关系 工程问题核心公式：，三个量中某一个量固定时，另外两个量成明确的比例关系： 时间一定：工作时间相同，工作总量比 = 工作效率比。 原理：合作完工、同时工作的场景，工作时间相同，效率越高，完成的总量越多。 总量一定：工作总量相同，工作效率比与工作时间比成反比。 原理：同一项工程，效率越高，需要的时间越短。 效率一定：工作效率不变，工作总量比 = 工作时间比。 原理：同一个人 / 队伍，工作时间越长，完成的总量越多。 3. 核心解题步骤 ① 找不变量：根据题意，确定路程 / 时间 / 速度、总量 / 时间 / 效率中哪个量固定不变； ② 转比例：根据不变量，将另外两个量的关系转化为比； ③ 量份对应：结合已知的数量（和、差、部分量），求出 1 份量； ④ 算结果：根据问题所求，对应份数计算最终结果。 4. 易错警示 反比关系不要搞反：路程一定时，速度越快时间越短，速度比是，时间比是；工程总量一定时同理。 必须先确定不变量，再判断是正比还是反比，不能直接套用比。 相遇问题中，同时出发到相遇，两人行驶时间相同，路程比等于速度比，不要当成反比。 工程合作问题，工作时间相同，工作量比等于效率比，不是时间比。 例题讲解 【典型例题 1】时间一定（相遇问题） 甲乙两车同时从 A、B 两地相向开出，速度比是，相遇时甲车比乙车多行驶 60 千米。A、B 两地相距多少千米？ 【分析】两车同时出发到相遇，行驶时间相同，时间一定，路程比等于速度比。甲比乙多 1 份路程对应 60 千米，先求 1 份量，再乘总份数得到总路程。 【详解】 时间相同，路程比 = 速度比 = 路程份数差：份 1 份量：千米 总份数：份 总路程：千米 【答案】千米 【跟踪训练 1】 甲乙两车同时从东、西两城相向开出，速度比是，两车在距中点 30 千米处相遇。东、西两城相距多少千米？ 【分析】相遇时间相同，路程比 = 速度比。距中点 30 千米相遇，说明快车比慢车多走千米，对应份数差，求总路程。 【详解】 路程比 = 速度比 = 路程差：千米 份数差：份 1 份量：千米 总份数：份 总路程：千米 【答案】千米 【典型例题 2】路程一定（速度时间反比） 走同一段山路，甲和乙的速度比是，甲走完全程需要 25 分钟。乙走完全程需要多少分钟？ 【分析】同一段山路，路程一定，速度比与时间比成反比。速度比，则时间比，甲的时间对应 5 份，先求 1 份量，再算乙的时间。 【详解】 路程一定，时间比 = 速度的反比 = 甲的时间对应 5 份，共 25 分钟 1 份量：分钟 乙的时间对应 4 份：分钟 【答案】分钟 【跟踪训练 2】 行完同一段路程，甲和乙所用的时间比是，甲的速度是 80 千米 / 时。乙的速度是多少千米 / 时？ 【分析】路程一定，速度比是时间比的反比。时间比，速度比，甲对应 4 份速度，求 1 份量再算乙的速度。 【详解】 路程一定，速度比 = 时间的反比 = 甲的速度对应 4 份，共 80 千米 / 时 1 份量：千米 / 时 乙的速度：千米 / 时 【答案】千米 / 时 【典型例题 3】工程时间一定（总量比 = 效率比） 甲乙两队合作修一条公路，两队的工作效率比是，完工时甲队比乙队少修 240 米。这条公路全长多少米？ 【分析】两队合作同时完工，工作时间相同，工作总量比等于工作效率比。甲比乙少修的 240 米对应份数差，先求 1 份量，再乘总份数得公路全长。 【详解】 工作时间相同，工作量比 = 效率比 = 工作量份数差：份 1 份量：米 总份数：份 公路全长：米 【答案】米 【跟踪训练 3】 张师傅和李师傅加工一批零件，工作效率比是，两人合作 8 小时一共加工了 720 个零件。张师傅每小时加工多少个零件？ 【分析】工作时间相同，工作量比 = 效率比。先算两人 1 小时的总工作量，对应总效率份数，求 1 份量，再算张师傅的效率。 【详解】 两人每小时共加工：个 效率比 = ，总份数：份 1 份量：个 / 时 张师傅效率：个 / 时 【答案】个 / 时 【典型例题 4】工程总量一定（效率时间反比） 加工一批零件，甲单独做需要 12 天，乙单独做需要 18 天。甲、乙两人的工作效率比是多少？ 【分析】同批零件，工作总量一定，工作效率比与工作时间比成反比。先求时间比，再反过来就是效率比，最后化简。 【详解】 甲乙的时间比： 工作总量一定，效率比 = 时间的反比 = 【答案】 【跟踪训练 4】 生产一批玩具，王师傅和赵师傅的工作时间比是，王师傅每天生产 40 个。赵师傅每天生产多少个？ 【分析】总量一定，效率比是时间比的反比。时间比，效率比，王师傅对应 5 份，求 1 份量再算赵师傅的效率。 【详解】 总量一定，效率比 = 时间的反比 = 王师傅效率对应 5 份，共 40 个 / 天 1 份量：个 / 天 赵师傅效率：个 / 天 【答案】个 / 天 巩固练习 1. 甲乙两车同时从两地相对开出，速度比是 4:3，相遇时甲车行了 120 千米。两地相距多少千米？ 【分析】时间一定，路程比 = 速度比，甲 4 份对应 120 千米，求 1 份量再乘总份数。 【详解】 路程比 = 4:3 1 份量：千米 总份数：份 总路程：千米 【答案】千米 2. 走同一段路，小明和小红的速度比是 5:6，小明用了 12 分钟。小红用了多少分钟？ 【分析】路程一定，时间比是速度反比 6:5，小明 6 份对应 12 分钟，求小红的时间。 【详解】 时间比 = 6:5 1 份量：分钟 小红时间：分钟 【答案】分钟 3. 甲乙两队合挖一条水渠，效率比是 5:4，完工时甲队比乙队多挖 30 米。这条水渠全长多少米？ 【分析】时间一定，工作量比 = 效率比，差 1 份对应 30 米，求总长。 【详解】 工作量比 = 5:4 份数差：份 1 份量：30 米 总份数：份 全长：米 【答案】米 4. 一项工程，甲单独做要 10 天，乙单独做要 15 天。甲乙的工作效率比是多少？ 【分析】总量一定，效率比是时间反比。 【详解】 时间比： 效率比： 【答案】 5. 甲乙两车同时从 A 地开往 B 地，速度比是 3:5，当乙车到达 B 地时，甲车距 B 地还有 80 千米。A、B 两地相距多少千米？ 【分析】时间相同，路程比 = 速度比 3:5，乙走完全程 5 份，甲走 3 份，差 2 份对应 80 千米，求 5 份的路程。 【详解】 路程比 = 3:5 份数差：份 1 份量：千米 全程：千米 【答案】千米 6. 加工一批零件，师傅和徒弟的效率比是 7:4，徒弟每小时加工 24 个。师傅每小时比徒弟多加工多少个？ 【分析】效率比 7:4，徒弟 4 份对应 24 个，求 1 份量，再算差的份数对应的数量。 【详解】 1 份量：个 / 时 效率差份数：份 多加工：个 / 时 【答案】个 / 时 7. 从甲城到乙城，货车要行 8 小时，客车要行 6 小时。货车和客车的速度比是多少？ 【分析】路程一定，速度比是时间反比。 【详解】 时间比： 速度比： 【答案】 8. 甲乙两个工程队合修一段路，8 天完工。已知甲乙两队的效率比是 3:2，甲队每天修 15 米。这段路全长多少米？ 【分析】先根据效率比和甲的效率求 1 份量，算乙的效率，再算总效率乘时间得全长。 【详解】 效率比 3:2，甲 3 份对应 15 米 1 份量：米 / 天 乙效率：米 / 天 总效率：米 / 天 全长：米 【答案】米 9. 甲乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，速度比是 5:7，在距中点 20 千米处相遇。相遇时乙车行了多少千米？ 【分析】相遇时间相同，路程比 5:7，路程差 40 千米，对应 2 份，求 1 份量再算乙的路程。 【详解】 路程差：千米 份数差：份 1 份量：千米 乙行路程：千米 【答案】千米 10. 生产一批零件，甲单独做 4 小时完成，乙单独做 6 小时完成。两人合作完成时，甲比乙多做 24 个。这批零件一共有多少个？ 【分析】总量一定，效率比是时间反比 3:2；合作时间相同，工作量比 = 效率比 3:2，差 1 份对应 24 个，求总个数。 【详解】 时间比，效率比 合作工作量比 份数差：份对应 24 个 总份数：份 总个数：个 【答案】个 11. 小明从家到学校，每分钟走 60 米，15 分钟到达。如果速度提高 20%，可以提前几分钟到达？ 【分析】路程一定，速度比和时间比反比。先求速度比，再算时间，求提前的时间。 【详解】 原来速度：现在速度 = 路程一定，时间比 = 原来 6 份对应 15 分钟 1 份量：分钟 现在时间：分钟 提前：分钟 【答案】分钟 12. 一项工程，甲乙合作 6 天完成，已知甲乙的效率比是 2:3。甲单独做需要多少天？ 【分析】先求总效率份数，根据合作时间求总工作量，再除以甲的效率得甲的时间。 【详解】 效率总份数：份 总工作量：份 甲单独时间：天 【答案】天 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）甲乙两车同时从两地相向开出，速度比是 5:4，相遇时甲车行了 250 千米。两地相距多少千米？ 【分析】相遇时间相同，路程比等于速度比，甲 5 份对应 250 千米，求总路程。 【详解】 路程比 = 5:4 1 份量：千米 总份数：份 总路程：千米 【答案】千米 2.（希望杯六年级试题）走同一段路，小刚和小丽的时间比是 3:4，小刚的速度是 80 米 / 分。小丽的速度是多少米 / 分？ 【分析】路程一定，速度比是时间的反比 4:3，小刚 4 份对应 80，求小丽速度。 【详解】 速度比 = 4:3 1 份量：米 / 分 小丽速度：米 / 分 【答案】米 / 分 3.（小升初衔接题）甲乙两队合修一条公路，两队效率比是 4:5，完工时甲队比乙队少修 120 米。这条公路全长多少米？ 【分析】工作时间相同，工作量比 = 效率比，差 1 份对应 120 米，求总长。 【详解】 工作量比 = 4:5 份数差：份 1 份量：120 米 总份数：份 全长：米 【答案】米 4.（华杯赛初赛）加工一批零件，甲单独做要 8 天，乙单独做要 12 天。甲、乙的工作效率比是多少？ 【分析】工作总量一定，效率比是时间的反比。 【详解】 时间比： 效率比： 【答案】 5.（苏教版培优题）甲乙两车同时从 A 地开往 B 地，速度比是 2:3，甲车走完全程用 6 小时。乙车走完全程用多少小时？ 【分析】路程一定，时间比是速度反比 3:2，甲 3 份对应 6 小时，求乙的时间。 【详解】 时间比 = 3:2 1 份量：小时 乙时间：小时 【答案】小时 6.（重点中学分班考）甲乙两人合作加工一批零件，5 小时完成。已知甲乙效率比是 7:5，甲每小时比乙多加工 12 个。这批零件一共有多少个？ 【分析】效率差 2 份对应 12 个，求 1 份量，算总效率，再乘时间得总个数。 【详解】 效率差份数：份 1 份量：个 / 时 总效率：个 / 时 总个数：个 【答案】个 7.（走美杯真题）从甲地到乙地，快车要 6 小时，慢车要 8 小时。快车和慢车的速度比是多少？如果两车同时从两地相对开出，相遇时快车和慢车的路程比是多少？ 【分析】第一问路程一定，速度比是时间反比；第二问相遇时间相同，路程比等于速度比。 【详解】 时间比： 速度比： 相遇时间相同，路程比 = 速度比 = 【答案】速度比，路程比 8.（六年级期末真题）一项工程，甲乙两队合作 20 天完成，已知甲乙两队的效率比是 3:2。乙队单独做需要多少天？ 【分析】先算总工作量份数，再除以乙的效率得乙单独时间。 【详解】 总效率份数：份 总工作量：份 乙单独时间：天 【答案】天 9.（希望杯模拟题）甲乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 4:5，两车在距中点 30 千米处相遇。A、B 两地相距多少千米？ 【分析】相遇路程差 60 千米，对应 1 份，求总路程。 【详解】 路程比 = 4:5 路程差：千米 份数差：份 1 份量：60 千米 总份数：份 总路程：千米 【答案】千米 10.（小升初真题）加工一批零件，师傅单独做要 10 小时，徒弟单独做要 15 小时。师徒两人合作完成任务时，师傅比徒弟多加工 30 个。这批零件一共有多少个？ 【分析】总量一定，效率比是时间反比 3:2；合作工作量比 3:2，差 1 份对应 30 个，求总数。 【详解】 时间比，效率比 工作量比 份数差：份对应 30 个 总份数：份 总个数：个 【答案】个 11.（华杯赛模拟题）小明骑车从家去学校，原计划每分钟行 200 米，12 分钟到达。实际每分钟多行 40 米，提前几分钟到达？ 【分析】路程一定，速度比和时间比反比，先求速度比，再算时间差。 【详解】 计划速度：实际速度 = 时间比 = 计划 6 份对应 12 分钟，1 份量：分钟 提前：分钟 【答案】分钟 12.（思维训练题）甲乙两车同时从 AB 两地出发相向而行，速度比是 7:11，相遇后两车继续前进，到达对方起点后立即返回，第二次相遇时甲车离 B 地 80 千米。AB 两地相距多少千米？ 【分析】到第二次相遇，两车一共走了 3 个全程，时间相同，路程比 = 速度比 7:11，甲走的路程对应 1 个全程多 80 千米，通过份数关系求出全程。 【详解】 第二次相遇共走 3 个全程，路程比 = 7:11 总份数：份 1 个全程对应：份 甲走了 7 份，比 1 个全程多：份 1 份对应 80 千米 全程：千米 【答案】千米 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $