第7讲 二进制（奥数培优讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

奥数培优讲义 第7讲 二进制 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 编写这份《二进制》培优专题，初衷并非单纯引入一种新的计数方式，而是希望为孩子们揭开计算机科学底层的数学面纱。在六年级奥数体系中，进制问题是连接算术与代数逻辑的重要桥梁，其核心魅力在于跳出“逢十进一”的思维定势，重新审视数字的本质。 许多孩子初接触时，容易混淆不同进制的位值概念。因此，我们从最基础的“基数”与“位值”入手，重点攻克三大核心转换法：利用“按权展开求和”实现任意进制转十进制，通过“除基取余倒序”完成十进制转任意进制。特别针对奥数高频考点，我们引入了二进制与八进制的“三位一组”快速互换技巧，以及严格的“逢二进一、借一当二”运算法则。这些不仅是解题工具，更是逻辑思维中“转化与对应”思想的体现。 资料精选了从基础转换到多进制综合拔高的典型例题，辅以易错点警示。我们希望孩子们不仅能熟练计算，更能养成“先辨进制、再定策略”的习惯。愿你们在0与1的交替中，体会逻辑闭环的严密之美，建立探索未知数学世界的自信。 考点梳理 （一）常用进制基本概念 我们生活中使用的是十进制，奥数常考二进制、八进制。 1. 十进制：基数 10，逢十进一，数字 0～9。 2. 二进制：基数 2，逢二进一，数字只有 0、1（无 2、3、4……）。 3. 八进制：基数 8，逢八进一，数字 0～7（无 8、9）。 标记规范：表示十进制、表示二进制、表示八进制。 （二）必须熟记的位值单位 （三）三大核心转换方法（必考） 1. 任意进制 → 十进制：按权展开求和法 从右往左，从 0 次方开始依次升高，数字乘对应位值，全部相加。 公式通用： 2. 十进制 → 任意进制：除基取余倒序法 不断除以目标进制基数，直到商为 0，余数倒着写就是结果。 3. 二进制 ↔ 八进制（快速分组法，奥数重点） 原理：，3 位二进制 = 1 位八进制 二进制转八进制：从最右侧开始，每 3 位一组，左边不够补 0，每组换算 1 位八进制。 八进制转二进制：每 1 位八进制，补齐为 3 位二进制，拼接后去掉前面多余 0。 （四）二进制加减运算法则 加法口诀：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10（逢二进一） 减法口诀：0-0=0，1-0=1，1-1=0，0-1 不够减，向前借 1 当 2 （五）高频易错点 1. 分组必须从右往左，不能从左分； 2. 十进制转进制，余数一定要倒序； 3. 二进制计算只能出现 0、1，绝不出现 2 及以上数字； 4. 八进制转二进制必须严格补成 3 位，不能少位。 例题讲解 【典型例题 1】二进制转十进制 将 转换成十进制数。 【详解】按权展开求和： 【答案】 【跟踪训练 1】 将 转换成十进制数。 【详解】 【答案】 【典型例题 2】十进制转二进制 将 转换成二进制数。 【详解】除 2 取余： 26÷2=13 余 0 13÷2=6 余 1 6÷2=3 余 0 3÷2=1 余 1 1÷2=0 余 1 商为 0 停止，余数倒序：11010 【答案】 【跟踪训练 2】 将 转换成二进制数。 【详解】 35÷2=17 余 1 17÷2=8 余 1 8÷2=4 余 0 4÷2=2 余 0 2÷2=1 余 0 1÷2=0 余 1 倒序余数：100011 【答案】 【典型例题 3】二进制加法运算 计算： 【详解】竖式逢二进一： 个位：1+1=10 写 0 进 1 十位：0+0+1=1 百位：1+1=10 写 0 进 1 千位：1+0+1=10 结果：10010 验算：13+5=18， 【答案】 【跟踪训练 3】 计算： 【详解】逐位相加、逢二进一，最终结果：10010 验算：11+7=18 【答案】 【典型例题 4】二进制减法运算 计算： 【详解】不够减向前借 1 当 2： 逐位计算后结果为：111 验算：12-5=7， 【答案】 【跟踪训练 4】 计算： 【详解】借位计算，最终结果：1111 验算：21-6=15 【答案】 【典型例题 5】二进制转八进制 将 转为八进制。 【详解】从右 3 位分组：101 110 拼接得：56 【答案】 【跟踪训练 5】 将 转为八进制。 【详解】右起分组：110 011 【答案】 【典型例题 6】八进制转二进制 将 转为二进制。 【详解】1 位八进制补成 3 位二进制： 拼接：011111，去掉前导 0 得 11111 【答案】 【跟踪训练 6】 将 转为二进制。 【详解】 拼接结果：110010 【答案】 【典型例题 7】十进制转八进制 将 转为八进制。 【详解】除 8 取余： 105÷8=13 余 1 13÷8=1 余 5 1÷8=0 余 1 倒序：151 【答案】 【跟踪训练 7】 将 转为八进制。 【详解】 78÷8=9 余 6 9÷8=1 余 1 1÷8=0 余 1 倒序：116 【答案】 【典型例题 8】多进制综合拔高 先将 转十进制，再将十进制转八进制。 【详解】 二进制转十进制：16+8+4+0+1=29 十进制 29 转八进制：29÷8=3 余 5，3÷8=0 余 3，结果 【答案】十进制 29，八进制 【跟踪训练 8】 将 转二进制，再转十进制。 【详解】 → 二进制 100101 十进制：32+4+1=37 【答案】，37 提升练习 1. 将二进制数 转化为十进制数 【详解】按权展开求和： 【答案】 2. 将二进制数 转化为十进制数 【详解】 【答案】 3. 将十进制 转化为二进制数 【详解】除 2 取余，商 0 停止，余数倒序： 42÷2=21⋯0 21÷2=10⋯1 10÷2=5⋯0 5÷2=2⋯1 2÷2=1⋯0 1÷2=0⋯1 余数从下往上：101010 【答案】 4. 将十进制 转化为二进制数 【详解】除 2 取余： 59÷2=29⋯1 29÷2=14⋯1 14÷2=7⋯0 7÷2=3⋯1 3÷2=1⋯1 1÷2=0⋯1 倒序余数：111011 【答案】 5. 计算二进制加法： 【详解】逢二进一竖式： 　1001 +　110 1111 验算： 【答案】 6. 计算二进制加法： 【详解】逢二进一： 　11001 +　1011 100100 验算：25+11=36， 【答案】 7. 计算二进制减法： 【详解】借 1 当 2： 　11010 -　 1001 10001 验算：26−9=17， 【答案】 8. 计算二进制减法： 【详解】逐位借位： 　101001 -　11010 001111=1111 验算：41−26=15， 【答案】 9. 将二进制 转化为八进制 【详解】右起每 3 位分组：101 011 ，拼接 53 【答案】 10. 将二进制 转化为八进制 【详解】右起分组：001 101 100，左边补 0 ，拼接 154 【答案】 11. 将八进制 转化为二进制 【详解】1 位八进制写成 3 位二进制：，拼接 010101，去掉前导 0 【答案】 12. 将八进制 转化为二进制 【详解】，拼接 111100 【答案】 13. 将十进制 转化为八进制 【详解】除 8 取余： 124÷8=15⋯4 15÷8=1⋯7 1÷8=0⋯1 余数倒序：174 【答案】 14. 将十进制 转化为八进制 【详解】除 8 取余： 91÷8=11⋯3 11÷8=1⋯3 1÷8=0⋯1 倒序：133 【答案】 15. 先把 转十进制，再转八进制 【详解】 第一步： 第二步：46÷8=5⋯6，5÷8=0⋯5，倒序 56 【答案】十进制，八进制 16. 先把 转二进制，再转十进制 【详解】 第一步：，拼接二进制 110011 第二步： 【答案】二进制，十进制 17. 计算： 【详解】 先算加法： 再做减法： 验算：14+11−8=17， 【答案】 18. 二进制 转八进制 【详解】右起 3 位分组：001 100 011 001=1，100=4，011=3，拼接 143 【答案】 19. 将八进制 转为二进制 【详解】，拼接 001000110，去掉前导 0 【答案】 20. 十进制 ，先转二进制，再转八进制 【详解】 67÷2=33⋯1，33÷2=16⋯1，16÷2=8⋯0，8÷2=4⋯0，4÷2=2⋯0，2÷2=1⋯0，1÷2=0⋯1 二进制：1000011 二进制分组：001 000 011 → 103 【答案】二进制，八进制 模拟赛场 1. 一个十进制自然数，写成二进制是 5 位数，这个数最大是多少？最小是多少？分别写出它们的二进制、八进制。 【详解】 二进制 5 位范围：最小，最大 最小：；二进制分组：010 000 → 最大：；分组：011 111 → 【答案】最小十进制 16，二进制，八进制；最大十进制 31，二进制，八进制 2. 已知 ，求数字，并将这个二进制数转化为八进制。 【详解】 展开： 二进制为，右分组：010 011 → 【答案】；八进制 3. 在二进制下，有算式：，求，再把转十进制、八进制。 【详解】 移项： 竖式二进制减法： ；转八进制 验算：，成立 【答案】二进制，十进制，八进制 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第7讲二进制 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 编写这份《二进制》培优专题，初衷并非单纯引入一种新的计数方式，而是希望为孩子 们揭开计算机科学底层的数学面纱。在六年级奥数体系中，进制问题是连接算术与代数逻辑 的重要桥梁，其核心魅力在于跳出“逢十进一”的思维定势，重新审视数字的本质。 许多孩子初接触时，容易混淆不同进制的位值概念。因此，我们从最基础的“基数”与 “位值”入手，重点攻克三大核心转换法：利用“按权展开求和”实现任意进制转十进制， 通过“除基取余倒序”完成十进制转任意进制。特别针对奥数高频考点，我们引入了二进制 与八进制的“三位一组”快速互换技巧，以及严格的“逢二进一、借一当二”运算法则。这 些不仅是解题工具，更是逻辑思维中“转化与对应”思想的体现。 资料精选了从基础转换到多进制综合拔高的典型例题，辅以易错点警示。我们希望孩子 们不仅能熟练计算，更能养成“先辨进制、再定策略”的习惯。愿你们在0与1的交替中， 体会逻辑闭环的严密之美，建立探索未知数学世界的自信。 考点梳理 (一)常用进制基本概念 第1页 奥数培优讲义 我们生活中使用的是十进制，奥数常考二进制、八进制。 1.十进制：基数10，逢十进一，数字0~9。 2.二进制：基数2，逢二进一，数字只有0、1（无2、3、4.…)。 3.八进制：基数8，逢八进一，数字0~7（无8、9）。 标记规范：（…1o表示十进制、（…2表示二进制、（…)8表示八进制。 (二)必须熟记的位值单位 2°=1,2=2,2=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128 8°=1,82=8,82=64 (三)三大核心转换方法（必考) 1.任意进制→十进制：按权展开求和法 从右往左，从0次方开始依次升高，数字乘对应位值，全部相加。 公式通用：an.a2a1ag)R=an×R”+.+a1×Rl+a×R° 2.十进制→任意进制：除基取余倒序法 不断除以目标进制基数，直到商为0，余数倒着写就是结果。 3.二进制口八进制（快速分组法，奥数重点） 原理：2'=8,3位二进制=1位八进制 二进制转八进制：从最右侧开始，每3位一组，左边不够补0，每组换算1位八进制。 第2页 奥数培优讲义 八进制转二进制：每1位八进制，补齐为3位二进制，拼接后去掉前面多余0。 (四)二进制加减运算法则 加法口诀：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10（逢二进一） 减法口决：0-0=0,1-0=1,1-1=0,0-1不够减，向前借1当2 (五)高频易错点 1.分组必须从右往左，不能从左分： 2.十进制转进制，余数一定要倒序： 3.二进制计算只能出现0、1，绝不出现2及以上数字； 4.八进制转二进制必须严格补成3位，不能少位。 豆例题讲解 【典型例题1】二进制转十进制 将(11012转换成十进制数。 【跟踪训练1】 将(101102转换成十进制数。 第3页 奥数培优讲义 【典型例题2】十进制转二进制 将(2610转换成二进制数。 【跟踪训练2】 将(3510转换成二进制数。 【典型例题3】二进制加法运算 计算：(1101)2+(1012 【跟踪训练3】 计算：（1011)2+(1112 【典型例题4】二进制减法运算 第4页 奥数培优讲义 计算：（11002-(101)2 【跟踪训练4】 计算：(10101)2-(1102 【典型例题5】二进制转八进制 将(1011102转为八进制。 【跟踪训练5】 将(110011)2转为八进制。 【典型例题6】八进制转二进制 将(37)8转为二进制。 第5页 奥数培优讲义 【跟踪训练6】 将(62)8转为二进制。 【典型例题7】十进制转八进制 将(1050转为八进制。 【跟踪训练7】 将(7810转为八进制。 【典型例题8】多进制综合拔高 先将(111012转十进制，再将十进制转八进制。 【跟踪训练8】 第6页 奥数培优讲义 将(458转二进制，再转十进制。 提升练习 1.将二进制数(100102转化为十进制数 2.将二进制数（111001)2转化为十进制数 3.将十进制(4210转化为二进制数 4.将十进制(59)10转化为二进制数 第7页 奥数培优讲义 5.计算二进制加法：（1001)2+(110)2 6.计算二进制加法：(11001)2+(10112 7.计算二进制减法：(110102-(1001)2 8.计算二进制减法：（101001)2-(11010)2 9.将二进制(101011)2转化为八进制 第8页 奥数培优讲义 10.将二进制(11011002转化为八进制 11.将八进制(258转化为二进制 12.将八进制(74)8转化为二进制 13.将十进制(124)10转化为八进制 14.将十进制(91ho转化为八进制 第9页 奥数培优讲义 15.先把(1011102转十进制，再转八进制 16.先把(638转二进制，再转十进制 17.计算：(11102+(10112-(1000)2 18.二进制(1100011)2转八进制 19.将八进制(1068转为二进制 20.十进制(67)10，先转二进制，再转八进制 第10页 奥数培优讲义 Y模拟赛场 1.一个十进制自然数，写成二进制是5位数，这个数最大是多少？最小是多少？分别写 出它们的二进制、八进制。 2.已知(100a1)2=(19)10,求数字a,并将这个二进制数转化为八进制。 3.在二进制下，有算式：(1101)2+(x)2=(101002,求(x2,再把x转十进制、八进制。 第11页