第9讲 工程问题（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

奥数培优讲义 第9讲 工程问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 编写这份《工程问题》培优专题，初衷并非单纯罗列公式，而是希望为孩子们构建一套处理“抽象工作量”的思维模型。在六年级奥数体系中，工程问题是算术向代数过渡的重要枢纽，其核心魅力在于跳出具体数值的束缚，将工作总量统一视为单位“1”，从而聚焦于效率与时间的动态关系。 许多孩子初接触时，容易陷入“时间相加”的直觉陷阱，误以为甲10天、乙15天合作需25天。因此，我们从基本概念入手，严格区分“工作时间”与“工作天数”，重点攻克三大核心逻辑：一是准确转化效率，理解合作效率即个体效率之和；二是精细拆解过程，无论是中途休息、交替轮流还是部分完成，都要分段计算实际工作量；三是警惕易错点，如交替工作中的剩余量处理及多人合作中的方程构建。 资料精选了从基础合作到高难度奥数题的典型例题，辅以详细的步骤解析。我们希望孩子们不仅能熟练运用分数运算，更能养成“先定单位1、再析效率、后算时间”的严谨习惯。愿你们在每一次逻辑推演中，体会数学建模的简洁之美，建立从容应对复杂应用题的自信。 考点梳理 1. 基本概念 工作总量：需要完成的全部任务。工程问题中一般不给出具体总量，统一设为单位"1"。 工作效率：单位时间内完成的工作量。例如：甲单独做10天完成一项工程，甲每天完成全部工程的，就是甲的工作效率。 工作时间：完成工作需要的时间。 2. 三个基础公式 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 合作效率：多人一起工作，合作工作效率 = 各个人工作效率之和 甲乙合作效率 = 甲效率 + 乙效率 3. 常见题型分类 基础合作型：已知单独完成时间，求合作完成时间。 中途休息型：有人中途停工休息，总时间变长，要分开计算各自实际工作天数。 交替工作型：轮流干活（甲做1天、乙做1天循环），先算一个循环完成的工作量，再处理剩余工作量。 效率变化/部分完成型：先合作一段时间，剩下单独完成；或者已知完成部分工作量求时间。 多人工程问题：3人及以上合作，效率叠加。 4. 解题要点 ① 找准单位"1"； ② 分清：单独效率、合作效率； ③ 区分"工作时间"≠"工作天数"（休息时间不算干活时间）； ④ 交替工程注意：最后一轮可能不需要完整循环，容易出错； ⑤ 列式结果优先用分数，最后再化简。 易错提醒：题目给的是时间，不能直接把时间相加！要先转换成效率再计算。 例：甲10天做完，乙15天做完，合作不是10+15天，而是。 例题讲解 【典型例题1】基础合作问题 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。两人合作，多少天可以完成这项工程？ 【详解】 把工作总量看作单位"1"。 甲的工作效率： 乙的工作效率： 甲乙合作效率： 合作时间：（天） 【答案】天 【跟踪训练1】 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做25天完成。甲乙合作，多少天能完成这项工程？ 【详解】 总量看作单位1。 甲效率： 乙效率： 合作效率： 合作时间：（天） 【答案】天 【典型例题2】先合作，余下单独完成 一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做20天完成。甲乙两人先合作4天，剩下的由甲单独完成，甲还需要多少天？ 【详解】 总量=1 甲效率：，乙效率： 合作效率： 合作4天完成工作量： 剩余工作量： 甲单独完成剩余时间：（天） 【答案】8天 【跟踪训练2】 一件工作，甲单独做要10小时，乙单独做要12小时。两人先合作3小时，剩下的由乙单独完成，乙还要几小时？ 【详解】 总量=1 甲效率，乙效率 合作效率： 合作3小时工作量： 剩余工作量： 乙单独时间：（小时） 【答案】小时 【典型例题3】中途休息问题 一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做45天完成。两人一起开工，中途甲休息了若干天，乙全程没有休息，一共24天完成工程。问甲休息了多少天？ 【详解】 总量=1 甲效率，乙效率 乙全程工作24天，乙完成工作量： 甲完成工作量： 甲实际工作天数：（天） 甲休息天数：总天数 − 甲工作天数 = （天） 【答案】10天 【跟踪训练3】 一项工程，甲单独20天完成，乙单独30天完成。两人合作，乙中途休息几天，甲全程工作，一共14天完工。乙休息了多少天？ 【详解】 总量=1 甲效率，乙效率 甲14天完成： 乙完成工作量： 乙实际工作天数：（天） 乙休息天数：（天） 【答案】5天 【典型例题4】交替轮流工作问题 一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1天。完成这项工程一共需要多少天？ 【详解】 总量=1，甲效率，乙效率 把甲1天+乙1天看成1个循环周期，一个周期2天 一个周期完成工作量： 估算完整周期数量：，说明最多4个完整周期。 4个周期（8天）完成工作量： 剩余工作量： 接下来轮到甲做，甲一天可以做。 ，甲做1天后剩下： 剩下轮到乙，乙需要时间：天 总天数：（天） 【答案】天 【跟踪训练4】 一项工程，甲单独12天完成，乙单独16天完成。按甲、乙轮流，每人1天，多少天完成工程？ 【详解】 总量=1，甲效率，乙效率 一个周期（甲1天乙1天，2天）工作量： ，最多6个完整周期 6周期（12天）完成： 剩余工作量： 下一轮甲先做，甲一天效率 ，甲工作1天，剩余： 乙做剩余：天 总天数：（天） 【答案】天 【典型例题5】多人合作工程问题 一项工程，甲单独做要10天，乙单独15天，丙单独20天。三人合作，中途丙休息2天，甲、乙一直工作，从开工到完工一共多少天？ 【详解】 总量=1，甲效率，乙效率，丙效率 方法：假设总天数为天。 甲、乙工作天；丙只工作天。 总工作量方程： 通分，分母60： 【答案】天 【跟踪训练5】 一项工程，甲单独12天，乙单独18天，丙单独24天。三人合作，甲休息1天，乙、丙全程工作。完成这项工程一共多少天？ 【详解】 设一共天；甲工作天，乙丙工作天。 分母72： 【答案】6天 提升练习 第1题 一件工作，甲单独做16天完成，乙单独做24天完成。两人合作，多少天可以完成这件工作？ 【详解】把总量看作单位1。 甲效率：，乙效率： 合作效率： 合作时间：（天） 【答案】天 第2题 一项工程，甲单独做14天完成，乙单独做21天完成。甲乙合作，多少天完成工程的？ 【详解】甲效率，乙效率，合作效率 时间：（天） 【答案】天 第3题 一件工程，甲单独做18天完成，乙单独做36天完成。两人先合作6天，剩下的由乙单独完成，乙还需要多少天？ 【详解】甲效率，乙效率，合作效率 合作6天工作量： 剩余工作量： 乙单独时间：（天） 【答案】18天 第4题 一项任务，甲单独做8小时完成，乙单独做16小时完成。两人合作一段时间后，甲有事离开，余下乙又做了4小时完成。甲乙合作了几小时？ 【详解】甲效率，乙效率。乙单独4小时工作量： 甲乙合作完成： 合作效率： 合作时间：（小时） 【答案】4小时 第5题 一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成。两人同时开工，全程一共30天完工，乙全程工作，甲中途休息了多少天？ 【详解】甲效率，乙效率。乙30天完成： 甲完成：，甲实际工作天数：（天） 甲休息：（天） 【答案】10天 第6题 一件工程，甲单独做24天完成，乙单独做32天完成。两人合作，甲全程工作，一共18天完工。乙休息多少天？ 【详解】甲效率，甲18天完成： 乙完成工作量：，乙工作天数：（天） 乙休息：（天） 【答案】10天 第7题 一项工程，甲、乙合作12天可以完成。如果甲单独做20天完成，乙单独做需要多少天完成？ 【详解】合作效率，甲效率，乙效率： 乙单独时间：（天） 【答案】30天 第8题 甲乙合作，10天完成一项工程。乙单独做15天完成，甲单独做多少天完成？ 【详解】合作效率，乙效率，甲效率： 甲单独时间：（天） 【答案】30天 第9题 一项工程，甲单独做20天，乙单独做30天。两人先合作若干天，剩下甲单独5天完成。甲乙合作了多少天？ 【详解】甲效率，乙效率。甲单独5天工作量： 合作完成：，合作效率 合作天数：（天） 【答案】9天 第10题 一件工作，甲单独10天，乙单独15天。甲先做2天，剩下两人合作，还要多少天完成？ 【详解】甲效率，乙效率。甲2天工作量： 剩余：，合作效率 所需时间：（天） 【答案】天 第11题 一项工程，甲单独做30天，乙单独做20天。按照乙、甲、乙、甲……轮流工作，每人1天。完成这项工程需要多少天？ 【详解】甲效率，乙效率；1周期（乙1天+甲1天=2天）工作量： 完整周期数：个周期，刚好完成。总天数：天 【答案】24天 第12题 一项工程，甲单独做15天，乙单独做20天，丙单独做60天完成。三人合作多少天完工？ 【详解】甲效率，乙效率，丙效率： 三人合作效率： 合作时间：（天） 【答案】天 第13题 一项工程，甲单独10天，乙单独12天，丙单独15天。三人合作2天，剩下丙单独完成，丙还要多少天？ 【详解】甲效率，乙效率，丙效率 三人合作效率： 合作2天工作量：，剩余 丙单独时间：（天） 【答案】天 第14题 甲乙合作一项工程，8天完成。如果甲先做3天，乙再做8天，可以完成工程的。甲单独完成这项工程需要多少天？ 【详解】甲乙合作效率，甲3天+乙8天 = 甲乙合作3天 + 乙单独5天 合作3天完成：，乙5天工作量： 乙效率：，甲效率： 甲单独时间：（天） 【答案】10天 第15题 一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成。两人合作，中途甲休息2天，乙全程工作。一共多少天完工？ 【详解】设总天数天，甲工作天，乙工作天。 两边同乘36：，，， 【答案】天 第16题 一批零件，甲单独加工要25小时，乙单独加工要20小时。两人合作加工，完成时甲比乙少做30个零件，这批零件一共有多少个？ 【详解】甲效率，乙效率，合作效率：，合作时间：小时 完成时甲做总量：；乙做总量： 相差：，对应30个。总量：（个） 【答案】270个 第17题 一项工程，甲乙合作6天完成。乙丙合作10天完成。甲丙合作15天完成。三人一起合作，多少天完成？ 【详解】甲+乙=，乙+丙=，甲+丙= 三个式子相加：2(甲+乙+丙)= 甲+乙+丙=，三人合作时间：（天） 【答案】6天 第18题 一项工程，甲单独16天完成，乙单独做，如果每天效率提高20%，则12天完成。乙原来单独完成这项工程要多少天？ 【详解】乙提高后效率：，提高后效率=原效率×(1+20%) 乙原效率： 乙原时间：（天） 【答案】天 第19题 一项工程，甲单独做10天完成。甲做2天后，乙加入一起做，又合作3天完成全部工程。乙单独完成这项工程需要多少天？ 【详解】甲一共工作：天，甲完成工作量： 乙3天完成：，乙效率： 乙单独时间：（天） 【答案】6天 第20题 蓄水池有一个进水管和排水管。单开进水管8小时注满空池；单开排水管12小时排空满池水。空池同时打开两个管子，多少小时注满水池？ 【详解】进水效率，排水效率，实际蓄水效率： 注满时间：（小时） 【答案】24小时 模拟赛场 【奥数题1】一件工程，甲、乙两人合作30天可以完成。现在甲单独做24天后，乙加入进来，两人又合作12天，这时甲调走，乙继续做15天完成全部工程。如果甲单独完成这项工程需要多少天？ 【详解】甲乙合作效率 甲24天 + 甲乙合作12天 + 乙15天 = 甲乙合作天 + 甲单独天 甲乙合作27天工作量： 甲单独9天工作量： 甲效率： 甲单独完成：（天） 【答案】90天 【奥数题2】一项工程，甲单独做需要20天，乙单独做需要30天。两人轮流工作，甲工作3天，乙工作2天；甲3天，乙2天……按这个顺序循环。完成这项工程一共需要多少天？ 【详解】甲效率，乙效率 一个循环周期：甲3天+乙2天=5天 一个周期工作量： ，最多4个完整周期 4个周期（天）完成： 剩余工作量： 接下来轮到甲工作，甲每天 甲完成剩余所需时间：天，小于3天，不需要乙上场。 总天数：（天） 【答案】天 【奥数题3】有一项工程，甲、乙、丙三个工程队合作完成。已知甲乙合作6天完成工程的；乙丙合作2天完成余下工程的；剩下的工程三队一起合作5天完工。三个队单独完成这项工程各需要多少天？ 【详解】 ① 甲乙合作6天完成：甲乙效率和： 余下：；乙丙2天完成余下的： 乙丙效率和： 剩余工作量：，三队5天做完：甲乙丙效率和： ② 丙效率 = 甲乙丙和 − 甲乙和：，丙单独：天 甲效率 = 甲乙丙和 − 乙丙和：，甲单独：天 乙效率 = ，乙单独：天 【答案】甲：60天；乙：天；丙：天 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第9讲 工程问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 编写这份《工程问题》培优专题，初衷并非单纯罗列公式，而是希望为孩子们构建一套处理“抽象工作量”的思维模型。在六年级奥数体系中，工程问题是算术向代数过渡的重要枢纽，其核心魅力在于跳出具体数值的束缚，将工作总量统一视为单位“1”，从而聚焦于效率与时间的动态关系。 许多孩子初接触时，容易陷入“时间相加”的直觉陷阱，误以为甲10天、乙15天合作需25天。因此，我们从基本概念入手，严格区分“工作时间”与“工作天数”，重点攻克三大核心逻辑：一是准确转化效率，理解合作效率即个体效率之和；二是精细拆解过程，无论是中途休息、交替轮流还是部分完成，都要分段计算实际工作量；三是警惕易错点，如交替工作中的剩余量处理及多人合作中的方程构建。 资料精选了从基础合作到高难度奥数题的典型例题，辅以详细的步骤解析。我们希望孩子们不仅能熟练运用分数运算，更能养成“先定单位1、再析效率、后算时间”的严谨习惯。愿你们在每一次逻辑推演中，体会数学建模的简洁之美，建立从容应对复杂应用题的自信。 考点梳理 1. 基本概念 工作总量：需要完成的全部任务。工程问题中一般不给出具体总量，统一设为单位"1"。 工作效率：单位时间内完成的工作量。例如：甲单独做10天完成一项工程，甲每天完成全部工程的，就是甲的工作效率。 工作时间：完成工作需要的时间。 2. 三个基础公式 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 合作效率：多人一起工作，合作工作效率 = 各个人工作效率之和 甲乙合作效率 = 甲效率 + 乙效率 3. 常见题型分类 基础合作型：已知单独完成时间，求合作完成时间。 中途休息型：有人中途停工休息，总时间变长，要分开计算各自实际工作天数。 交替工作型：轮流干活（甲做1天、乙做1天循环），先算一个循环完成的工作量，再处理剩余工作量。 效率变化/部分完成型：先合作一段时间，剩下单独完成；或者已知完成部分工作量求时间。 多人工程问题：3人及以上合作，效率叠加。 4. 解题要点 ① 找准单位"1"； ② 分清：单独效率、合作效率； ③ 区分"工作时间"≠"工作天数"（休息时间不算干活时间）； ④ 交替工程注意：最后一轮可能不需要完整循环，容易出错； ⑤ 列式结果优先用分数，最后再化简。 易错提醒：题目给的是时间，不能直接把时间相加！要先转换成效率再计算。 例：甲10天做完，乙15天做完，合作不是10+15天，而是。 例题讲解 【典型例题1】基础合作问题 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。两人合作，多少天可以完成这项工程？ 【跟踪训练1】 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做25天完成。甲乙合作，多少天能完成这项工程？ 【典型例题2】先合作，余下单独完成 一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做20天完成。甲乙两人先合作4天，剩下的由甲单独完成，甲还需要多少天？ 【跟踪训练2】 一件工作，甲单独做要10小时，乙单独做要12小时。两人先合作3小时，剩下的由乙单独完成，乙还要几小时？ 【典型例题3】中途休息问题 一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做45天完成。两人一起开工，中途甲休息了若干天，乙全程没有休息，一共24天完成工程。问甲休息了多少天？ 【跟踪训练3】 一项工程，甲单独20天完成，乙单独30天完成。两人合作，乙中途休息几天，甲全程工作，一共14天完工。乙休息了多少天？ 【典型例题4】交替轮流工作问题 一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1天。完成这项工程一共需要多少天？ 【跟踪训练4】 一项工程，甲单独12天完成，乙单独16天完成。按甲、乙轮流，每人1天，多少天完成工程？ 【典型例题5】多人合作工程问题 一项工程，甲单独做要10天，乙单独15天，丙单独20天。三人合作，中途丙休息2天，甲、乙一直工作，从开工到完工一共多少天？ 【跟踪训练5】 一项工程，甲单独12天，乙单独18天，丙单独24天。三人合作，甲休息1天，乙、丙全程工作。完成这项工程一共多少天？ 提升练习 第1题 一件工作，甲单独做16天完成，乙单独做24天完成。两人合作，多少天可以完成这件工作？ 第2题 一项工程，甲单独做14天完成，乙单独做21天完成。甲乙合作，多少天完成工程的？ 第3题 一件工程，甲单独做18天完成，乙单独做36天完成。两人先合作6天，剩下的由乙单独完成，乙还需要多少天？ 第4题 一项任务，甲单独做8小时完成，乙单独做16小时完成。两人合作一段时间后，甲有事离开，余下乙又做了4小时完成。甲乙合作了几小时？ 第5题 一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成。两人同时开工，全程一共30天完工，乙全程工作，甲中途休息了多少天？ 第6题 一件工程，甲单独做24天完成，乙单独做32天完成。两人合作，甲全程工作，一共18天完工。乙休息多少天？ 第7题 一项工程，甲、乙合作12天可以完成。如果甲单独做20天完成，乙单独做需要多少天完成？ 第8题 甲乙合作，10天完成一项工程。乙单独做15天完成，甲单独做多少天完成？ 第9题 一项工程，甲单独做20天，乙单独做30天。两人先合作若干天，剩下甲单独5天完成。甲乙合作了多少天？ 第10题 一件工作，甲单独10天，乙单独15天。甲先做2天，剩下两人合作，还要多少天完成？ 第11题 一项工程，甲单独做30天，乙单独做20天。按照乙、甲、乙、甲……轮流工作，每人1天。完成这项工程需要多少天？ 第12题 一项工程，甲单独做15天，乙单独做20天，丙单独做60天完成。三人合作多少天完工？ 第13题 一项工程，甲单独10天，乙单独12天，丙单独15天。三人合作2天，剩下丙单独完成，丙还要多少天？ 第14题 甲乙合作一项工程，8天完成。如果甲先做3天，乙再做8天，可以完成工程的。甲单独完成这项工程需要多少天？ 第15题 一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成。两人合作，中途甲休息2天，乙全程工作。一共多少天完工？ 第16题 一批零件，甲单独加工要25小时，乙单独加工要20小时。两人合作加工，完成时甲比乙少做30个零件，这批零件一共有多少个？ 第17题 一项工程，甲乙合作6天完成。乙丙合作10天完成。甲丙合作15天完成。三人一起合作，多少天完成？ 第18题 一项工程，甲单独16天完成，乙单独做，如果每天效率提高20%，则12天完成。乙原来单独完成这项工程要多少天？ 第19题 一项工程，甲单独做10天完成。甲做2天后，乙加入一起做，又合作3天完成全部工程。乙单独完成这项工程需要多少天？ 第20题 蓄水池有一个进水管和排水管。单开进水管8小时注满空池；单开排水管12小时排空满池水。空池同时打开两个管子，多少小时注满水池？ 模拟赛场 【奥数题1】一件工程，甲、乙两人合作30天可以完成。现在甲单独做24天后，乙加入进来，两人又合作12天，这时甲调走，乙继续做15天完成全部工程。如果甲单独完成这项工程需要多少天？ 【奥数题2】一项工程，甲单独做需要20天，乙单独做需要30天。两人轮流工作，甲工作3天，乙工作2天；甲3天，乙2天……按这个顺序循环。完成这项工程一共需要多少天？ 【奥数题3】有一项工程，甲、乙、丙三个工程队合作完成。已知甲乙合作6天完成工程的；乙丙合作2天完成余下工程的；剩下的工程三队一起合作5天完工。三个队单独完成这项工程各需要多少天？ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $