第二单元 第 8 课时 工程问题（二）（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

本小学数学讲义聚焦工程问题进阶内容，承接基础工程问题中单位“1”设定与单人效率计算，系统梳理多人合作效率和、合作时间正向求解、效率变化处理、分段合作拆解、变式应用及逆推求解等核心知识点，构建完整学习支架。 该资料以分层设计（基础夯实、能力拓展、思维培优）和高频易错预警为特色，通过模型迁移法将工程问题应用于注水、行程等生活场景，培养学生模型意识与推理能力。课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

第 8 课时 工程问题（二） 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：基础两人合作时间计算（巩固进阶） 3 考点二：三人及以上多人合作问题（核心必考） 4 考点三：合作中效率变化的工程问题（提升层级） 5 考点四：先合作后独做 / 先独做后合作的复杂分段问题（提升层级） 7 考点五：工程问题的变式应用（拓展应用） 8 考点六：合作问题的逆推求解（拓展应用） 9 第三部分 高频易错预警与避坑指南 11 易错点 1：多人合作效率和计算错误，通分失误 11 易错点 2：分段问题中，第二阶段的效率匹配错误 11 易错点 3：逆推问题中，公式变形错误，效率和与时间搞反 11 易错点 4：变式场景中，效率方向混淆，排水 / 进水效率直接相加 12 易错点 5：中途休息问题中，工作量与工作时间混淆 12 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 13 一、基础夯实达标练（6 题） 13 二、能力拓展提升练（4 题） 15 三、思维拓展培优练（2 题） 16 ▶ 数学活动拓展 16 第五部分 习题精准解析与知识点睛 17 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 2024 版六年级上册第二单元《混合运算与数量关系（三）》的工程问题进阶核心课，承接第 7 课时工程问题基础概念、单位 “1” 设定、单人效率计算的知识基础，核心聚焦合作完成工作的全场景问题，是分数应用题体系中模型深化与综合应用的关键课时。本课时严格对标《义务教育数学课程标准（2022 年版）》模型思想、运算能力与应用意识培养要求，核心掌握多人合作的效率和计算、合作时间的正向求解、合作中效率变化的处理、分段合作工程的拆解、工程问题的生活变式迁移、合作问题的逆推求解六大核心内容。全课时建立 “基础巩固 — 模型深化 — 综合应用 — 易错突破 — 能力进阶” 的完整学习路径，围绕模型思想、整体思想、对应思想、应用意识四条核心素养主线，让学生深化工程问题的通用解题模型，熟练掌握合作场景的解题逻辑，为后续复杂分数应用题、百分数工程问题筑牢综合解题根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 多人合作效率和 3 人及以上合作的效率求和，通分计算最简分数结果 同分母优先法、分步通分法 效率和通分计算错误，分子分母直接相加 合作时间正向求解 已知各人独做时间，求合作完成总时间，核心是效率和的应用 合作时间公式法、单位 1 设定法 误将独做时间相加，效率和与时间的反比关系混淆 效率变化合作问题 合作中中途休息、效率提升 / 降低的场景处理 分段计算法、工作量补全法 休息时间的工作量处理错误，效率变化前后的单位 “1” 混淆 分段合作工程 先合作后独做、先独做后合作的复杂工程拆解 分段拆解法、剩余工作量推导法 剩余工作量计算错误，第二步的效率和匹配错误 工程问题变式 注水 / 排水、行程相遇、生产加工等类工程问题的模型迁移 场景转化法、模型匹配法 场景中总量、效率、时间的对应关系找错，效率方向混淆 合作问题逆推 已知合作时间，求单人效率、独做时间的逆向求解 逆推公式法、效率和反推法 公式变形错误，效率和与独做时间的关系搞反 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 多人效率和法 3 人及以上合作工程问题 ①把总工作量设为单位 “1”；②分别求出每个人的工作效率；③通分计算所有人的效率之和；④用 1 除以效率和得到合作时间 多人合作不用慌，先算效率再加和，1 除效率和得时间，步骤清晰不出错 分段拆解法 先独做后合作、先合作后独做的复杂工程 ①把工程拆分为 2 个及以上阶段；②分别计算每个阶段的工作量；③用剩余工作量 ÷ 对应效率和 / 效率，求解目标时间 复杂工程分步拆，一步一算不跳步，剩余量除对应效率，逻辑清晰结果对 效率变化处理法 中途休息、效率变化的合作问题 ①先算完整合作的总工作量；②扣除休息 / 效率变化的差值工作量；③用实际工作量 ÷ 效率和，求解实际时间 中途休息扣工作量，效率变化重新算，分段核对工作量，结果准确不偏差 逆推公式法 已知合作时间，求单人独做时间 / 效率 ①根据合作时间，先求出效率和；②用效率和减去已知人的效率，得到目标人的效率；③用 1÷ 目标效率，得到独做时间 逆推问题不用难，效率和是关键，和减已知得未知，1 除效率得时间 模型迁移法 注水、行程、生产等变式工程问题 ①把场景中的总任务量设为单位 “1”；②对应求出 “效率”；③套用工程问题合作公式求解 变式场景不用怕，总量设为单位 1，效率对应算清楚，工程模型通用它 三、课时数学思想与素养提升 1. 模型思想：工程问题通用模型的深化应用 核心要义：将所有合作类工程问题，统一抽象为 “总工作量 = 效率和 × 合作时间” 的通用数学模型，无论是多人合作、分段合作还是场景变式，都可以用同一个模型解决，实现 “学一类、通一片” 的迁移效果，深化对数学模型普适性的理解。 典型范式：无论是 3 队合修公路、3 管同时注水，还是 3 人合作打印稿件，本质都符合 “总工作量 = 效率和 × 合作时间” 的模型，都可以将总量设为单位 “1”，用分数运算统一解决。 2. 整体思想：效率和的整体化处理 核心要义：多人合作时，将所有人的效率看作一个整体的 “效率和”，不用单独关注每个人的工作过程，只需要通过整体的效率和计算总时间，简化复杂问题的求解过程，培养整体化思考的数学思想。 典型范式：甲、乙、丙三人合作，不用分别计算每个人的工作量，只需要先算出三人的效率和，再用总工作量 1 除以效率和，直接得到合作总时间，大幅简化计算步骤。 3. 对应思想：量率匹配的精准落地 核心要义：每一个合作时间都对应一个确定的效率和，每一段工作量都对应一个分率，总工作量的单位 “1” 与各阶段工作量的分率、各人效率的分率一一对应，量率精准匹配是合作工程问题解题的底层规则。 典型范式：甲、乙合作 6 天完成，对应效率和为；甲单独做 10 天完成，对应效率，则乙的效率就是，量率对应精准，不会出现逻辑错误。 4. 应用思想：数学模型的生活场景落地 核心要义：将合作工程问题模型应用于修路、建筑、水利、生产、出行等各类真实生活场景，体会数学模型解决实际问题的价值，培养用数学方法分析、解决生活问题的应用意识。 典型范式：水池多管进出水、两队合修道路、多人合作完成任务、两车相向而行相遇，都可以用合作工程问题模型快速求解，体现数学的实用性与生活化。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：基础两人合作时间计算（巩固进阶） 典型例题 1（基础层级）—— 合作时间巩固计算 题目：一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作，多少天可以完成这项工程的？ 思路点拨： ① 第一步：设定单位 “1”，计算两队效率。把总工作量看作单位 “1”，甲队效率，乙队效率； ② 第二步：计算两队的效率和。先通分再相加：； ③ 第三步：确定目标工作量为，根据公式计算合作时间：（天）； ④ 第四步：验证结果。合作 4 天，甲完成，乙完成，合计，刚好完成目标工作量，符合题意。 【答案】 （天） 答：两队合作 4 天可以完成这项工程的。 【知识点睛】合作时间计算的核心要点： 1. 核心公式：，当需要完成的是全部工程时，工作量为 1，公式为； 2. 通用解题步骤： ① 分别求出各参与方的工作效率； ② 通分计算效率之和； ③ 用目标工作量除以效率和，得到合作时间； 3. 易错提醒：目标工作量不是全部工程时，不能直接用 1 除以效率和，必须用对应的目标分率除以效率和，避免被除数错误； 4. 验证技巧：计算完成后，可通过 “效率和 × 合作时间” 验证是否等于目标工作量，快速检验结果正确性。 考点二：三人及以上多人合作问题（核心必考） 典型例题 2（核心层级）—— 三人合作时间计算 题目：一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成，丙队单独做 60 天完成。三队合作，多少天可以完成这项工程？ 思路点拨： ① 第一步：设定单位 “1”，分别计算三队的效率。总工作量为 1，甲效率，乙效率，丙效率； ② 第二步：计算三队的效率和。先找分母最小公倍数 60，通分后相加： ； ③ 第三步：计算合作总时间。总工作量 1 除以效率和：（天）； ④ 第四步：验证结果。10 天甲完成，乙完成，丙完成，合计，刚好完成总工程，结果正确。 【答案】 （天） 答：三队合作 10 天可以完成这项工程。 【知识点睛】多人合作问题的核心要点： 1. 核心逻辑：多人合作时，总效率等于所有参与方的效率之和，即效率和 = 甲效率 + 乙效率 + 丙效率 +……，与人数无关，只需要将所有效率相加； 2. 通用公式：； 3. 计算技巧：计算多个分数的效率和时，先找所有分母的最小公倍数，一次性通分，再分子相加、分母不变，最后约分成最简分数，避免分步通分导致的计算错误； 4. 易错提醒：计算效率和时，绝对不能将分母直接相加，比如，不能写成，必须先通分再计算； 5. 拓展延伸：无论是多少人合作，解题逻辑完全一致，都是 “求效率→算效率和→求合作时间”，步骤不会因人数增加而改变。 考点三：合作中效率变化的工程问题（提升层级） 典型例题 3（提升层级）—— 中途休息的合作问题 题目：一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作，中途乙队休息了若干天，结果一共用了 8 天完成全部工程。乙队中途休息了几天？ 思路点拨： ① 第一步：设定单位 “1”，计算两队效率。甲效率，乙效率； ② 第二步：分析工作时间。甲队全程工作，8 天一直在做，甲完成的工作量：； ③ 第三步：计算乙队完成的工作量。总工作量 1 减去甲完成的，即； ④ 第四步：计算乙队的工作时间。乙的工作量除以乙的效率：（天）； ⑤ 第五步：计算乙队休息的时间。总天数 8 天减去乙的工作时间 3 天，即（天）； ⑥ 第六步：验证结果。甲 8 天完成，乙 3 天完成，合计 1，刚好完成总工程，符合题意。 【答案】 甲 8 天完成： 乙完成的工作量： 乙的工作时间：（天） 乙休息的时间：（天） 答：乙队中途休息了 5 天。 【知识点睛】效率变化类合作问题的核心要点： 1. 核心解题逻辑：先确定全程工作的一方，计算其完成的工作量，再推导休息一方完成的工作量，最后根据工作量和效率，计算休息方的工作时间，进而求出休息时间； 2. 通用步骤： ① 计算全程工作者的工作量； ② 用总工作量减去全程工作者的工作量，得到休息者的工作量； ③ 用休息者的工作量除以其效率，得到实际工作时间； ④ 用总天数减去实际工作时间，得到休息时间； 3. 易错提醒：不能直接用总天数减去合作时间，必须先计算休息者实际完成的工作量，再推导工作时间，核心是 “工作量决定工作时间”； 4. 拓展延伸：若题目中是 “甲队休息”，则先计算乙队全程的工作量，再推导甲队的工作时间，逻辑完全一致。 考点四：先合作后独做 / 先独做后合作的复杂分段问题（提升层级） 典型例题 4（提升层级）—— 先合作后独做 题目：一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成。两队合作 8 天后，剩下的工程由甲队单独做，还需要多少天完成？ 思路点拨： ① 第一步：设定单位 “1”，计算两队效率。甲效率，乙效率； ② 第二步：计算两队的效率和：； ③ 第三步：计算合作 8 天完成的工作量：； ④ 第四步：计算剩余工作量：； ⑤ 第五步：计算甲队单独完成剩余工作量的时间：剩余工作量 ÷ 甲的效率，即（天）； ⑥ 第六步：验证结果。合作 8 天完成，甲单独做天完成，合计 1，刚好完成总工程。 【答案】 效率和： 合作 8 天完成： 剩余工作量： 甲还需时间：（天）（或约 6.67 天） 答：还需要天完成。 【知识点睛】分段合作工程的核心要点： 1. 核心解题逻辑：将工程拆分为 “合作阶段” 和 “独做阶段”，先计算合作阶段完成的工作量，再推导剩余工作量，最后用剩余工作量除以独做者的效率，得到独做时间； 2. 通用步骤： ① 计算合作各方的效率和； ② 计算合作阶段完成的工作量； ③ 计算剩余工作量（总工作量 - 合作完成量）； ④ 用剩余工作量 ÷ 独做者的效率，得到独做时间； 3. 易错提醒：第二阶段是甲单独做，不能再用效率和计算，必须用甲的单独效率，这是最常见的错误； 4. 拓展延伸：若是 “先独做后合作”，则先计算独做阶段的工作量，再用剩余工作量 ÷ 效率和，得到合作时间，逻辑完全一致。 考点五：工程问题的变式应用（拓展应用） 典型例题 5（拓展层级）—— 注水 + 排水变式问题 题目：一个水池有甲、乙两个进水管和一个排水管，单开甲管 12 小时注满水池，单开乙管 18 小时注满水池，单开排水管 24 小时排空满池水。三管同时打开，多少小时可以注满水池？ 思路点拨： ① 第一步：模型转化。把水池总容量看作单位 “1”，注满水池对应完成总工作量，进水管的效率为正，排水管的效率为负； ② 第二步：计算各水管的效率。甲管效率，乙管效率，排水管效率（负效率）； ③ 第三步：计算总效率。进水管效率之和减去排水管效率： ； ④ 第四步：计算注满时间。总工作量 1 除以总效率：（小时）； ⑤ 第五步：验证结果。小时，甲管注水，乙管注水，排水管排水，合计，刚好注满水池。 【答案】 总效率： 注满时间：（小时）（或约 10.29 小时） 答：三管同时打开，小时可以注满水池。 【知识点睛】工程问题变式应用的核心要点： 1. 模型迁移规则：只要是 “完成一件总任务” 的问题，都可以套用工程问题模型，核心是将总任务量设为单位 “1”； 2. 常见变式场景对应： · 注水 / 排水问题：总容量对应总工作量，注水效率为正，排水效率为负，总效率 = 进水管效率和 - 排水管效率； · 行程相遇问题：总路程对应总工作量，速度对应效率，相遇时间 = 1÷ 速度和； · 生产加工问题：总零件数对应总工作量，单日产量对应效率，合作时间 = 1÷ 效率和； 3. 易错提醒：有进有出的场景，必须区分正效率和负效率，不能直接将所有效率相加，要先判断效率的方向； 4. 拓展延伸：行程相遇问题是工程问题的经典变式，两车相向而行，相遇时间 = 1÷（甲速度 + 乙速度），和合作工程问题的公式完全一致。 考点六：合作问题的逆推求解（拓展应用） 典型例题 6（拓展层级）—— 逆推求独做时间 题目：一项工程，甲、乙两队合作 12 天可以完成。如果甲队单独做 20 天完成，乙队单独做需要多少天完成？ 思路点拨： ① 第一步：设定单位 “1”，计算甲乙合作的效率和。合作 12 天完成，效率和为； ② 第二步：计算甲队的效率。甲单独做 20 天完成，甲效率为； ③ 第三步：计算乙队的效率。效率和减去甲的效率，即； ④ 第四步：计算乙队单独完成的时间。总工作量 1 除以乙的效率：（天）； ⑤ 第五步：验证结果。甲效率，乙效率，效率和，合作时间 12 天，符合题意。 【答案】 效率和： 甲效率： 乙效率： 乙独做时间：（天） 答：乙队单独做需要 30 天完成。 【知识点睛】合作问题逆推求解的核心要点： 1. 核心逻辑：利用 “效率和 = 各效率之和” 的公式，进行逆向推导，先通过合作时间求出效率和，再减去已知的效率，得到未知的效率，最后通过效率求出独做时间； 2. 通用公式变形： · 效率和 = · 未知效率 = 效率和 - 已知效率 · 独做时间 = 3. 易错提醒：公式变形时，不能将效率和与独做时间的关系搞反，必须先求效率，再求时间，不能直接用合作时间加减已知独做时间； 4. 拓展延伸：若已知两人独做时间，求合作时间，是正向求解；若已知合作时间和一人独做时间，求另一人独做时间，是逆向求解，核心都是围绕效率和的公式变形。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：多人合作效率和计算错误，通分失误 错误范式：计算，错误得到，分母直接相加，导致效率和错误，最终合作时间完全错误。 成因剖析：分数加法基础不扎实，异分母分数相加未通分，直接分子分母分别相加，属于基础运算错误。 避坑方案：计算效率和时，严格遵循异分母分数加法规则：先找所有分母的最小公倍数，一次性通分，化为同分母分数后，分子相加、分母不变，结果约分成最简分数。计算完成后反向验证，确保效率和合理。 易错点 2：分段问题中，第二阶段的效率匹配错误 错误范式：先合作后独做的问题，第二阶段甲单独做，错误地用甲乙的效率和计算时间，导致结果错误。 成因剖析：对分段问题的阶段划分不清晰，混淆了两个阶段的参与方，导致效率匹配错误。 避坑方案：分段问题严格执行 “阶段划分” 步骤，先明确每个阶段的参与方，再匹配对应的效率：合作阶段用效率和，独做阶段用单人效率。每一步先写清楚阶段，再计算，避免效率匹配错误。 易错点 3：逆推问题中，公式变形错误，效率和与时间搞反 错误范式：甲乙合作 12 天完成，甲单独 20 天完成，错误地用天，作为乙的独做时间，完全错误。 成因剖析：对效率和与合作时间的反比关系理解不清，不知道合作时间越短，效率越高，不能直接用时间相减，必须通过效率推导。 避坑方案：牢记逆推问题的固定流程：①先求效率和（1÷ 合作时间）；②再求未知效率（效率和 - 已知效率）；③最后求独做时间（1÷ 未知效率）。严格按流程计算，绝不直接用时间加减。 易错点 4：变式场景中，效率方向混淆，排水 / 进水效率直接相加 错误范式：水池有进水管和排水管，错误地将排水管的效率和进水管效率直接相加，导致总效率计算错误。 成因剖析：对场景中的效率方向判断错误，不知道进水是正效率，排水是负效率，应该用减法，而不是加法。 避坑方案：变式场景先判断效率方向：进水、生产、完成任务的效率为正，排水、消耗、减少的效率为负。总效率 = 正效率之和 - 负效率之和，先判断方向，再计算。 易错点 5：中途休息问题中，工作量与工作时间混淆 错误范式：甲乙合作 8 天，乙休息，错误地用天，作为休息时间，没有通过工作量推导，逻辑完全错误。 成因剖析：对 “工作时间由工作量和效率决定” 的核心逻辑理解不清，没有先计算完成的工作量，直接凭感觉计算休息时间。 避坑方案：中途休息问题严格执行四步走：①算全程工作者的工作量；②算休息者的工作量；③算休息者的工作时间；④算休息时间。每一步都围绕工作量计算，不凭感觉列式。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，甲的效率是（ ），乙的效率是（ ），甲乙合作的效率和是（ ），合作（ ）天完成。 （2）一项工程，甲乙合作 8 天完成，甲乙的效率和是（ ），如果甲单独做 12 天完成，甲的效率是（ ），乙的效率是（ ）。 （3）一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成，丙单独做 15 天完成，三队合作的效率和是（ ），合作（ ）天完成。 （4）一个水池单开甲管 6 小时注满，单开乙管 3 小时注满，两管同时开，（ ）小时注满。 （5）一项工程，甲乙合作 10 天完成，甲单独做 15 天完成，乙单独做（ ）天完成。 2. 判断： （1）甲乙合作的效率和等于甲的效率加乙的效率。（ ） （2）一项工程，甲单独做 5 天完成，乙单独做 10 天完成，两队合作 15 天完成。（ ） （3）甲的效率是，乙的效率是，甲的效率更高。（ ） （4）一项工程，甲乙合作 8 天完成，甲单独做 12 天完成，乙单独做 24 天完成。（ ） （5）水池注水问题，有进水管和排水管，总效率等于进水管效率加排水管效率。（ ） 3. 选择： （1）一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 6 天完成，丙单独做 4 天完成，三队合作（ ）天完成。 A. 2 B. 3 C. 6 （2）一项工程，甲乙合作 15 天完成，甲单独做 25 天完成，乙单独做（ ）天完成。 A. 10 B. 37.5 C. 30 （3）一个水池有甲、乙两个进水管，单开甲管 8 小时注满，单开乙管 12 小时注满，两管同时开，（ ）小时注满。 A. 20 B. 4.8 C. 10 （4）一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两队合作，完成这项工程的需要（ ）天。 A. 3 B. 5 C. 6 4. 列式计算： （1）一项工程，甲单独做 18 天完成，乙单独做 9 天完成，两队合作多少天完成？ （2）一项工程，甲乙合作 12 天完成，甲单独做 20 天完成，乙的效率是多少？ 5. 解决问题： （1）修一段公路，甲工程队单独修 15 天完成，乙工程队单独修 10 天完成，丙工程队单独做 30 天完成。三队合修，多少天能修完？ （2）一个水池有两个进水管，单开甲管 5 小时注满，单开乙管 10 小时注满，同时打开两个进水管，多少小时可以注满水池？ 6. 一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作 6 天后，剩下的由甲队单独做，还需要多少天完成？ 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）一项工程，甲独做 8 天完成，乙独做 12 天完成，丙独做 24 天完成，三队合作（ ）天完成。 A. 4 B. 6 C. 8 （2）一个水池有甲、乙两个进水管和一个排水管，单开甲管 6 小时注满，单开乙管 8 小时注满，单开排水管 12 小时排空。三管同时打开，（ ）小时注满。 A. 4.8 B. 24 C. 8 （3）甲乙合作 6 天完成一项工程，甲独做 10 天完成，乙独做（ ）天完成。 A. 4 B. 15 C. 16 8. 解决问题： （1）一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成。两队合作，中途甲队休息了 2 天，乙队全程工作，一共需要多少天完成？ （2）加工一批零件，师傅单独加工 12 小时完成，徒弟单独加工 18 小时完成。师傅先加工 3 小时，剩下的由师徒两人合作，还需要多少小时完成？ 9. 一项工程，甲乙合作 10 天完成，乙丙合作 12 天完成，甲丙合作 15 天完成。三队合作多少天可以完成？ 10. 一个水池有两个进水管和一个出水管，单开甲管 8 小时注满，单开乙管 10 小时注满，单开出水管 20 小时放完整池水。三管同时打开，多久能注满半池水？ 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成，丙队单独做 20 天完成。三队合作期间，甲队中途休息了几天，结果用了 6 天完成全部工程。甲队休息了几天？ 12. 一项工程，甲乙两队合作 12 天可以完成。如果甲队先单独做 10 天，乙队再单独做 15 天，也刚好完成全部工程。乙队单独完成这项工程需要多少天？ ▶ 数学活动拓展 实践活动：生活中的合作工程大调查 活动任务： 1. 观察生活，收集 3 个可以用合作工程问题模型解决的场景（如多人合作完成任务、多管注水、两车相遇等）； 2. 记录场景中的对应数据，提出数学问题，用本课时学习的方法解答，写出完整解题过程； 3. 和同学分享调查结果，互相交流合作工程问题的核心解题思路； 4. 自主编一道三人合作的工程问题应用题，和同学交换解答、互相批改。 要求：通过真实生活调查与实践，巩固合作工程问题的解题模型与方法，体会数学模型的应用价值，提升应用意识与问题解决能力。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）；；；6 （2）；； （3）；10 （4）2 （5）30 思路点拨： ① 效率 = 1÷ 独做时间，效率和 = 甲效率 + 乙效率，合作时间 = 1÷ 效率和； ② 效率和 = 1÷ 合作时间，乙效率 = 效率和 - 甲效率； ③ 三队效率相加，再用 1 除以效率和得合作时间； ④ 效率和 =，时间 = 1÷=2 小时； ⑤ 乙效率 =，独做时间 = 30 天。 【知识点睛】基础概念识记题型，覆盖效率计算、效率和、合作时间公式、逆推求解，夯实核心公式与概念基础。 2. 【答案】（1）√ （2）× （3）√ （4）√ （5）× 思路点拨： ① 合作效率和等于各效率之和，正确； ② 合作时间不能直接相加，错误； ③ 甲效率大于乙效率，正确； ④ 乙效率 =，独做 24 天，正确； ⑤ 排水管效率是负的，不能直接相加，错误。 【知识点睛】概念辨析题型，针对性规避合作时间相加、效率方向混淆等高频易错点，深化概念理解。 3. 【答案】（1）A （2）B （3）B （4）A 思路点拨： ① 效率和 =，时间 = 2 天，选 A； ② 乙效率 =，独做时间 = 37.5 天，选 B； ③ 效率和 =，时间 = 4.8 小时，选 B； ④ 效率和 =，时间 =天，选 A。 【知识点睛】基础选择题型，考查多人合作、逆推求解、变式应用、部分工作量计算，训练基础应用能力。 4. 【答案】 （1）效率和：，合作时间：（天） 答：两队合作 6 天完成。 （2）乙效率： 答：乙的效率是。 思路点拨： 先计算效率和，再求合作时间；逆推问题先求效率和，再减去甲的效率得到乙的效率。 【知识点睛】基础计算题型，巩固合作时间正向求解与逆推求解的核心公式，训练规范解题流程。 5. 【答案】 （1）甲效率，乙效率，丙效率 效率和： 合作时间：（天） 答：三队合修 5 天能修完。 （2）甲效率，乙效率 效率和： 合作时间：（小时） 答：小时可以注满水池。 思路点拨： 三队合作先求效率和，再求合作时间；注水问题转化为工程模型，按公式计算。 【知识点睛】基础应用题，结合修路、注水场景考查多人合作与变式应用，体会数学的实用价值。 6. 【答案】 效率和： 合作 6 天完成： 答：两队合作 6 天已经完成全部工程，不需要再单独做。 思路点拨： 先计算效率和，再计算合作 6 天的工作量，发现刚好完成全部工程，因此剩余 0 天。 【知识点睛】分段合作题型，巩固合作工作量的计算，强化分段逻辑的理解。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）A （2）A （3）B 思路点拨： ① 三队效率和 =，时间 = 4 天，选 A； ② 总效率 =，时间 = 4.8 小时，选 A； ③ 乙效率 =，乙独做 15 天，选 B。 【知识点睛】综合应用题型，考查多人合作、进出水变式、逆推求解，提升逻辑推理与综合应用能力。 8. 【答案】 （1）甲休息 2 天，乙单独做 2 天，完成工作量： 剩余工作量： 效率和： 合作时间：（天） 总时间：（天） 答：一共需要 13.2 天完成。 （2）师傅先做 3 小时完成： 剩余工作量： 效率和： 合作时间：（小时） 答：还需要 5.4 小时完成。 思路点拨： 先计算单独做的工作量，再计算剩余工作量的合作时间，最后求总时间，分段拆解，逻辑清晰。 【知识点睛】进阶分段应用题，覆盖中途休息、先独做后合作两类复杂场景，强化分段解题能力。 9. 【答案】 甲 + 乙效率 =，乙 + 丙效率 =，甲 + 丙效率 = 三个式子相加：2×(甲 + 乙 + 丙)= 甲 + 乙 + 丙效率 = 三队合作时间：（天） 答：三队合作 8 天完成。 思路点拨： 将两两合作的效率和相加，得到 2 倍的三队效率和，再除以 2 得到三队效率和，最后计算合作时间。 【知识点睛】高阶工程问题，通过整体求和求效率和，培养整体思想与逻辑推理能力。 10. 【答案】 总效率： 半池水的工作量： 注满时间：（小时） 答：小时能注满半池水。 思路点拨： 先计算总效率，再用半池水的工作量除以总效率，得到注满时间。 【知识点睛】进出水混合变式题，强化效率方向的判断，提升复杂场景的应用能力。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 乙、丙全程工作，6 天完成的工作量： 甲完成的工作量： 甲的工作时间：（天） 甲休息的时间：（天） 答：甲队休息了 3 天。 思路点拨： 先计算乙、丙全程完成的工作量，再推导甲完成的工作量，进而求出甲的工作时间，最后得到休息时间。 【知识点睛】中途休息类复杂工程问题，培养逆向推理与综合分析能力，深化对工作量、效率、时间关系的理解。 12. 【答案】 甲乙合作 12 天完成，即甲 12 天 + 乙 12 天 = 总工作量 1 甲先做 10 天，乙再做 15 天完成，即甲 10 天 + 乙 15 天 = 总工作量 1 对比两个式子：甲少做 2 天，乙需要多做 3 天，即甲 2 天的工作量 = 乙 3 天的工作量 甲的效率：乙的效率 = 3:2 甲乙效率和 =，按 3:2 分配，乙的效率 = 乙独做时间：（天） 答：乙队单独完成需要 30 天。 思路点拨： 通过对比两种完成方式，得出甲乙的效率比，再按比例分配效率和，求出乙的效率，进而得到独做时间。 【知识点睛】高阶工程问题，通过对比分析求效率比，培养逻辑推理与比例应用能力，深化工程问题模型的综合理解。 ▶ 数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 生活调查：收集多人合作任务、水池注水、两车相遇等场景的真实数据，记录对应信息； 2. 问题解决：结合场景数据提出数学问题，用本课时学习的合作工程问题方法解答，写出完整解题过程； 3. 交流分享：和同学分享调查结果，讨论合作工程问题的核心解题思路，总结易错点； 4. 编题互动：自主编一道三人合作的工程问题，和同学交换解答，互相批改，巩固方法。 【知识点睛】通过真实的生活实践活动，巩固合作工程问题的解题模型与方法，提升应用意识、问题解决能力与合作交流能力，让学生在真实场景中感受数学模型的实用价值，落实模型思想核心素养的培养目标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $