第2讲 分数裂项（奥数讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

奥数培优讲义 第2讲分数裂项 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 编写这份《分数裂项》培优专题，初衷并非单纯堆砌难题，而是希望为孩子们揭开“化 繁为简”的数学面纱。在六年级奥数体系中，分数裂项是高频必考的巧算利器，其核心魅力 在于将复杂的连加算式转化为简单的首尾项计算。 许多孩子初接触时，容易被繁琐的分母乘积困扰。因此，我们从最基础的“连续自然数 裂项”入手，逐步过渡到“间隔裂项”及“分子变式”，层层递进。我们特别强调观察分母 两因数之差与分子的关系，这是解题的关键钥匙。无论是直接套用公式，还是提取公因数后 裂项，目的都是让中间项相互抵消，只留首尾。这种“消去”的过程，不仅是计算技巧的提 升，更是逻辑思维中“抓主要矛盾”思想的体现。 通过20道精选跟踪训练与3道高难度拔高题，我们希望孩子们不仅能熟练运用公式， 更能养成先观察结构、再选择策略的习惯。愿你们在每一次拆分与抵消中，体会数学的简洁 之美，建立从容应对复杂问题的自信。 考点梳理 第1页 奥数培优讲义 (一)分数裂项定义 分数裂项是小学六年级奥数高频必考巧算方法，全称“分数裂项相消法”。核心思想是：把 一个复杂分数拆成两个分数的差（或和)，使算式中间项相互抵消，只保留首尾项，极大简 化计算。 该方法专门用于解决：多个分母为两个自然数乘积、分子为固定数的分数连加、连减算式。 (二)基础裂项核心公式（必考） 适用条件：分母是两个连续自然数相乘，分子为1 1 =11 n×(n+1)nn+1 举例：1=1-1、1-11 2×323、5×656 (三)进阶裂项公式（培优重点） 适用条件：分母是两个差为k的自然数相乘，分子为1 =1x1-1 1 n×(n+kknn+k 常用变式（间隔1、间隔2高频）： 1.间隔2： 1。=x-1》 n×(n+22nn+2 2.间隔3： 1一=1x1-1 n×(n+3）3nn+3 (四)分子变式裂项（拔高考点） 适用条件：分母为两数乘积，分子不是1，是分母两数的差或固定倍数 第2页 奥数培优讲义 通用规律：分子是分母两因数之差，直接拆分；分子不是差值，先提取倍数再拆分 例： 2_5-3_11 3x53×535 (五)裂项相消核心规律 1.正向连续裂项：中间所有分数全部抵消，只剩第一项开头和最后一项结尾； 2.间隔裂项：会剩余前几项、后几项，不会全部抵消； 3.计算结果必须约分，化为最简分数。 及例题讲解 【典型例题1】基础连续裂项（分子为1、分母连续自然数) 计算： 1 +1 1 1 十… 1×22×33×49×10 【详解】 利用些宽餐项公式片古逐项拆分 原式=(1-2+33+写4++写0 去括号，中间项全部抵消： 原式=1-+-+-1++-1 22334 910 剩余首尾项计算：1-1=9 1010 【答案】品 【跟踪训练1】 第3页 奥数培优讲义 计算：1+1t,1++1 2×3"3×44×519×20 【详解】 套用基础裂项公式逐项拆分： 原式分吉+号*…+品贵 中间项抵消，剩余首尾： 原武080品 【答案】易 【典型例题2】间隔裂项（分母两数差为2） 1 计算： 1 1 1x3+3x5+5x7++17×19 【详解】 分与有纹浴值为2，用的附裂项公式n2日2 原式×1吉+×*+×立古 提取公因数 原式1分吉+方尚 中间项抵消，计算首尾： 原式×1*8号 【答案】昌 第4页 奥数培优讲义 【跟踪训练2】 计算： 1 11++18x20 2×44×66×8 【详解】 分母差值为2，套用间隔裂项公式： 原式}子×号君**品动 21820 提取 抵消中间项： 原式=x-1)=1x9=9 2220122040 【答案】9 0 【典型例题3】分子变式裂项（分子不为1) 计算：3 3 3 3 5+5×8+8×11+1×14 【详解】 观察：分母两数差值为3，分子恰好为3，可直接裂项：nn+3nn+3 3-1-1 原式分+哈合+贵 中间项全部抵消，剩余首尾： 原武古存4品-月 【答案】引 【跟踪训练3】 第5页 奥数培优讲义 计算：，4+ 4+4 1×55×99×13 【详解】 分母差值为4，分子为4，直接裂项： 4-1-1 n(n+4)nn+4 原式(1++号言 抵消中间项，化简结果： 原式1房号 【答*】号 【典型例题4】正负交替裂项进阶 计算： 1 1 1 1×22×33×44×5 【详解】 先逐项裂项拆分： 原式1-2》（分3+号4-4 去括号变号： 原武1安5写甘 合并同类项计算： 原式=1-1+2-1+1=20-15+6-11 32530303030 【答案】贵 第6页 奥数培优讲义 【跟踪训练4】 计算： 11.11 2×33×44×55×6 【详解】 裂项拆分、去括号整理： 原武分-兮+子昌-哈司 去搭号：专专行行月日 合并计算： 原武号子号层日器器号品易0 【答案】品 【典型例题5】长式子间隔裂项拔高 计算：，1+1 1++。1 1×44×77×1028×31 【详解】 分付肉数法值为3，案用公式中3日3上 原式号×1-+子*+0分 抵消中间项： 原式=×1-)片 130_10 31=3x3131 【答来)品 第7页 奥数培优讲义 【跟踪训练5】 计算： 11,1 1 3×66×99×12 ++30x33 【详解】 分母差值为3，统一提取裂项： 3 原式刘片君+信古-+0】 3 抵消中间项后计算： 原式兮京时吕9 【答案】 99 提升练习 新的的国眼的烟食眼的烟的烟国的烟的眼的的的烟国的的的烟的的烟国的烟的烟的眼的烟国的烟的图的烟的的的烟的烟眼的 1计算：2女4 14×15 【详解】利用装甜慰项公式。拆分 原式-}++品品 中间项全部抵消，原式=1号岩 【答家】岩 2.计算：++++ 1 3×44×55×624×25 第8页 奥数培优讲义 【详解】基础连续裂项 抵消中间致。原式号名芳是号 【答案】号 3计算：5*写ggx市*212西 1+1 +…+1 【带解]分时肉数洁为公式。a-沿4 t卦经别 【答案】员 4计算：，2+2 +、2 2 1x33x5+5x7++19×2 【详解】分年差2分千为工，直接裂项2片 原式1得卦++品左 第9页 奥数培优讲义 1六8 【答】9 5计条：6*后8*80* …十 1 24×26 【详解】分母差2，提取裂项 原武×居后以 行号*量贵品 【答案】品 6计算：，4+4 4 2×66×1010×14 【详解】分母差4，分子为4，直接裂项 原}传品 3444品号 【答案1月 7.计算： +1+1」 1 2×55×88×1120×23 第10页 奥数培优讲义 【详解】分母差3，提取上裂项 原式3r目易 台归器希 【答案】石 8计算：是4+4及77×10+*25×28 3+3+3 3 【详解】分母差3，分子等于差值，直接裂项 原武1好升+云品 10器 【答案】贸 9.计算：1+1t1+…+1 5×66×77×834×35 【详解】连续自然数裂项 鼠t非传升房 号系常品 第11页 奥数培优讲义 【答案】号 10计第：女6*6如*n6*62 1+1+1 【详解】分母差5，提取裂项 噬式1后位川6 君1*9贵 【答案) 1第：308*8B*1B218 5 【详解】分母差5，分子等于差值，直接裂项 威式}语州信 =1-1=6-1-5 318181818 【答案】品 12.计算：，1+1+ 1 1 7×99×1111×1327×29 【详解】分母差2，提取好 第12页 奥数培优讲义 原武仔日分 号*器品 【答案】 203 1计第：2女3*34*45*卫证 12×13 【详解】基础连续裂项 t}引好品 =1-1=132-1 213262626 【答】岩 14.计算：，1+1 41 1×88×1515×22 【详解】分母差7，提取上裂项 原式刮话品 第13页 奥数培优讲义 【答案】是 15训第：总7*7*39 6 6 【详解】分母差6，分子等于差值，直接裂项 原式中号品高 168 【答案】8 16计算：。1。+ 1 1 十…十 6×88×10'10×1234×36 【详解】分母差2，提取 原式店川哈品+房 后需品易 【答案】 习 17计算：，+1+1 .1 1x33x5+5×7+…+23×25 【详解】分母差2，提取 第14页 奥数培优讲义 原式 1器贵 【答茶】号 1计舞：女7如元 1 【详解】分母差3，提取二裂项 任引传安副 好动品 【答案】0 19计算：g1。+。1+1 1 8×99×1010×11 +…+44×45 【详解】连续自然数裂项 原式日-+日-++- 899104445 日右萄品 第15页 奥数培优讲义 【答案】37 360 2+2+2 2 20.计算：4女66×88×10+…+2×24 【详解】分母差2，分子等于差值，直接裂项 原4后合 -1-1-6-1-5 424242424 【答家】是 Y模拟赛场 2一+2 +2 【奥数题1】计算：1×2×32x3×43×4×5 .+2 8×9×10 2 1 1 【详解】三项分母裂项公式： nn+1jn+2nn+1(n+1n+2 原式LL+是-1++。 1×22×32×33×4 8×99×10 中间顶抵消，原式女之0号0贺品的器 【答】器 【奥数画】计第：7*2品4477对及G 【详解】观察：分母两数之差等于分子，k=上- a×bab 第16页 奥数培优讲义 原t引卧修任侣品6 逐项抵消，原式1。号 【答案】号 【奥数题3】计算：合+分+动++0 【详解】先变形分母：2=1×2,6=2×3,12=3×4，，9900=99×100 1 99×100 13的o 10 99 【答案】职 第17页奥数培优讲义 第2讲分数裂项 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 编写这份《分数裂项》培优专题，初衷并非单纯堆砌难题，而是希望为孩子们揭开“化 繁为简”的数学面纱。在六年级奥数体系中，分数裂项是高频必考的巧算利器，其核心魅力 在于将复杂的连加算式转化为简单的首尾项计算。 许多孩子初接触时，容易被繁琐的分母乘积困扰。因此，我们从最基础的“连续自然数 裂项”入手，逐步过渡到“间隔裂项”及“分子变式”，层层递进。我们特别强调观察分母 两因数之差与分子的关系，这是解题的关键钥匙。无论是直接套用公式，还是提取公因数后 裂项，目的都是让中间项相互抵消，只留首尾。这种“消去”的过程，不仅是计算技巧的提 升，更是逻辑思维中“抓主要矛盾”思想的体现。 通过20道精选跟踪训练与3道高难度拔高题，我们希望孩子们不仅能熟练运用公式， 更能养成先观察结构、再选择策略的习惯。愿你们在每一次拆分与抵消中，体会数学的简洁 之美，建立从容应对复杂问题的自信。 考点梳理 第1页 奥数培优讲义 (一)分数裂项定义 分数裂项是小学六年级奥数高频必考巧算方法，全称“分数裂项相消法”。核心思想是：把 一个复杂分数拆成两个分数的差（或和)，使算式中间项相互抵消，只保留首尾项，极大简 化计算。 该方法专门用于解决：多个分母为两个自然数乘积、分子为固定数的分数连加、连减算式。 (二)基础裂项核心公式（必考） 适用条件：分母是两个连续自然数相乘，分子为1 1 =11 n×(n+1)nn+1 举例：1=1-1、1-11 2×323、5×656 (三)进阶裂项公式（培优重点） 适用条件：分母是两个差为k的自然数相乘，分子为1 =1x1-1 1 n×(n+kknn+k 常用变式（间隔1、间隔2高频）： 1.间隔2： 1。=x-1》 n×(n+22nn+2 2.间隔3： 1一=1x1-1 n×(n+3）3nn+3 (四)分子变式裂项（拔高考点） 适用条件：分母为两数乘积，分子不是1，是分母两数的差或固定倍数 第2页 奥数培优讲义 通用规律：分子是分母两因数之差，直接拆分；分子不是差值，先提取倍数再拆分 例： 2_5-3_11 3x53×535 (五)裂项相消核心规律 1.正向连续裂项：中间所有分数全部抵消，只剩第一项开头和最后一项结尾； 2.间隔裂项：会剩余前几项、后几项，不会全部抵消； 3.计算结果必须约分，化为最简分数。 及例题讲解 【典型例题1】基础连续裂项（分子为1、分母连续自然数) 计算：，1 +1+1十…+ 1 1×22×33×49×10 【跟踪训练1】 1 +1 +1 计算：2x3*3×44x5++9×20 【典型例题2】间隔裂项（分母两数差为2） 计算：，1+1+1 1×33×55×7+.17x, 第3页 奥数培优讲义 【跟踪训练2】 计第：4*46*6以6*80 +…+1 【典型例题3】分子变式裂项（分子不为1) 计0：品5*写品88*m24 3 【跟踪训练3】 计算：4+4+4 1×55×99×13 【典型例题4】正负交替裂项进阶 第4页 奥数培优讲义 计算：，1-1+1-1 1×22×33×44×5 【跟踪训练4】 计算：1-1+1-1 2×33×44×55×6 【典型例题5】长式子间隔裂项拔高 计第：4*4女770* 1 【跟踪训练5】 计算：1+1+1 +.+1 3×66×99×1230×33 第5页 奥数培优讲义 提升练习 1计第：2*23*3女4*-+45 1,1 1 2计算：456642 3计年：*gg*2 4计第：品*3品*与品7*+0 第6页 奥数培优讲义 5训第6660+242 6计第：6+60*7014 7计第：5*写80+202 8训第：品+4是77n*528 9计第：566778+3435 第7页 奥数培优讲义 10tg:6*nn1662 Ⅱ计舞：3及用*85*BG 卫计第：g*g以*n如*+3万2 3算女*4-*D 4计算：8g5*52 1 第8页 奥数培优讲义 15计绿：8*793*3 6 6 16计异：68日070*346 1 1计算：与527 1+1 18计：4女7*7女0*0+2石 1 第9页 奥数培优讲义 19.计算：。t。1。t,1++,1 8×99×1010×1144×45 20计0：4品6*6品*8品 +…+2 22×24 心模拟赛场 【奥数题1】计算： 2 2 2 2 十…十 1×2×32×3×43×4×58×9×10 【奥数题2】计算72及4477n6 .5 【奥数恩3】计第+日+立+分+动++0 第10页 奥数培优讲义 第11页