第二单元 第 7 课时 工程问题（一）（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦工程问题核心知识点，系统梳理总工作量设为单位“1”、工作效率分数表示、三大核心公式、合作时间计算、分步工程问题及生活变式应用等内容，承接分数四则混合运算与分数乘法应用题，为后续复杂工程问题筑牢基础。 该资料以模型思想和应用意识为核心，通过分层练习（基础、提升、培优）、易错点预警及生活场景迁移（如注水、修路）设计，培养学生推理意识与解决实际问题能力。课中助力教师系统教学，课后辅助学生查漏补缺，强化知识应用。

第 7 课时 工程问题（一） 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 1 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：工程问题基本概念与工作效率表示（基础必考） 3 考点二：两人合作的工作时间计算（核心必考） 4 考点三：先独做后合作的分步工程问题（提升层级） 6 考点四：工程问题的生活变式应用（拓展应用） 7 第三部分 高频易错预警与避坑指南 8 易错点 1：混淆工作时间与工作效率，误将时间相加求合作时间 8 易错点 2：总工作量不设为单位 “1”，强行用具体量计算 8 易错点 3：分步问题中剩余工作量计算错误 9 易错点 4：效率和计算时通分失误，基础运算出错 9 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 10 一、基础夯实达标练（6 题） 10 二、能力拓展提升练（4 题） 12 三、思维拓展培优练（2 题） 13 ▶ 数学活动拓展 13 第五部分 习题精准解析与知识点睛 14 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 2024 版六年级上册第二单元《混合运算与数量关系（三）》的经典模型课，承接分数四则混合运算与分数乘法应用题的知识基础，是分数应用题体系中最具代表性的数学模型内容。本课时严格对标《义务教育数学课程标准（2022 年版）》模型思想与应用意识培养要求，核心掌握总工作量设为单位 “1” 的设定方法、用分数表示工作效率的规则、工程问题三大核心公式、两人合作工作时间计算、先独做后合作的分步解题逻辑、工程问题的生活变式应用六大核心内容。全课时建立 “概念建构 — 模型提炼 — 分步应用 — 易错突破 — 综合巩固” 的完整学习路径，围绕模型思想、对应思想、数形结合思想、应用意识四条核心素养主线，让学生理解 “将总量抽象为单位‘1’” 的数学本质，掌握工程问题的通用解题模型，为后续复杂工程问题、百分数工程问题筑牢解题根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 核心概念建构 总工作量看作单位 “1”，工作效率的分数表示，三大数量关系式 单位 “1” 设定法、公式推导法 总工作量设定错误，工作效率与工作时间概念混淆 合作时间计算 两人合作完成工程，求合作总时间，核心是效率求和 效率和法、合作公式法 误将工作时间相加，效率和通分计算错误 分步工程解题 先独做后合作、先合作后独做的分段解题逻辑 分段拆解法、剩余量推导法 剩余工作量计算错误，第二步单位 “1” 混淆 变式模型迁移 注水、修路、打印等类工程问题的模型转化 场景转化法、模型匹配法 场景中总量、效率、时间的对应关系找错 量率对应关系 工作时间、工作效率、工作量三者的分率对应 量率匹配法、对应验证法 效率与时间不对应，分率与具体量混淆 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 单位 “1” 设定法 所有工程问题 ①把总工作量统一看作单位 “1”；②不考虑具体工程量，只研究分率关系；③用分数表示各部分工作量 工程问题不用慌，总量设为单位 1，效率时间分率算，解题清晰又简单 工作效率求法 已知独做时间求效率 ①明确单独完成的总时间；②工作效率 =；③结果用最简分数表示 几天完成总工程，效率就是几分之一 合作时间公式法 两人 / 多人合作求时间 ①分别求出各自工作效率；②求和得到效率和；③合作时间 = 合作问题三步走，先算效率再加和，1 除效率和得结果 线段图解法 所有工程应用题 ①画线段表示总工作量单位 “1”；②按时间平均分份，标注单日效率；③标注已知条件与所求问题 线段图，理关系，量率对应更清晰，分步标注不混乱 分段拆解法 先独做后合作类题型 ①拆分工程为两个阶段；②分别计算每阶段工作量；③逐步推导所求时间或效率 复杂工程分步拆，一步一算不跳步，剩余量除效率和 三、课时数学思想与素养提升 1. 模型思想：工程问题的通用解题模型 核心要义：将修路、注水、打印、生产等不同场景的同类问题，抽象为 “工作总量、工作效率、工作时间” 三大核心量的数学模型，提炼出通用的数量关系公式，实现 “学一类、通一片” 的迁移效果。 典型范式：无论是修一条公路、注满一个水池，还是打完一份稿件，本质都符合 “工作总量 = 工作效率 × 工作时间” 的模型，都可以将总量设为单位 “1”，用分数运算统一解决。 2. 对应思想：量率匹配的核心逻辑 核心要义：每一个工作时间都对应一个确定的工作效率，每一段工作量都对应一个分率，总工作量的单位 “1” 与各部分工作量的分率一一对应，量率匹配是工程问题解题的底层规则。 典型范式：甲队独做 10 天完成，对应工作效率；甲队工作 3 天，对应完成总工作量的，时间与工作量的分率始终一一对应。 3. 数形结合思想：线段图的直观支撑 核心要义：用线段图将抽象的分率关系转化为直观的图形长度关系，通过线段的分段、标注，清晰呈现总工作量、已完成量、剩余量、工作效率之间的关系，降低应用题的理解难度。 典型范式：画一条线段代表总工作量单位 “1”，平均分成 10 份，每份对应甲 1 天的工作量，3 份就对应 3 天的工作量，图形直观呈现量率对应关系。 4. 应用思想：数学模型的生活落地 核心要义：将工程问题模型应用于修路、建筑、水利、生产等各类真实生活场景，体会数学模型解决实际问题的价值，培养用数学方法分析、解决生活问题的应用意识。 典型范式：水池进出水、两队合修道路、两台机器合作生产零件，都可以用工程问题模型快速求解，体现数学的实用性。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：工程问题基本概念与工作效率表示（基础必考） 典型例题 1（基础层级）—— 效率与工作量的对应 题目：一项工程，甲队单独做 8 天完成，乙队单独做 12 天完成。 （1）甲、乙两队每天分别完成这项工程的几分之几？ （2）甲队 3 天、乙队 4 天分别完成这项工程的几分之几？ 思路点拨： ① 第一步：设定单位 “1”。把这项工程的总工作量看作单位 “1”，不考虑具体工程量，仅通过分率研究数量关系； ② 第二步：计算两队的工作效率。根据 “工作效率 = 总工作量 ÷ 工作时间”，总工作量为 1： · 甲队效率：，即甲队每天完成工程的； · 乙队效率：，即乙队每天完成工程的； ③ 第三步：计算指定时间的工作量。根据 “工作量 = 工作效率 × 工作时间”： · 甲队 3 天工作量：； · 乙队 4 天工作量：； ④ 第四步：验证结果。甲队 8 天完成，乙队 12 天完成，均刚好完成总工程，符合题意。 【答案】 （1）甲队每天完成，乙队每天完成； （2）甲队 3 天完成，乙队 4 天完成。 【知识点睛】工程问题基本概念核心要点： 1. 核心设定：所有工程问题，均将总工作量看作单位 “1”，无需关注具体工程量（米数、个数、升数），仅通过分率表示各部分工作量，这是工程问题的解题前提； 2. 三大核心公式： · 基本公式： · 推导公式 1： · 推导公式 2： 3. 效率的本质：单独完成工程需要天，单日工作效率就是，表示每天完成总工程的分之一； 4. 易错提醒：工作效率是分率，不带单位；工作效率与工作时间成反比例，完成时间越长，单日效率越低。 考点二：两人合作的工作时间计算（核心必考） 典型例题 2（核心层级）—— 合作时间求解 题目：一项工程，甲队单独做 8 天完成，乙队单独做 12 天完成。两队合作，多少天可以完成这项工程？ 思路点拨： ① 第一步：设定单位 “1”，分别计算两队效率。总工作量为 1，甲效率，乙效率； ② 第二步：计算两队的效率和。合作时单日总工作量为两队效率之和，先通分再计算： ； ③ 第三步：计算合作总时间。根据 “工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率”，总工作量为 1，因此： （天）； ④ 第四步：验证结果。合作 4.8 天，甲完成，乙完成，，刚好完成总工程，结果正确。 【答案】 （天） 答：两队合作 4.8 天可以完成这项工程。 【知识点睛】合作工程问题核心解法： 1. 核心逻辑：合作时，单日完成的总工作量等于各队单日工作量之和，即效率和 = 甲效率 + 乙效率； 2. 通用公式：； 3. 标准解题三步法： ① 分别求各队工作效率； ② 计算效率之和； ③ 总工作量 1 除以效率和，得到合作时间； 4. 易错提醒：绝对不能将两队单独完成的时间直接相加或求平均，合作时间一定比两队单独完成的最短时间更短，可据此快速检验结果合理性。 考点三：先独做后合作的分步工程问题（提升层级） 典型例题 3（提升层级）—— 分段工程求解 题目：一项工程，甲队单独做 8 天完成，乙队单独做 12 天完成。甲队先单独做 2 天，剩下的工程由两队合作，还需要多少天完成？ 思路点拨： ① 第一步：设定单位 “1”，确定两队效率。甲效率，乙效率； ② 第二步：计算甲队独做 2 天的工作量。根据 “工作量 = 效率 × 时间”： ； ③ 第三步：计算剩余工作量。总工作量 1 减去已完成的工作量： ； ④ 第四步：计算两队的效率和：； ⑤ 第五步：计算剩余工作量的合作时间。剩余工作量 ÷ 效率和： （天）； ⑥ 第六步：验证结果。甲一共做了天，完成；乙做了 3.6 天，完成；，刚好完成总工程。 【答案】 甲独做完成： 剩余工作量： 两队效率和： 还需时间：（天） 答：还需要 3.6 天完成。 【知识点睛】分步工程问题核心要点： 1. 解题核心思路：将完整工程拆分为 “独做阶段” 和 “合作阶段”，先算第一阶段完成的工作量，再推导剩余工作量，最后求解第二阶段时间； 2. 标准四步解题法： ① 算已完成工作量：独做效率 × 独做时间； ② 算剩余工作量：； ③ 算合作效率和：各队效率相加； ④ 算合作时间：剩余工作量 ÷ 效率和； 3. 易错提醒：剩余工作量是分率，不是剩余天数，不能直接用总天数减去已做天数；计算合作时间时，被除数是剩余工作量，不是总工作量 1。 考点四：工程问题的生活变式应用（拓展应用） 典型例题 4（拓展层级）—— 水池注水问题 题目：一个蓄水池装有甲、乙两个进水管，单开甲管 6 小时可以注满全池，单开乙管 9 小时可以注满全池。两管同时打开，多少小时可以注满水池？ 思路点拨： ① 第一步：模型转化。注水问题是工程问题的经典变式，将水池总容量看作单位 “1”，注满水池对应完成总工作量； ② 第二步：计算两个水管的注水效率。甲管效率：，乙管效率：； ③ 第三步：计算两管同时开的效率和： ； ④ 第四步：计算注满时间：（小时）； ⑤ 第五步：验证结果。3.6 小时甲管注水，乙管注水，，刚好注满水池。 【答案】 （小时） 答：两管同时打开，3.6 小时可以注满水池。 【知识点睛】工程问题变式应用核心要点： 1. 模型迁移规则：只要是 “完成一件总任务” 的问题，都可以套用工程问题模型，核心是将总任务量设为单位 “1”； 2. 常见变式场景对应： · 注水 / 排水问题：总容量对应总工作量，注水效率对应工作效率，排水为负效率； · 行程相遇问题：总路程对应总工作量，速度对应工作效率，相遇时间对应合作时间； · 打印 / 生产问题：总稿件 / 总零件对应总工作量，单日产量对应工作效率； 3. 易错提醒：若场景中有进有出、有做有拆，效率需要做减法，不能全部相加，需先判断效率方向。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：混淆工作时间与工作效率，误将时间相加求合作时间 错误范式：甲 8 天完成、乙 12 天完成，错误认为合作时间是天，或天。 成因剖析：对工作效率和工作时间的概念理解模糊，不知道合作时是效率叠加、时间缩短，误将时间直接运算。 避坑方案：牢记核心结论：工程问题中，效率可以相加，时间绝对不能相加。解题固定流程：先将时间转化为效率（几分之一），再算效率和，最后用 1 除以效率和得到时间。可通过 “合作一定比单独做更快” 的常识快速检验结果。 易错点 2：总工作量不设为单位 “1”，强行用具体量计算 错误范式：解题时假设总工程量为 96 等具体数值，虽然结果数值正确，但未掌握工程问题的分率核心逻辑，遇到复杂题型极易出错。 成因剖析：对 “抽象为单位 1” 的数学思想理解不到位，依赖具体数量解题，没有建立分率解题的模型思维。 避坑方案：强制养成解题第一步写 “把总工作量看作单位‘1’” 的习惯，所有计算均通过分率完成，不依赖具体数值。明确：无论总工作量是多少，最终合作时间都相同，与总量无关。 易错点 3：分步问题中剩余工作量计算错误 错误范式：甲先做 2 天，错误用总天数 8 直接减 2 得到剩余 6 天，再除以 2 得到合作时间，完全混淆工作量与工作时间的对应关系。 成因剖析：没有掌握 “先算工作量分率，再算对应时间” 的逻辑，直接用天数运算，忽略两队效率不同。 避坑方案：严格执行分步解题四步走：算已完成工作量→算剩余工作量→算效率和→算对应时间。每一步都围绕工作量分率计算，绝不直接用天数加减推导。 易错点 4：效率和计算时通分失误，基础运算出错 错误范式：计算，错误得到，分子分母直接相加，导致最终结果完全错误。 成因剖析：分数加法基础不扎实，异分母分数相加未通分，直接分子分母分别相加，属于基础运算错误。 避坑方案：计算效率和时，严格遵循异分母分数加法规则：先找分母最小公倍数通分，化为同分母分数后，分子相加、分母不变，结果约分为最简分数。计算完成后反向验证，确保效率和合理。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）工程问题中，一般把（ ）看作单位 “1”；若一项工程甲单独做 6 天完成，甲的工作效率是（ ）。 （2）一项工程，乙单独做 10 天完成，每天完成工程的（ ），4 天完成工程的（ ）。 （3）甲效率是，乙效率是，两队合作每天完成工程的（ ），合作（ ）天完成。 （4）一个水池单开甲管 3 小时注满，单开乙管 6 小时注满，两管同开（ ）小时注满。 （5）一项工程，两队合作每天完成，合作（ ）天完成全部工程。 2. 判断： （1）两队合作完成工程的时间，等于两队单独做时间的和。（ ） （2）工作效率越高，完成同一项工程的时间越短。（ ） （3）一项工程，每天完成，7 天可以完成全部工程。（ ） （4）甲 5 天完成，乙 4 天完成，乙的工作效率更高。（ ） （5）注水问题不属于工程问题，不能用工程问题方法解答。（ ） 3. 选择： （1）一项工程甲单独做 12 天完成，乙单独做 6 天完成，两队合作（ ）天完成。 A. 18 B. 9 C. 4 （2）下面关于工程问题的说法，正确的是（ ）。 A. 工作效率 = 工作时间 ÷ 工作总量 B. 合作效率等于各队效率之和 C. 总工作量必须用具体数量表示 （3）修一条路，甲队单独修 10 天完成，乙队单独修 15 天完成，两队合修需（ ）天。 A. 25 B. 6 C. 12.5 （4）一项工程甲先做 3 天完成，剩下的乙单独做，乙效率，乙还需（ ）天完成。 A. 3 B. 6 C. 9 4. 列式计算： （1）一项工程，甲单独做 15 天完成，乙单独做 10 天完成，两队合作多少天完成？ （2）甲每天完成工程的，乙每天完成工程的，两队合作每天完成几分之几？ 5. 解决问题： （1）修一段公路，甲工程队单独修 20 天完成，乙工程队单独修 30 天完成。两队合修，多少天能修完？ （2）打印一份稿件，小王单独打 8 小时完成，小李单独打 12 小时完成。两人合作，多少小时可以打完？ 6. 一项工程，甲队单独做 15 天完成，乙队单独做 10 天完成。甲队先单独做 3 天，剩下的由两队合作，还需要多少天完成？ 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）一项工程，甲独做 8 天完成，乙独做 12 天完成，丙独做 24 天完成。三队合作（ ）天完成。 A. 4 B. 6 C. 8 （2）一个水池有甲、乙两个进水管和一个排水管，单开甲管 6 小时注满，单开乙管 8 小时注满，单开排水管 12 小时排空。三管同时打开，（ ）小时注满。 A. 4.8 B. 24 C. 8 （3）甲乙合作 6 天完成一项工程，甲独做 10 天完成，乙独做（ ）天完成。 A. 4 B. 15 C. 16 8. 解决问题： （1）一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成。两队合作 8 天后，剩下的由甲队单独做，还需要多少天完成？ （2）加工一批零件，师傅单独加工 12 小时完成，徒弟单独加工 18 小时完成。师傅先加工 2 小时，剩下的由徒弟单独加工，还需要多少小时完成？ 9. 一项工程，甲乙合作 10 天完成，乙丙合作 12 天完成，甲丙合作 15 天完成。三队合作多少天可以完成？ 10. 一个水池有两个进水管和一个出水管，单开甲管 8 小时注满，单开乙管 10 小时注满，单开出水管 20 小时放完整池水。三管同时打开，多久能注满半池水？ 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作期间，乙队中途休息了几天，最终一共用了 8 天完成全部工程。乙队中途休息了几天？ 12. 一项工程，甲乙两队合作 12 天可以完成。如果甲队先单独做 10 天，乙队再单独做 15 天，也刚好完成全部工程。乙队单独完成这项工程需要多少天？ ▶ 数学活动拓展 实践活动：生活中的工程问题大调查 活动任务： 1. 观察生活，收集 3 个可以用工程问题模型解决的场景（如修路、注水、打印、生产加工等）； 2. 记录场景中的对应数据，提出数学问题，用工程问题方法解答，写出完整解题过程； 3. 和同学分享调查结果，互相交流工程问题的核心解题思路； 4. 自主编一道工程问题应用题，和同学交换解答、互相批改。 要求：通过真实生活调查与实践，巩固工程问题的解题模型与方法，体会数学模型的应用价值，提升应用意识与问题解决能力。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）总工作量； （2）； （3）；6 （4）2 （5）5 思路点拨： ① 工程问题核心设定为总工作量单位 “1”，效率 = 1÷ 单独完成时间； ② 乙效率，4 天工作量 =； ③ 效率和 =，合作时间 =天； ④ 效率和 =，时间 =小时； ⑤ 合作时间 =天。 【知识点睛】基础概念识记题型，覆盖单位 “1” 设定、效率计算、合作时间公式等核心知识点，夯实概念与公式基础。 2. 【答案】（1）× （2）√ （3）√ （4）√ （5）× 思路点拨： ① 合作时间远小于时间和，错误； ② 效率与时间成反比，效率越高时间越短，正确； ③ ，刚好完成，正确； ④ 乙用时更短，效率更高，正确； ⑤ 注水问题是工程问题经典变式，可用模型解答，错误。 【知识点睛】概念辨析题型，针对性规避时间相加、模型适用范围等高频易错点，深化概念理解。 3. 【答案】（1）C （2）B （3）B （4）B 思路点拨： ① 效率和 =，时间 =天，选 C； ② 合作效率为各效率之和，表述正确，选 B； ③ 效率和 =，时间 = 6 天，选 B； ④ 剩余工作量 =，时间 =天，选 B。 【知识点睛】基础选择题型，考查合作时间计算、概念辨析、分步问题求解，训练基础应用能力。 4. 【答案】 （1）效率和：，合作时间：（天） 答：两队合作 6 天完成。 （2） 答：两队合作每天完成工程的。 思路点拨： 先分别求出各自效率，再计算效率和，最后根据公式求解合作时间，步骤规范清晰。 【知识点睛】基础计算题型，巩固工程问题核心公式的应用，训练规范解题流程。 5. 【答案】 （1）甲效率，乙效率，效率和 = 合作时间：（天） 答：两队合修 12 天能修完。 （2）小王效率，小李效率，效率和 = 合作时间：（小时） 答：两人合作 4.8 小时可以打完。 思路点拨： 将修路、打印场景转化为标准工程问题模型，按 “求效率→算效率和→求时间” 三步求解。 【知识点睛】基础应用题，结合生活场景考查工程模型的应用，体会数学的实用价值。 6. 【答案】 甲 3 天完成： 剩余工作量： 效率和： 还需时间：（天） 答：还需要 4.8 天完成。 思路点拨： 分步拆解工程，先算已完成工作量，再算剩余工作量，最后用剩余工作量除以效率和得到合作时间。 【知识点睛】分步工程题型，巩固分段拆解的解题逻辑，强化剩余工作量的计算方法。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）A （2）A （3）B 思路点拨： ① 三队效率和 =，时间 = 4 天，选 A； ② 总效率 =，时间 =小时，选 A； ③ 乙效率 =，乙单独做 15 天，选 B。 【知识点睛】综合应用题型，考查多人合作、进出水混合、效率逆推等知识点，提升逻辑推理能力。 8. 【答案】 （1）两队 8 天完成： 剩余工作量： 甲还需时间：（天） 答：还需要天完成。 （2）师傅 2 小时完成： 剩余工作量： 徒弟还需时间：（小时） 答：还需要 15 小时完成。 思路点拨： 先算合作 / 独做阶段的工作量，再推导剩余量，最后用剩余量除以对应效率求解，分段计算、逻辑清晰。 【知识点睛】进阶分步应用题，覆盖先合作后独做、先独做后独做两类题型，强化分段解题能力。 9. 【答案】 甲 + 乙效率和： 乙 + 丙效率和： 甲 + 丙效率和： 三队效率和的 2 倍： 三队效率和： 合作时间：（天） 答：三队合作 8 天可以完成。 思路点拨： ① 将三组两两效率和相加，得到的是三队效率和的 2 倍； ② 除以 2 得到三队的总效率和，再用总工作量 1 除以效率和，得到合作时间。 【知识点睛】三队合作效率推导题型，核心是通过两两效率和叠加求出总效率和，培养整体代换的数学思维，是工程问题的经典拓展考法。 10. 【答案】 进水管总效率： 净注水效率： 注满半池水工作量： 所需时间：（小时） 答：三管同时打开，小时能注满半池水。 思路点拨： ① 进水管效率相加，出水管效率为负效率，用进水管效率和减去出水管效率，得到净注水效率； ② 注满半池水，工作量为总容量的，用工作量除以净效率得到时间。 【知识点睛】进出水混合的工程变式题，核心是区分效率方向，进水为正、排水为负，先算净效率再求解；注意工作量是 “半池水”，不能直接用总工作量 1 计算。 三、思维素养拓展练解析 11. 【答案】 甲队 8 天完成的工作量： 乙队完成的工作量： 乙队工作的天数：（天） 乙队休息天数：（天） 答：乙队中途休息了 5 天。 思路点拨： ① 甲队全程参与，一共工作了 8 天，先算出甲队完成的工作量； ② 总工作量减去甲的工作量，得到乙队完成的工作量； ③ 用乙的工作量除以乙的效率，得到乙实际工作的天数，总天数减去工作天数就是休息天数。 【知识点睛】中途休息类工程问题，核心是抓住 “不间断工作的队” 的工作量，先求出该队的总工作量，再推导另一队的工作量与工作时间，培养分步推理与逆向分析能力。 12. 【答案】 甲乙合作 10 天完成的工作量： 乙队单独 5 天完成的工作量： 乙队工作效率： 乙队单独完成时间：（天） 答：乙队单独完成这项工程需要 30 天。 思路点拨： ① 将 “甲做 10 天 + 乙做 15 天” 转化为 “甲乙合作 10 天 + 乙单独做 5 天”； ② 先算合作 10 天的工作量，剩余工作量就是乙单独 5 天完成的，由此求出乙的效率； ③ 用总工作量 1 除以乙的效率，得到乙单独完成的时间。 【知识点睛】条件转化类工程拓展题，核心是将分散的工作时间重组为 “合作 + 独做” 的标准结构，通过拆分条件求出单队效率，培养转化化归的数学思想。 ▶ 数学活动拓展解析 活动参考过程： 1． 场景收集：观察生活中修路、注水、打印、生产加工、家务分工等场景，记录对应工作时间数据，整理成调查清单； 2． 问题设计：结合收集的数据，自主设计工程问题，明确总量、效率、时间三个量，提出合理的数学问题； 3． 解题交流：用课堂所学的单位 “1” 法解答问题，和同学交换题目、互相批改，讨论不同的解题思路； 4． 拓展延伸：尝试设计 “三队合作”“中途休息” 等进阶题型，体会工程问题模型的灵活变化。 【知识点睛】通过真实生活场景的调查与实践，巩固工程问题的解题模型与核心方法，深化对单位 “1” 思想的理解，体会数学模型在生活中的广泛应用，提升应用意识、实践探究能力与合作交流能力，落实模型思想与应用意识核心素养的培养目标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $