第13讲 比的性质与化简比（奥数培优讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

奥数培优讲义 第13讲 比的性质与化简比 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 欢迎开启苏教版六年级上册奥数培优之旅。编写这份《比的性质与化简比》讲义，初衷不仅是帮助大家掌握解题技巧，更是为了构建严密的数学逻辑体系。“比”不仅是两个数的关系，更是连接分数、除法与比例方程的桥梁。 在学习中，请务必厘清核心概念：比值是一个数，而最简整数比是一种关系形式；加减法不能直接用于比的变形，唯有乘除相同的非零数才能保持比值不变。这是许多同学容易混淆的陷阱，也是考察思维严谨性的关键。从整数、小数到分数的化简，再到统一中间量的连比技巧，每一步都要求我们具备透过现象看本质的能力。 此外，我们将视野拓展至几何图形，探究边长、周长与面积之间的比例规律，体会数学模型在解决实际问题中的威力。希望你们在练习中不仅追求答案的正确，更要享受推导过程的乐趣，养成“先观察、后转化、再计算”的良好习惯。愿你们以比为尺，丈量数学的深度，从容应对未来的挑战！ 考点梳理 1. 比的意义 两个数相除又叫两个数的比。（） ，是前项，是比号，是后项； 比的后项不能为0（除数、分母不能为0）； 比值：比的前项÷后项得到的结果，比值是一个数，可以是整数、小数、分数。 区分：比是两个量的关系（写成 a:b 形式），比值是一个数值。 例：，是比，（或 ）是比值。 2. 比的基本性质（核心） 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 联系旧知： 分数基本性质：分子分母同时乘除相同数（0除外），分数大小不变。 商不变规律：被除数除数同时乘除相同数（0除外），商不变。 三者本质一致： 易错点： 1. 必须同时乘或者同时除以； 2. 不能乘0、除以0； 3. 只加、减同一个数，比值会改变！（很多学生易错） 例：，前项+2，后项+3，变成比值不变；但前项+2，后项+2，变成，比值改变。加减法不能直接用比的性质。 3. 最简整数比 满足两个条件： (1) 前项、后项都是整数； (2) 前项和后项互质（最大公因数是1）。 化简比的最终结果一定是一个比（保留 形式），不是一个数！ 求比值结果是一个数（分数、小数、整数）。 ✅ 区分考点：化简比 → ；求比值 → 数值。 4. 化简比的三类题型方法 （1）整数比化简 方法：前项和后项同时除以它们的最大公因数。 例：，最大公因数6，。 （2）小数比化简 方法：先同时扩大相同倍数变成整数比，再按整数比化简。 例：，同时×100，，再同÷15，得到 。 （3）分数比化简 方法：前项和后项同时乘分母的最小公倍数，化成整数比，再化简。 例：，分母最小公倍数15，同×15，。 简便方法：分数比 = 前项÷后项，求出比值，再写成比的形式。 5. 奥数拓展：比的变化问题（高频考点） 已知比，前项或者后项发生增减变化，求对应的后项/前项怎么变化。 解题思路：抓住比值不变，利用比的基本性质，先看前项（后项）扩大或缩小几倍，后项（前项）做相同倍数变化，再计算增加或减少多少。 6. 连比（奥数重点） 当出现三个量 、，统一中间量 的份数，合并成 。 例：甲:乙，乙:丙，乙在两个比里分别是3份、4份，最小公倍数12。 甲:乙；乙:丙 得到连比：甲:乙:丙 7. 单位不同的比 带有单位的两个量写比，先要统一单位，再化简。 例：20厘米:1米 → 20厘米:100厘米 例题讲解 【典型例题1】 利用比的基本性质填空：，如果前项减去4，要使比值不变，后项应该减去多少？ 【跟踪训练1】 ，前项加上3，要使比值不变，后项应加上多少？ 【典型例题2】 化简下面各比，并求出比值。 （1）　（2） 【跟踪训练2】 化简比并求比值：（1）　（2） 【典型例题3】 甲:乙，乙:丙，求甲:乙:丙。 【跟踪训练3】 ，，求 。 【典型例题4】 250克 : 0.5千克，先化简比，再求比值。 【跟踪训练4】 40分 : 1.2时，化简比并求比值。 【典型例题5】 两个正方形边长比是 ，求周长之比和面积之比。 【跟踪训练5】 两个长方形长之比 ，宽之比 ，求面积之比。 提升练习 练习1 ，如果前项减去9，要使比值不变，后项应减去多少？ 练习2 ，前项加上6，要使比值不变，后项应加上多少？ 练习3 化简比并求比值： 练习4 化简比并求比值： 练习5 甲:乙，乙:丙，求甲:乙:丙。 练习6 化简比并求比值：350千克 : 0.7吨 练习7 两个正方形边长之比 ，求周长比和面积比。 练习8 两个长方形，长的比 ，宽的比 ，求面积之比。 练习9 化简比并求比值： 练习10 ，后项加上16，要使比值不变，前项应该加上多少？ 练习11 甲:乙，乙:丙，求甲:乙:丙。 练习12 化简比并求比值：50分 : 2时 练习13 化简比并求比值： 练习14 ，如果后项减去30，要使比值不变，前项应减去多少？ 练习15 两个等边三角形边长比 ，求周长之比和面积之比。 练习16 化简比并求比值： 练习17 甲、乙两个长方形，甲长:乙长，甲宽:乙宽，求甲乙面积比。 练习18 化简比并求比值： 练习19 ，前项增加14，要使比值不变，后项应增加多少？ 练习20 ，，求 。 模拟赛场 【奥数题1】有一个比 ，前项加上12，比值不变。如果将变化后的比，后项再减去一个数，得到新比 ，求减去的这个数。 【奥数题2】甲:乙，乙:丙，丙比甲多49，求甲、乙、丙三数。 【奥数题3】两个长方形，甲长方形与乙长方形周长之比是 ，甲长:甲宽，乙长:乙宽。求甲乙两个长方形的面积之比。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第13讲 比的性质与化简比 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 欢迎开启苏教版六年级上册奥数培优之旅。编写这份《比的性质与化简比》讲义，初衷不仅是帮助大家掌握解题技巧，更是为了构建严密的数学逻辑体系。“比”不仅是两个数的关系，更是连接分数、除法与比例方程的桥梁。 在学习中，请务必厘清核心概念：比值是一个数，而最简整数比是一种关系形式；加减法不能直接用于比的变形，唯有乘除相同的非零数才能保持比值不变。这是许多同学容易混淆的陷阱，也是考察思维严谨性的关键。从整数、小数到分数的化简，再到统一中间量的连比技巧，每一步都要求我们具备透过现象看本质的能力。 此外，我们将视野拓展至几何图形，探究边长、周长与面积之间的比例规律，体会数学模型在解决实际问题中的威力。希望你们在练习中不仅追求答案的正确，更要享受推导过程的乐趣，养成“先观察、后转化、再计算”的良好习惯。愿你们以比为尺，丈量数学的深度，从容应对未来的挑战！ 考点梳理 1. 比的意义 两个数相除又叫两个数的比。（） ，是前项，是比号，是后项； 比的后项不能为0（除数、分母不能为0）； 比值：比的前项÷后项得到的结果，比值是一个数，可以是整数、小数、分数。 区分：比是两个量的关系（写成 a:b 形式），比值是一个数值。 例：，是比，（或 ）是比值。 2. 比的基本性质（核心） 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 联系旧知： 分数基本性质：分子分母同时乘除相同数（0除外），分数大小不变。 商不变规律：被除数除数同时乘除相同数（0除外），商不变。 三者本质一致： 易错点： 1. 必须同时乘或者同时除以； 2. 不能乘0、除以0； 3. 只加、减同一个数，比值会改变！（很多学生易错） 例：，前项+2，后项+3，变成比值不变；但前项+2，后项+2，变成，比值改变。加减法不能直接用比的性质。 3. 最简整数比 满足两个条件： (1) 前项、后项都是整数； (2) 前项和后项互质（最大公因数是1）。 化简比的最终结果一定是一个比（保留 形式），不是一个数！ 求比值结果是一个数（分数、小数、整数）。 ✅ 区分考点：化简比 → ；求比值 → 数值。 4. 化简比的三类题型方法 （1）整数比化简 方法：前项和后项同时除以它们的最大公因数。 例：，最大公因数6，。 （2）小数比化简 方法：先同时扩大相同倍数变成整数比，再按整数比化简。 例：，同时×100，，再同÷15，得到 。 （3）分数比化简 方法：前项和后项同时乘分母的最小公倍数，化成整数比，再化简。 例：，分母最小公倍数15，同×15，。 简便方法：分数比 = 前项÷后项，求出比值，再写成比的形式。 5. 奥数拓展：比的变化问题（高频考点） 已知比，前项或者后项发生增减变化，求对应的后项/前项怎么变化。 解题思路：抓住比值不变，利用比的基本性质，先看前项（后项）扩大或缩小几倍，后项（前项）做相同倍数变化，再计算增加或减少多少。 6. 连比（奥数重点） 当出现三个量 、，统一中间量 的份数，合并成 。 例：甲:乙，乙:丙，乙在两个比里分别是3份、4份，最小公倍数12。 甲:乙；乙:丙 得到连比：甲:乙:丙 7. 单位不同的比 带有单位的两个量写比，先要统一单位，再化简。 例：20厘米:1米 → 20厘米:100厘米 例题讲解 【典型例题1】 利用比的基本性质填空：，如果前项减去4，要使比值不变，后项应该减去多少？ 【详解】 原来比：，前项减去4，新前项：。 前项从8变成4，相当于 ，前项除以2。 根据比的基本性质，后项也要同时除以2：。 后项由12变成6，减去：。 检验：；，比值不变。 【答案】后项应该减去6。 【跟踪训练1】 ，前项加上3，要使比值不变，后项应加上多少？ 【详解】 原前项15，加上3： 15变成18，扩大倍数： 后项20也要乘 ： 后项增加： 检验：；，比值相等。 【答案】后项应加上4。 【典型例题2】 化简下面各比，并求出比值。 （1）　（2） 【详解】 （1） 先化成整数比，前后项同时×100： 同除以最大公因数75：（最简整数比） 比值： （2） 分母最小公倍数9，前后项同×9：（最简整数比） 比值： 【答案】 化简比 ，比值 ； 化简比 ，比值 。 【跟踪训练2】 化简比并求比值：（1）　（2） 【详解】 （1），同时×100：，同除以12，最简整数比 ，比值 。 （2），同乘35：，同除以3，最简整数比 ，比值 。 【答案】 化简比 ，比值 ； 化简比 ，比值 。 【典型例题3】 甲:乙，乙:丙，求甲:乙:丙。 【详解】 找中间量乙，乙在两个比里分别是4份、6份。 4和6最小公倍数是12，统一乙为12份。 甲:乙 乙:丙 乙统一为12份，连比：甲:乙:丙 检验：甲:乙 ；乙:丙 ，符合条件。 【答案】甲:乙:丙 。 【跟踪训练3】 ，，求 。 【详解】 中间量B，在两个比是5份和3份，最小公倍数15。 合并连比： 【答案】。 【典型例题4】 250克 : 0.5千克，先化简比，再求比值。 【详解】 单位不统一，先统一单位：0.5千克=500克。 原式=250克:500克。 ，前后同除以250，最简整数比 。 比值： 【答案】化简比 ，比值 。 【跟踪训练4】 40分 : 1.2时，化简比并求比值。 【详解】 统一单位：1.2时 = 72分。 ，前后项同除以8，最简整数比 。 比值： 【答案】化简比 ，比值 。 【典型例题5】 两个正方形边长比是 ，求周长之比和面积之比。 【详解】 正方形周长=边长×4，周长比=，根据比性质，4可以约掉。 周长比=边长比=。 正方形面积=边长×边长，面积比=。 【答案】周长比 ，面积比 。 【跟踪训练5】 两个长方形长之比 ，宽之比 ，求面积之比。 【详解】 长方形面积=长×宽。 面积比=。 【答案】面积之比 。 提升练习 练习1 ，如果前项减去9，要使比值不变，后项应减去多少？ 【详解】 原比 ，前项 ；，前项除以4。 根据比的基本性质，后项也要除以4：。 后项减少：。 检验：，，比值不变。 【答案】后项应减去21。 练习2 ，前项加上6，要使比值不变，后项应加上多少？ 【详解】 原前项18，；扩大倍数：。 后项：，增加：。 检验：，。 【答案】后项应加上8。 练习3 化简比并求比值： 【详解】 前后同×100得 ，最大公因数14，。 比值：。 【答案】最简整数比 ，比值 。 练习4 化简比并求比值： 【详解】 分母最小公倍数18，同乘18：。 比值：。 【答案】最简整数比 ，比值 。 练习5 甲:乙，乙:丙，求甲:乙:丙。 【详解】 中间量乙，乙已经是5和10，最小公倍数10。 甲:乙，乙:丙。 连比：甲:乙:丙。 【答案】。 练习6 化简比并求比值：350千克 : 0.7吨 【详解】 统一单位：0.7吨=700千克。 ，比值 。 【答案】最简整数比 ，比值 。 练习7 两个正方形边长之比 ，求周长比和面积比。 【详解】 周长比=边长比 ；面积比=。 【答案】周长比 ，面积比 。 练习8 两个长方形，长的比 ，宽的比 ，求面积之比。 【详解】 长方形面积=长×宽，面积比=。 【答案】面积之比 。 练习9 化简比并求比值： 【详解】 ，，同乘20：。 比值：。 【答案】最简整数比 ，比值 。 练习10 ，后项加上16，要使比值不变，前项应该加上多少？ 【详解】 原后项32，；。 前项：，增加：。 检验：，。 【答案】前项应加上12。 练习11 甲:乙，乙:丙，求甲:乙:丙。 【详解】 乙为中间量，3和4最小公倍数12。 甲:乙，乙:丙。 连比：甲:乙:丙。 【答案】。 练习12 化简比并求比值：50分 : 2时 【详解】 2时=120分，，比值 。 【答案】最简整数比 ，比值 。 练习13 化简比并求比值： 【详解】 ，，比值 。 【答案】最简整数比 ，比值 。 练习14 ，如果后项减去30，要使比值不变，前项应减去多少？ 【详解】 后项 ，，后项除以3。 前项：，减去：。 检验：，。 【答案】前项应减去20。 练习15 两个等边三角形边长比 ，求周长之比和面积之比。 【详解】 等边三角形周长比等于边长比 ；面积比等于边长平方比 。 【答案】周长比 ，面积比 。 练习16 化简比并求比值： 【详解】 分母最小公倍数60，同乘60：，比值 。 【答案】最简整数比 ，比值 。 练习17 甲、乙两个长方形，甲长:乙长，甲宽:乙宽，求甲乙面积比。 【详解】 面积比=。 【答案】面积之比 。 练习18 化简比并求比值： 【详解】 同时×100：，同除以12，；比值 。 【答案】最简整数比 ，比值 。 练习19 ，前项增加14，要使比值不变，后项应增加多少？ 【详解】 前项 ，，前项乘3。 后项：，增加：。 检验：，。 【答案】后项应增加18。 练习20 ，，求 。 【详解】 B是中间量，7和2最小公倍数14。 ，。 连比 。 【答案】。 模拟赛场 【奥数题1】有一个比 ，前项加上12，比值不变。如果将变化后的比，后项再减去一个数，得到新比 ，求减去的这个数。 【详解】 原比 ，前项 ，，前项×3。 比值不变，后项：，变化后的比：。 设后项减去 ，，所以 ，。 检验：，；，符合条件。 【答案】减去的数是 。 【奥数题2】甲:乙，乙:丙，丙比甲多49，求甲、乙、丙三数。 【详解】 统一中间量乙，3和4最小公倍数12。 甲:乙，乙:丙，连比甲:乙:丙。 甲8份，丙15份，丙比甲多 份，对应49。 1份：。 甲：，乙：，丙：。 检验：甲:乙 ，乙:丙 ；。 【答案】甲 ，乙 ，丙 。 【奥数题3】两个长方形，甲长方形与乙长方形周长之比是 ，甲长:甲宽，乙长:乙宽。求甲乙两个长方形的面积之比。 【详解】 周长比 ，周长=2×(长+宽)，所以长加宽之和的比也是 。 甲：长:宽，长+宽一共 份； 乙：长:宽，长+宽一共 份。 设甲长+宽=5，乙长+宽=3，刚好满足和之比 。 甲长 ，甲宽 ，甲面积 。 乙长 ，乙宽 ，乙面积 。 面积比：。 【答案】甲乙面积之比 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $