第19讲 比的意义与性质进阶 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第19讲 比的意义与性质进阶 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 比的核心意义 两个数相除又叫做两个数的比，用来表示两个同类量之间的倍比关系。 表达式：（），“” 是比号，比号前面的数叫前项，比号后面的数叫后项，相除的商叫做比值。 比值：可以是整数、小数或分数，是一个具体的数值，不带比号。 2. 比与分数、除法的关系 三者可以互相转化，对应关系如下： 比 前项 比号（:） 后项 比值 除法 被除数 除号（÷） 除数 商 分数 分子 分数线（—） 分母 分数值 核心限制：比的后项、除法的除数、分数的分母都不能为 0。 3. 比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。这是化简比、连比统一的核心依据。 拓展：前项加 / 减几倍的自身，后项也要加 / 减相同倍数的自身，比值才不变。 4. 最简整数比与化简比 最简整数比：比的前项和后项都是整数，且公因数只有 1（互质）。 化简比方法： 整数比：前后项同时除以它们的最大公因数； 分数比：前后项同时乘分母的最小公倍数，转化为整数比再化简； 小数比：前后项同时扩大相同倍数（10、100…），转化为整数比再化简； 混合比：先统一为分数或小数，再按对应方法化简。 注意：带单位的比化简，必须先统一单位，再化简，化简结果不带单位。 5. 求比值与化简比的区别 类型 目的 结果形式 示例 求比值 求前项是后项的几倍 / 几分之几 一个数（整数 / 分数 / 小数） 的比值是 化简比 化成最简整数比 一个比（有前项、后项） 化简后是 6. 连比进阶 三个或三个以上数的比叫做连比，如。 连比的基本性质：连比的每一项同时乘或除以相同的数（0 除外），连比的比值关系不变。 连比统一方法：已知两个两数比，求三个数的连比，先找中间公共项的最小公倍数，统一中间项的份数，再对应调整前后项。 例：已知，，中间项分别是 3 和 4，最小公倍数 12，统一，则，，所以。 7. 比的应用进阶（不变量法） 比的应用核心是 “量份对应”，进阶题型通过抓住不变量，统一份数，实现量率对应。 单量不变：其中一个量的数量不变，另一个量变化，统一不变量的份数； 和不变：两个量的总和不变，内部转移，统一总份数； 差不变：两个量同时增加或减少相同的数量，差值不变，统一差的份数。 8. 解题通用步骤 ① 定比关系：明确题目中的比，确定前项后项对应的量； ② 找不变量：分析变化前后，哪个量 / 和 / 差不变； ③ 统一份数：根据不变量，统一比的份数； ④ 量份对应：找到已知数量对应的份数，求 1 份量； ⑤ 计算结果：根据问题求对应量。 9. 易错警示 比的后项不能为 0，体育比赛中的比分（如 2:0）只是计分形式，不是数学意义的比； 化简比的结果必须是最简整数比，前项后项必须互质； 求比值和化简比不能混淆，比值是数，化简比是比； 连比合并时，必须先统一中间项的份数，不能直接把前后项拼接； 带单位的比，必须先统一单位再化简，比值不带单位。 例题讲解 【典型例题 1】比的基本性质运用 把的前项加上 6，要使比值不变，后项应加上多少？ 【跟踪训练 1】 把的后项加上 21，要使比值不变，前项应加上多少？ 【典型例题 2】连比的化简与统一 已知甲：乙，乙：丙，求甲：乙: 丙的最简整数比。 【跟踪训练 2】 已知，，求的最简整数比。 【典型例题 3】单量不变型应用 甲、乙两人的零花钱数之比是，后来乙花掉 40 元，这时两人的钱数之比变为。甲原来有多少零花钱？ 【跟踪训练 3】 甲、乙两个车间的人数比是，如果从甲车间调走 8 人，这时甲、乙两车间人数比是。乙车间有多少人？ 【典型例题 4】和不变型应用 甲、乙两筐苹果的重量比是，如果从甲筐拿出 12 千克放入乙筐，那么两筐苹果的重量比变为。两筐苹果一共重多少千克？ 【跟踪训练 4】 甲、乙两人的邮票张数比是，如果甲给乙 18 张，两人邮票张数比变为。两人一共有多少张邮票？ 巩固练习 1. 把的前项加上 15，要使比值不变，后项应加上多少？ 2. 化简下面各比：（1） （2） 3. 已知甲：乙，乙：丙，求甲：乙: 丙的最简整数比。 4. 求比值：（1） （2）千米: 500 米 5. 甲、乙两数的比是，乙、丙两数的比是，已知丙数是 28，求甲数是多少？ 6. 小明和小红的课外书本数比是，小明又买来 10 本后，两人本数比变为。小红有多少本课外书？ 7. 甲、乙两袋大米的重量比是，如果从甲袋倒出 10 千克给乙袋，两袋重量比是。两袋大米一共重多少千克？ 8. 有两根绳子，长度比是，各剪去 2 米后，长度比变为。原来第一根绳子长多少米？ 9. 一个三角形三个内角的度数比是，这三个角分别是多少度？ 10. 把的前项乘 4，后项不变，比值会怎么变化？ 11. 甲、乙、丙三人共有钱 180 元，甲：乙，乙：丙，三人各有多少钱？ 12. 男生比女生多 12 人，男女生人数比是，全班共有多少人？ 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）把的前项加上 6，要使比值不变，后项应加上多少？ 2.（希望杯六年级试题）化简比： 3.（小升初衔接题）甲、乙、丙三个数的和是 126，甲：乙，乙：丙，求乙数是多少？ 4.（华杯赛初赛）甲、乙两人的零花钱比是，甲给乙 10 元后，两人钱数比是。两人一共有多少钱？ 5.（苏教版培优题）两根绳子长度比是，各接上去 6 米后，长度比变为。原来两根绳子一共长多少米？ 6.（重点中学分班考）一个长方形的周长是 40 厘米，长与宽的比是，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 7.（走美杯真题）的前项加上 14，要使比值不变，后项应（ ） A. 加上 14 B. 乘 2 C. 乘 3 D. 减 14 8.（六年级期末真题）求比值：小时: 20 分钟 9.（希望杯模拟题）甲、乙两个车间人数比是，甲车间调走 20 人，乙车间调进 20 人，这时人数比是。原来两个车间各有多少人？ 10.（小升初真题）三个数的平均数是 30，三个数的比是，最大的数是多少？ 11.（华杯赛模拟题）甲、乙、丙三人分糖果，甲：乙，乙：丙，甲比丙多 10 颗。三人一共分多少颗糖果？ 12.（思维训练题）有两堆煤，重量比是，第一堆用掉 10 吨，第二堆用掉 20 吨后，两堆重量比是。原来第一堆煤有多少吨？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 比的意义与性质进阶 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 比的核心意义 两个数相除又叫做两个数的比，用来表示两个同类量之间的倍比关系。 表达式：（），“” 是比号，比号前面的数叫前项，比号后面的数叫后项，相除的商叫做比值。 比值：可以是整数、小数或分数，是一个具体的数值，不带比号。 2. 比与分数、除法的关系 三者可以互相转化，对应关系如下： 比 前项 比号（:） 后项 比值 除法 被除数 除号（÷） 除数 商 分数 分子 分数线（—） 分母 分数值 核心限制：比的后项、除法的除数、分数的分母都不能为 0。 3. 比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。这是化简比、连比统一的核心依据。 拓展：前项加 / 减几倍的自身，后项也要加 / 减相同倍数的自身，比值才不变。 4. 最简整数比与化简比 最简整数比：比的前项和后项都是整数，且公因数只有 1（互质）。 化简比方法： 整数比：前后项同时除以它们的最大公因数； 分数比：前后项同时乘分母的最小公倍数，转化为整数比再化简； 小数比：前后项同时扩大相同倍数（10、100…），转化为整数比再化简； 混合比：先统一为分数或小数，再按对应方法化简。 注意：带单位的比化简，必须先统一单位，再化简，化简结果不带单位。 5. 求比值与化简比的区别 类型 目的 结果形式 示例 求比值 求前项是后项的几倍 / 几分之几 一个数（整数 / 分数 / 小数） 的比值是 化简比 化成最简整数比 一个比（有前项、后项） 化简后是 6. 连比进阶 三个或三个以上数的比叫做连比，如。 连比的基本性质：连比的每一项同时乘或除以相同的数（0 除外），连比的比值关系不变。 连比统一方法：已知两个两数比，求三个数的连比，先找中间公共项的最小公倍数，统一中间项的份数，再对应调整前后项。 例：已知，，中间项分别是 3 和 4，最小公倍数 12，统一，则，，所以。 7. 比的应用进阶（不变量法） 比的应用核心是 “量份对应”，进阶题型通过抓住不变量，统一份数，实现量率对应。 单量不变：其中一个量的数量不变，另一个量变化，统一不变量的份数； 和不变：两个量的总和不变，内部转移，统一总份数； 差不变：两个量同时增加或减少相同的数量，差值不变，统一差的份数。 8. 解题通用步骤 ① 定比关系：明确题目中的比，确定前项后项对应的量； ② 找不变量：分析变化前后，哪个量 / 和 / 差不变； ③ 统一份数：根据不变量，统一比的份数； ④ 量份对应：找到已知数量对应的份数，求 1 份量； ⑤ 计算结果：根据问题求对应量。 9. 易错警示 比的后项不能为 0，体育比赛中的比分（如 2:0）只是计分形式，不是数学意义的比； 化简比的结果必须是最简整数比，前项后项必须互质； 求比值和化简比不能混淆，比值是数，化简比是比； 连比合并时，必须先统一中间项的份数，不能直接把前后项拼接； 带单位的比，必须先统一单位再化简，比值不带单位。 例题讲解 【典型例题 1】比的基本性质运用 把的前项加上 6，要使比值不变，后项应加上多少？ 【分析】前项加上 6，先算出前项扩大了几倍，根据比的基本性质，后项也要扩大相同的倍数，再算出后项增加的数值。 【详解】 原来前项是 3，加上 6 后变为： 前项扩大的倍数： 要使比值不变，后项也应扩大 3 倍： 后项应加上： 答：后项应加上 10。 【答案】 【跟踪训练 1】 把的后项加上 21，要使比值不变，前项应加上多少？ 【分析】先算后项扩大的倍数，前项扩大相同倍数，再求增加的量。 【详解】 原来后项是 7，加上 21 后变为： 后项扩大倍数： 前项应变为： 前项应加上： 答：前项应加上 12。 【答案】 【典型例题 2】连比的化简与统一 已知甲：乙，乙：丙，求甲：乙: 丙的最简整数比。 【分析】两个比中都有乙，乙在第一个比中是 3 份，在第二个比中是 4 份，份数不统一，先找 3 和 4 的最小公倍数 12，把乙的份数都统一为 12 份，再分别调整甲和丙的份数。 【详解】 3 和 4 的最小公倍数是 12。 甲：乙 乙：丙 乙的份数统一为 12，因此甲：乙: 丙 答：甲：乙: 丙的最简整数比是。 【答案】 【跟踪训练 2】 已知，，求的最简整数比。 【分析】中间项 b 是 4 和 6，最小公倍数 12，统一 b 的份数。 【详解】 4 和 6 的最小公倍数是 12。 所以 答：的最简整数比是。 【答案】 【典型例题 3】单量不变型应用 甲、乙两人的零花钱数之比是，后来乙花掉 40 元，这时两人的钱数之比变为。甲原来有多少零花钱？ 【分析】乙花掉钱，甲的钱数不变，是单量不变。统一甲的份数：原来甲是 3 份，后来甲是 5 份，找 3 和 5 的最小公倍数 15，统一甲为 15 份，分别调整两个比中乙的份数，再看乙减少的份数对应 40 元，求出 1 份量，再求甲的钱数。 【详解】 甲的钱数不变，统一甲的份数： 原来甲：乙 后来甲：乙 乙减少的份数：份 4 份对应 40 元，1 份量：（元） 甲原来有 15 份：（元） 答：甲原来有 150 元零花钱。 【答案】元 【跟踪训练 3】 甲、乙两个车间的人数比是，如果从甲车间调走 8 人，这时甲、乙两车间人数比是。乙车间有多少人？ 【分析】乙车间人数不变，统一乙的份数，求 1 份量，再算乙的人数。 【详解】 乙人数不变，统一乙的份数： 原来甲：乙 后来甲：乙 甲减少的份数：份 2 份对应 8 人，1 份量：（人） 乙车间有 15 份：（人） 答：乙车间有 60 人。 【答案】人 【典型例题 4】和不变型应用 甲、乙两筐苹果的重量比是，如果从甲筐拿出 12 千克放入乙筐，那么两筐苹果的重量比变为。两筐苹果一共重多少千克？ 【分析】两筐之间互相转移，总重量不变，是和不变。统一总份数：原来总份数份，后来总份数份，找 8 和 12 的最小公倍数 24，统一总份数为 24 份，调整前后的比，看甲减少的份数对应 12 千克，求 1 份量，再求总重量。 【详解】 总重量不变，统一总份数： 原来总份数：份 后来总份数：份 8 和 12 的最小公倍数是 24。 原来甲：乙（总 24 份） 后来甲：乙（总 24 份） 甲减少的份数：份 1 份对应 12 千克，总份数 24 份： 总重量：（千克） 答：两筐苹果一共重 288 千克。 【答案】千克 【跟踪训练 4】 甲、乙两人的邮票张数比是，如果甲给乙 18 张，两人邮票张数比变为。两人一共有多少张邮票？ 【分析】总张数不变，统一总份数，求 1 份量，再算总数。 【详解】 总张数不变，原来总份数，后来总份数，最小公倍数 84。 原来甲：乙（总 84 份） 后来甲：乙（总 84 份） 甲减少 1 份，对应 18 张。 总张数：（张） 答：两人一共有 1512 张邮票。 【答案】张 巩固练习 1. 把的前项加上 15，要使比值不变，后项应加上多少？ 【分析】先算前项扩大的倍数，后项同倍扩大，求增加量。 【详解】 前项变为： 扩大倍数： 后项应变为： 后项应加： 答：后项应加上 24。 【答案】 2. 化简下面各比：（1） （2） 【分析】小数分数混合比，先统一形式再化简。 【详解】 （1） （2） 答：（1）；（2）。 【答案】（1）；（2） 3. 已知甲：乙，乙：丙，求甲：乙: 丙的最简整数比。 【分析】统一中间项乙的份数，3 和 6 最小公倍数 6。 【详解】 乙：丙 甲：乙 所以甲：乙: 丙 答：甲：乙: 丙的最简整数比是。 【答案】 4. 求比值：（1） （2）千米: 500 米 【分析】求比值，结果是数；带单位先统一单位。 【详解】 （1） （2）千米 = 750 米， 答：（1）比值是 1.6；（2）比值是 1.5。 【答案】（1）；（2） 5. 甲、乙两数的比是，乙、丙两数的比是，已知丙数是 28，求甲数是多少？ 【分析】先连比，再按丙的份数求 1 份量，算甲数。 【详解】 甲：乙: 丙 丙 14 份对应 28，1 份： 甲 9 份： 答：甲数是 18。 【答案】 6. 小明和小红的课外书本数比是，小明又买来 10 本后，两人本数比变为。小红有多少本课外书？ 【分析】小红的本数不变，统一小红的份数。 【详解】 小红本数不变，原来，后来 小明增加 1 份，对应 10 本。 小红 3 份：（本） 答：小红有 30 本课外书。 【答案】本 7. 甲、乙两袋大米的重量比是，如果从甲袋倒出 10 千克给乙袋，两袋重量比是。两袋大米一共重多少千克？ 【分析】总重量不变，统一总份数。 【详解】 原来总份数 5，后来总份数 10，统一为 10 份。 原来甲：乙，后来甲：乙 甲减少 1 份对应 10 千克。 总重：（千克） 答：两袋大米一共重 100 千克。 【答案】千克 8. 有两根绳子，长度比是，各剪去 2 米后，长度比变为。原来第一根绳子长多少米？ 【分析】同减相同长度，差不变，统一差的份数。 【详解】 原来差：份，后来差：份，统一差为 2 份。 后来比 第一根减少 1 份对应 2 米。 原来第一根 7 份：（米） 答：原来第一根绳子长 14 米。 【答案】米 9. 一个三角形三个内角的度数比是，这三个角分别是多少度？ 【分析】三角形内角和 180 度，按比分配。 【详解】 总份数： 1 份：度 三个角分别：，， 答：三个角分别是 40°、60°、80°。 【答案】 10. 把的前项乘 4，后项不变，比值会怎么变化？ 【分析】根据比与除法的关系，前项乘 4，后项不变，比值乘 4。 【详解】 原来比值： 后来比值： 答：比值扩大到原来的 4 倍。 【答案】扩大到原来的 4 倍 11. 甲、乙、丙三人共有钱 180 元，甲：乙，乙：丙，三人各有多少钱？ 【分析】先连比，再按比分配。 【详解】 甲：乙: 丙 总份数： 1 份：元 甲：元，乙：元，丙：元 答：甲有 40 元，乙有 60 元，丙有 80 元。 【答案】甲元；乙元；丙元 12. 男生比女生多 12 人，男女生人数比是，全班共有多少人？ 【分析】差量对应差份，求 1 份，再算总份数。 【详解】 差的份数：份 1 份：人 总份数：份 总人数：人 答：全班共有 48 人。 【答案】人 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）把的前项加上 6，要使比值不变，后项应加上多少？ 【分析】先算前项扩大的倍数，后项同倍扩大，求增加量。 【详解】 前项变为： 扩大倍数： 后项应变为： 后项应加： 答：后项应加上 9。 【答案】 2.（希望杯六年级试题）化简比： 【分析】小数分数混合，统一形式后化简。 【详解】 答：化简后是。 【答案】 3.（小升初衔接题）甲、乙、丙三个数的和是 126，甲：乙，乙：丙，求乙数是多少？ 【分析】先统一连比，再按和分配。 【详解】 甲：乙，乙：丙 甲：乙: 丙，总份数 63 1 份： 乙数： 答：乙数是 40。 【答案】 4.（华杯赛初赛）甲、乙两人的零花钱比是，甲给乙 10 元后，两人钱数比是。两人一共有多少钱？ 【分析】总钱数不变，统一总份数。 【详解】 原来总份数，后来总份数，总份数不变。 甲减少 1 份对应 10 元。 总钱数：元 答：两人一共有 50 元。 【答案】元 5.（苏教版培优题）两根绳子长度比是，各接上去 6 米后，长度比变为。原来两根绳子一共长多少米？ 【分析】同增相同长度，差不变，统一差的份数。 【详解】 原来差 1 份，后来差 1 份，差不变。 第一根增加 1 份对应 6 米。 原来总长：米 答：原来两根绳子一共长 42 米。 【答案】米 6.（重点中学分班考）一个长方形的周长是 40 厘米，长与宽的比是，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【分析】先求一组长加宽的和，再按比分配求长宽，算面积。 【详解】 长 + 宽：厘米 总份数： 1 份：厘米 长：厘米，宽：厘米 面积：平方厘米 答：长方形的面积是 96 平方厘米。 【答案】平方厘米 7.（走美杯真题）的前项加上 14，要使比值不变，后项应（ ） A. 加上 14 B. 乘 2 C. 乘 3 D. 减 14 【分析】先算前项变化后的倍数，后项同倍变化。 【详解】 前项变为： 扩大倍数： 后项应乘 3，或加上。 所以选 C。 【答案】 8.（六年级期末真题）求比值：小时: 20 分钟 【分析】先统一单位，再求比值。 【详解】 小时 = 40 分钟 答：比值是 2。 【答案】 9.（希望杯模拟题）甲、乙两个车间人数比是，甲车间调走 20 人，乙车间调进 20 人，这时人数比是。原来两个车间各有多少人？ 【分析】总人数不变，统一总份数。 【详解】 总人数不变，原来总份数，后来总份数，统一为 9 份。 后来甲：乙 甲减少：份，对应 20 人 1 份：人 原来甲：人，乙：人 答：原来甲车间 50 人，乙车间 40 人。 【答案】甲人；乙人 10.（小升初真题）三个数的平均数是 30，三个数的比是，最大的数是多少？ 【分析】先求三个数的总和，再按比分配。 【详解】 总和： 总份数： 1 份： 最大数： 答：最大的数是 45。 【答案】 11.（华杯赛模拟题）甲、乙、丙三人分糖果，甲：乙，乙：丙，甲比丙多 10 颗。三人一共分多少颗糖果？ 【分析】先连比，求差份对应 10 颗，算总份数。 【详解】 甲：乙: 丙 甲比丙多份，对应 10 颗。 总份数： 总颗数：颗 答：三人一共分 150 颗糖果。 【答案】颗 12.（思维训练题）有两堆煤，重量比是，第一堆用掉 10 吨，第二堆用掉 20 吨后，两堆重量比是。原来第一堆煤有多少吨？ 【分析】用方程法，根据后来的比列方程求解。 【详解】 设原来第一堆吨，第二堆吨。 原来第一堆：吨 答：原来第一堆煤有 64 吨。 【答案】吨 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $