第6讲 数列求和（奥数培优讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

奥数培优讲义 第6讲 数列求和 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 编写这份《数列求和》培优专题，初衷并非单纯增加计算负担，而是希望为孩子们揭开“有序排列”背后的数学规律。在六年级奥数体系中，数列求和是连接算术与代数的关键桥梁，其核心魅力在于将看似冗长的加法运算，转化为对首尾关系与公差规律的精准把握。 许多孩子初接触时，容易陷入逐项累加的机械误区。因此，我们从最基础的等差数列定义入手，逐步过渡到项数推导、末项求解及多策略求和。我们特别强调“观察先行”，无论是直接套用高斯求和公式，还是利用凑整法简化非标准数列，亦或是通过分组处理交替规律，目的都是让复杂算式在逻辑拆解中实现快速求解。这种“找规律”的过程，不仅是计算技巧的提升，更是逻辑思维中“归纳与转化”思想的体现。 需警惕的是，项数计算中的“+1”陷阱及非等差数列的误用是高频易错点。通过20道精选跟踪训练与3道高难度拔高题，我们希望孩子们不仅能熟练运用三大核心公式，更能养成先辨析数列特征、再选择最优策略的习惯。愿你们在每一次发现规律、化繁为简的过程中，体会数学的秩序之美，建立从容应对复杂问题的自信。 考点梳理 （一）基础概念 1. 数列：按照一定次序排列的一列数，叫做数列。例如：1、2、3、4、5…；2、4、6、8…；1、3、5、7… 2. 项：数列中的每一个数都叫做数列的项，排在第一个的叫首项，排在最后一个的叫末项。 3. 等差数列：从数列的第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。这个固定的差叫做公差。 举例：1、3、5、7、9，首项=1，末项=9，公差=2。 （二）等差数列核心公式（必考） 1. 求和公式：总和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2 2. 项数公式：项数 =（末项 - 首项）÷ 公差 + 1 3. 末项公式：末项 = 首项 + 公差 ×（项数 - 1） （三）常见奥数求和方法 1. 公式法：适用于标准等差数列，直接套用三大核心公式计算，是最基础、最常用的方法。 2. 凑整求和法：观察数列数字特征，将能凑成整十、整百的数组合相加，简化计算。 3. 分组求和法：适用于规律交替、分段变化的数列，将数列按固定组数分组，先算每组结果，再求总和。 4. 倒序相加法：等差数列推导原理，将数列正序和倒序对应相加，快速得出总和。 （四）易错点总结 1. 计算项数时容易忘记“+1”，是最高频易错点； 2. 非等差数列不能直接套用等差数列求和公式； 3. 分组求和时，需准确判断分组规律，避免分组剩余数遗漏。 例题讲解 【典型例题1】基础等差数列求和（公式直接运用） 计算：1 + 2 + 3 + 4 + … + 48 + 49 + 50 【详解】 观察数列：这是一组等差数列，首项=1，末项=50，公差=1，项数=50。 根据等差数列求和公式：总和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2 代入计算：(1 + 50) × 50 ÷ 2 = 51 × 25 = 1275 【答案】1275 【跟踪训练1】 计算：1 + 3 + 5 + 7 + … + 95 + 97 + 99 【详解】 该数列为奇数等差数列，首项=1，末项=99，公差=2。 先求项数：项数 =（末项 - 首项）÷ 公差 + 1 = (99 - 1) ÷ 2 + 1 = 49 + 1 = 50 再求总和：(1 + 99) × 50 ÷ 2 = 100 × 25 = 2500 【答案】2500 【典型例题2】已知首尾求项数+求和 计算：4 + 8 + 12 + 16 + … + 80 【详解】 观察数列：等差数列，首项=4，末项=80，公差=4。 第一步：计算项数，项数=(80 - 4) ÷ 4 + 1 = 76 ÷ 4 + 1 = 19 + 1 = 20 第二步：计算总和，(4 + 80) × 20 ÷ 2 = 84 × 10 = 840 【答案】840 【跟踪训练2】 计算：6 + 12 + 18 + 24 + … + 72 【详解】 数列为等差数列，首项=6，末项=72，公差=6。 项数=(72 - 6) ÷ 6 + 1 = 66 ÷ 6 + 1 = 11 + 1 = 12 总和=(6 + 72) × 12 ÷ 2 = 78 × 6 = 468 【答案】468 【典型例题3】利用末项公式求未知项再求和 有一个等差数列：2、5、8、11…，求前20项的和。 【详解】 已知：首项=2，公差=3，项数=20，需先求第20项（末项）。 第一步：末项=首项 + 公差×(项数-1)=2 + 3×(20-1)=2 + 57=59 第二步：求和=(2 + 59)×20÷2=61×10=610 【答案】610 【跟踪训练3】 有一个等差数列：3、7、11、15…，求前15项的和。 【详解】 首项=3，公差=4，项数=15。 末项=3 + 4×(15-1)=3 + 56=59 总和=(3 + 59)×15÷2=62×15÷2=31×15=465 【答案】465 【典型例题4】凑整法求和（非标准等差） 计算：99 + 101 + 98 + 102 + 97 + 103 【详解】 观察数字特征，两两凑整：99+101=200，98+102=200，97+103=200 原式= (99+101) + (98+102) + (97+103) = 200 + 200 + 200 = 600 【答案】600 【跟踪训练4】 计算：198 + 202 + 199 + 201 + 197 + 203 【详解】 分组凑整：198+202=400，199+201=400，197+203=400 原式=400+400+400=1200 【答案】1200 【典型例题5】分组求和法（交替规律数列） 计算：(1+2) + (3+4) + (5+6) + … + (99+100) 【详解】 观察规律：每两个数为一组，每组计算结果依次为3、7、11…，是等差数列。 总共有100个数，每组2个数，一共100÷2=50组。 首组结果=3，末组结果=99+100=199，组数（项数）=50 总和=(3+199)×50÷2=202×25=5050 【答案】5050 【跟踪训练5】 计算：(2+3) + (4+5) + (6+7) + … + (98+99) 【详解】 数列从2到99，共98个数，2个数一组，共98÷2=49组。 首组结果=2+3=5，末组结果=98+99=197 总和=(5+197)×49÷2=202×49÷2=101×49=4949 【答案】4949 【典型例题6】拔高题型：残缺等差数列求和 计算：10 + 12 + 14 + … + 96 + 98 + 100 【详解】 该数列为偶数等差数列，首项=10，末项=100，公差=2。 项数=(100-10)÷2 +1=90÷2 +1=45+1=46 总和=(10+100)×46÷2=110×23=2530 【答案】2530 【跟踪训练6】 计算：15 + 18 + 21 + … + 87 + 90 【详解】 等差数列，首项=15，末项=90，公差=3。 项数=(90-15)÷3 +1=75÷3 +1=25+1=26 总和=(15+90)×26÷2=105×13=1365 【答案】1365 提升练习 1. 计算： 【详解】等差数列，首项 = 2，末项 = 100，公差 = 2 项数 总和 【答案】2550 2. 计算： 【详解】等差数列，首项 = 5，末项 = 100，公差 = 5 项数 总和 【答案】1050 3. 计算： 【详解】等差数列，首项 = 7，末项 = 70，公差 = 7 项数 总和 【答案】385 4. 等差数列：，求前 18 项的和。 【详解】首项 = 4，公差 = 5，项数 = 18 末项 总和 【答案】837 5. 等差数列：，求前 22 项的和。 【详解】首项 = 5，公差 = 3，项数 = 22 末项 总和 【答案】803 6. 计算： 【详解】等差数列，首项 = 12，末项 = 60，公差 = 3 项数 总和 【答案】612 7. 计算： 【详解】等差数列，首项 = 20，末项 = 95，公差 = 5 项数 总和 【答案】920 8. 计算： 【详解】等差数列，首项 = 1，末项 = 61，公差 = 3 项数 总和 【答案】651 9. 计算： 【详解】倒序等差数列，首项 = 3，末项 = 102，公差 = 3 项数 总和 【答案】1785 10. 计算： 【详解】等差数列，首项 = 7，末项 = 105，公差 = 7 项数 总和 【答案】840 11. 计算： 【详解】分组凑整： 【答案】1200 12. 计算： 【详解】分组凑整： 【答案】400 13. 计算： 【详解】每一组和：4，12，20…… 公差 8；一共 50 个数，2 个一组，共 25 组 首组 = 4，末组 = 总和 【答案】2500 14. 计算： 【详解】每组和：7，19，31…… 公差 12；观察数列，每组第一个数：2,8,14…56 项数：组 首组 = 7，末组 = 总和 【答案】610 15. 一个等差数列首项是 8，末项是 68，公差是 5，求这个数列的总和。 【详解】项数 总和 【答案】494 16. 一个等差数列首项是 11，末项是 74，公差是 7，求这个数列的总和。 【详解】项数 总和 【答案】425 17. 计算： 【详解】等差数列，首项 = 3，末项 = 96，公差 = 3 项数 总和 【答案】1584 18. 计算： 【详解】等差数列，首项 = 11，末项 = 99，公差 = 11 项数 总和 【答案】495 19. 等差数列：，求前 14 项的和。 【详解】首项 = 16，公差 = 7，项数 = 14 末项 总和 【答案】861 20. 计算： 【详解】等差数列，首项 = 4，末项 = 70，公差 = 3 项数 总和 【答案】851 模拟赛场 【奥数题1】有一串数：，数字连续出现次。求第 1 组到第 8 组所有数的总和。 【详解】第 1 组：1（1 个 1）；第 2 组：2,2（2 个 2）；…… 第 8 组：8 共 8 个。 每组的和： 总和 平方和公式： 代入：总和 【答案】204 【奥数题2】计算： 【详解】 第一个括号：首项 10，末项 100，公差 2，项数 第二个括号：首项 9，末项 99，公差 2，项数 原式 一共 46 组，每组差为 1，总和 【答案】46 【奥数题3】已知一个等差数列一共有 25 项，总和是 1000，首项是 12，求这个数列的末项。 【详解】等差数列求和公式：总和 变形： 首项 + 末项 末项 验证：项数，公差，不影响计算。 【答案】68 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第6讲 数列求和 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 编写这份《数列求和》培优专题，初衷并非单纯增加计算负担，而是希望为孩子们揭开“有序排列”背后的数学规律。在六年级奥数体系中，数列求和是连接算术与代数的关键桥梁，其核心魅力在于将看似冗长的加法运算，转化为对首尾关系与公差规律的精准把握。 许多孩子初接触时，容易陷入逐项累加的机械误区。因此，我们从最基础的等差数列定义入手，逐步过渡到项数推导、末项求解及多策略求和。我们特别强调“观察先行”，无论是直接套用高斯求和公式，还是利用凑整法简化非标准数列，亦或是通过分组处理交替规律，目的都是让复杂算式在逻辑拆解中实现快速求解。这种“找规律”的过程，不仅是计算技巧的提升，更是逻辑思维中“归纳与转化”思想的体现。 需警惕的是，项数计算中的“+1”陷阱及非等差数列的误用是高频易错点。通过20道精选跟踪训练与3道高难度拔高题，我们希望孩子们不仅能熟练运用三大核心公式，更能养成先辨析数列特征、再选择最优策略的习惯。愿你们在每一次发现规律、化繁为简的过程中，体会数学的秩序之美，建立从容应对复杂问题的自信。 考点梳理 （一）基础概念 1. 数列：按照一定次序排列的一列数，叫做数列。例如：1、2、3、4、5…；2、4、6、8…；1、3、5、7… 2. 项：数列中的每一个数都叫做数列的项，排在第一个的叫首项，排在最后一个的叫末项。 3. 等差数列：从数列的第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。这个固定的差叫做公差。 举例：1、3、5、7、9，首项=1，末项=9，公差=2。 （二）等差数列核心公式（必考） 1. 求和公式：总和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2 2. 项数公式：项数 =（末项 - 首项）÷ 公差 + 1 3. 末项公式：末项 = 首项 + 公差 ×（项数 - 1） （三）常见奥数求和方法 1. 公式法：适用于标准等差数列，直接套用三大核心公式计算，是最基础、最常用的方法。 2. 凑整求和法：观察数列数字特征，将能凑成整十、整百的数组合相加，简化计算。 3. 分组求和法：适用于规律交替、分段变化的数列，将数列按固定组数分组，先算每组结果，再求总和。 4. 倒序相加法：等差数列推导原理，将数列正序和倒序对应相加，快速得出总和。 （四）易错点总结 1. 计算项数时容易忘记“+1”，是最高频易错点； 2. 非等差数列不能直接套用等差数列求和公式； 3. 分组求和时，需准确判断分组规律，避免分组剩余数遗漏。 例题讲解 【典型例题1】基础等差数列求和（公式直接运用） 计算：1 + 2 + 3 + 4 + … + 48 + 49 + 50 【跟踪训练1】 计算：1 + 3 + 5 + 7 + … + 95 + 97 + 99 【典型例题2】已知首尾求项数+求和 计算：4 + 8 + 12 + 16 + … + 80 【跟踪训练2】 计算：6 + 12 + 18 + 24 + … + 72 【典型例题3】利用末项公式求未知项再求和 有一个等差数列：2、5、8、11…，求前20项的和。 【跟踪训练3】 有一个等差数列：3、7、11、15…，求前15项的和。 【典型例题4】凑整法求和（非标准等差） 计算：99 + 101 + 98 + 102 + 97 + 103 【跟踪训练4】 计算：198 + 202 + 199 + 201 + 197 + 203 【典型例题5】分组求和法（交替规律数列） 计算：(1+2) + (3+4) + (5+6) + … + (99+100) 【跟踪训练5】 计算：(2+3) + (4+5) + (6+7) + … + (98+99) 【典型例题6】拔高题型：残缺等差数列求和 计算：10 + 12 + 14 + … + 96 + 98 + 100 【跟踪训练6】 计算：15 + 18 + 21 + … + 87 + 90 提升练习 1. 计算： 2. 计算： 3. 计算： 4. 等差数列：，求前 18 项的和。 5. 等差数列：，求前 22 项的和。 6. 计算： 7. 计算： 8. 计算： 9. 计算： 10. 计算： 11. 计算： 12. 计算： 13. 计算： 14. 计算： 15. 一个等差数列首项是 8，末项是 68，公差是 5，求这个数列的总和。 16. 一个等差数列首项是 11，末项是 74，公差是 7，求这个数列的总和。 17. 计算： 18. 计算： 19. 等差数列：，求前 14 项的和。 20. 计算： 模拟赛场 【奥数题1】有一串数：，数字连续出现次。求第 1 组到第 8 组所有数的总和。 【奥数题2】计算： 【奥数题3】已知一个等差数列一共有 25 项，总和是 1000，首项是 12，求这个数列的末项。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $