第4讲 分数应用题（奥数培优讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

第4讲 分数应用题 考点梳理 分数应用题是小学数学的难点，其核心在于理清“量”与“率”的关系。在不使用方程的前提下，我们需要熟练掌握以下算术思维模型： 1. 找准单位“1” (1) 定义：在分数应用题中，通常把“比”、“占”、“是”、“相当于”后面的量看作单位“1”。 (2) 判断技巧： 1　 “甲是乙的 ” 乙是单位“1”。 2　 “甲比乙多 ” 乙是单位“1”，甲对应的分率是 。 3　 “乙比甲少 ” 甲是单位“1”，乙对应的分率是 。 2. 量率对应原则 (1) 基本公式： 1　 已知单位“1”，求部分量： 2　 已知部分量，求单位“1”： (2) 关键点：除法运算中的除数必须是该部分量所对应的具体分率。如果题目给出的是两个分率的差或和，必须找到这两个分率之差/和所对应的具体数量差/和。 1　 公式变形： 3. 常见题型模型 (1) 转化单位“1”：当题目中出现多个不同的单位“1”时，需通过中间量将它们统一转化为同一个标准量（通常转化为总量的几分之几）。 (2) 不变量法：抓住题目中始终不变的量（如总和不变、差不变），将其作为解题突破口。 (3) 倒推法（还原问题）：从最后的结果出发，逆向运用逆运算（加变减、乘变除、分率取倒数）逐步向前推导。 例题讲解 【典型例题1】 基础量率对应与转化 题目：一本书，第一天看了全书的 ，第二天看了余下的 ，还剩 90 页没看。这本书共有多少页？ 【跟踪训练1】 一根绳子，第一次剪去全长的 ，第二次剪去余下的 ，这时还剩 4 米。这根绳子原长多少米？ 【典型例题2】 不变量法（总和不变） 题目：甲、乙两个仓库共存粮 180 吨。如果从甲仓库运出 到乙仓库，这时甲、乙两仓库存粮的比是 2:3。原来甲、乙仓库各存粮多少吨？ 【跟踪训练2】 某班男生人数是女生人数的 ，后来转来 2 名女生，这时男生人数是女生人数的 。这个班原有男生多少人？ 【典型例题3】 复杂工程问题与效率转化 题目：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。现在甲先做 2 天，然后乙加入一起合作，还需要几天才能完成这项工程？ 【跟踪训练3】 修一条路，甲队单独修 12 天完成，乙队单独修 18 天完成。两队合修 3 天后，剩下的由乙队单独修，还要几天完成？ 培优练习 1. 一桶油，第一次用去 ，第二次用去余下的 ，还剩 12 千克。这桶油原重多少千克？ 2. 一根铁丝，第一次剪去全长的 多 2 米，第二次剪去余下的 少 1 米，还剩 5 米。铁丝原长多少米？ 3. 一件商品先涨价 ，再降价 ，现价是 99 元。原价是多少元？ 4. 仓库里有一批大米，第一天卖出总数的 ，第二天卖出总数的 ，第二天比第一天多卖 10 吨。这批大米共有多少吨？ 5. 某班女生人数是男生人数的 ，男生比女生多 6 人。全班有多少人？ 6. 一瓶酒精，第一次倒出 ，第二次倒出余下的 ，第三次倒出余下的 ，瓶中还剩 240 毫升。原有多少毫升？ 7. 苹果树棵数是梨树的 ，桃树棵数是苹果树的 。已知桃树有 40 棵，梨树有多少棵？ 8. 某工厂计划生产一批零件，上半月完成了计划的 ，下半月完成了计划的 ，结果超产 120 个。计划生产多少个？ 9. 一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的 ，第二小时行了余下的 ，这时离乙地还有 90 千米。甲乙两地相距多少千米？ 10. 兄弟俩共有压岁钱 800 元，哥哥给弟弟 50 元后，哥哥的钱数是弟弟的 。哥哥原来有多少钱？ 11. 甲、乙两袋大米，甲袋重 50 千克。如果从甲袋取出 放入乙袋，两袋大米一样重。乙袋原来重多少千克？ 12. 某车间男工人数是女工的 ，调进 2 名女工后，男工人数是女工的 。原有男工多少人？ 13. 修路队修一条路，第一天修了全长的 ，第二天修了全长的 ，第三天修的比前两天总和少 10 米，还剩 110 米。全长多少米？ 14. 一个分数，分子加分母等于 100，如果分子加 23，分母加 32，新分数约分后是 。原分数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 分数应用题 考点梳理 分数应用题是小学数学的难点，其核心在于理清“量”与“率”的关系。在不使用方程的前提下，我们需要熟练掌握以下算术思维模型： 1. 找准单位“1” (1) 定义：在分数应用题中，通常把“比”、“占”、“是”、“相当于”后面的量看作单位“1”。 (2) 判断技巧： 1　 “甲是乙的 ” 乙是单位“1”。 2　 “甲比乙多 ” 乙是单位“1”，甲对应的分率是 。 3　 “乙比甲少 ” 甲是单位“1”，乙对应的分率是 。 2. 量率对应原则 (1) 基本公式： 1　 已知单位“1”，求部分量： 2　 已知部分量，求单位“1”： (2) 关键点：除法运算中的除数必须是该部分量所对应的具体分率。如果题目给出的是两个分率的差或和，必须找到这两个分率之差/和所对应的具体数量差/和。 1　 公式变形： 3. 常见题型模型 (1) 转化单位“1”：当题目中出现多个不同的单位“1”时，需通过中间量将它们统一转化为同一个标准量（通常转化为总量的几分之几）。 (2) 不变量法：抓住题目中始终不变的量（如总和不变、差不变），将其作为解题突破口。 (3) 倒推法（还原问题）：从最后的结果出发，逆向运用逆运算（加变减、乘变除、分率取倒数）逐步向前推导。 例题讲解 【典型例题1】 基础量率对应与转化 题目：一本书，第一天看了全书的 ，第二天看了余下的 ，还剩 90 页没看。这本书共有多少页？ 【思路分析】 本题有两个单位“1”：第一个是“全书页数”，第二个是“余下的页数”。需要将第二天的分率转化为相对于“全书”的分率，或者先求出第一天看完后余下的页数。这里采用分步算术法。 【详解】 第一天看了全书的 ，则余下全书的： 。 第二天看了“余下”的 ，即看了全书的： 。 两天一共看了全书的： 。 剩下的 90 页对应的分率是： 。 全书总页数： （页）。 【答案】 200 页 【跟踪训练1】 一根绳子，第一次剪去全长的 ，第二次剪去余下的 ，这时还剩 4 米。这根绳子原长多少米？ 【详解】 第一次剪后余下： 。 第二次剪去余下的 ，即剪去全长的： 。 两次共剪去： 。 剩余分率： 。 原长： （米）。 【答案】 12 米 【典型例题2】 不变量法（总和不变） 题目：甲、乙两个仓库共存粮 180 吨。如果从甲仓库运出 到乙仓库，这时甲、乙两仓库存粮的比是 2:3。原来甲、乙仓库各存粮多少吨？ 【思路分析】 无论粮食怎么调动，甲乙两仓库的总重量 180 吨是不变的。我们可以利用这个不变量，结合后来的比例，算出后来甲仓库的存量，再逆推回去。 【详解】 调动后，甲、乙比为 2:3，总份数为 份。 调动后甲仓库的存粮为总数的 ： （吨）。 这 72 吨是甲仓库运出 后剩下的，也就是甲原来的 。 原来甲仓库的存粮： （吨）。 原来乙仓库的存粮： （吨）。 【答案】 甲 96 吨，乙 84 吨 【跟踪训练2】 某班男生人数是女生人数的 ，后来转来 2 名女生，这时男生人数是女生人数的 。这个班原有男生多少人？ 【详解】 此题中男生人数是不变量。 原来：男生是女生的 女生是男生的 。 现在：男生是女生的 女生是男生的 。 女生人数的变化量是 2 人，对应的分率差是： 。 男生人数（单位“1”）： （人）。 【答案】 24 人 【典型例题3】 复杂工程问题与效率转化 题目：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。现在甲先做 2 天，然后乙加入一起合作，还需要几天才能完成这项工程？ 【思路分析】 将工作总量看作单位“1”。分别求出甲、乙的工作效率，计算甲先做的工作量，求出剩余工作量，最后用剩余工作量除以合作效率。 【详解】 甲的效率： ，乙的效率： 。 甲先做 2 天的工作量： 。 剩余工作量： 。 甲乙合作效率： 。 合作所需时间： （天）。 【答案】 4.8 天 【跟踪训练3】 修一条路，甲队单独修 12 天完成，乙队单独修 18 天完成。两队合修 3 天后，剩下的由乙队单独修，还要几天完成？ 【详解】 甲效率 ，乙效率 。 合作效率： 。 合作 3 天完成： 。 剩余工作量： 。 乙单独修所需时间： （天）。 【答案】 10.5 天 培优练习 1. 一桶油，第一次用去 ，第二次用去余下的 ，还剩 12 千克。这桶油原重多少千克？ 【详解】 第一次余下 ；第二次用去全桶的 ；共用去 ，剩 。原重 kg。 【答案】 20 千克 2. 一根铁丝，第一次剪去全长的 多 2 米，第二次剪去余下的 少 1 米，还剩 5 米。铁丝原长多少米？ 【详解】 倒推法。第二次剪前余下： 米。第一次剪前（原长）： 米。 【答案】 15 米 3. 一件商品先涨价 ，再降价 ，现价是 99 元。原价是多少元？ 【详解】 设原价为单位“1”。现价对应分率： 。原价： 元。 【答案】 100 元 4. 仓库里有一批大米，第一天卖出总数的 ，第二天卖出总数的 ，第二天比第一天多卖 10 吨。这批大米共有多少吨？ 【详解】 对应分率差： 。总数： 吨。 【答案】 120 吨 5. 某班女生人数是男生人数的 ，男生比女生多 6 人。全班有多少人？ 【详解】 男生为单位“1”，女生 。差值分率 。男生： 人。女生： 人。全班： 人。 【答案】 54 人 6. 一瓶酒精，第一次倒出 ，第二次倒出余下的 ，第三次倒出余下的 ，瓶中还剩 240 毫升。原有多少毫升？ 【详解】 连乘法逆运算。 剩余比例： 。 原有： 毫升。 【答案】 600 毫升 7. 苹果树棵数是梨树的 ，桃树棵数是苹果树的 。已知桃树有 40 棵，梨树有多少棵？ 【详解】 苹果树： 棵。梨树： 棵。 【答案】 80 棵 8. 某工厂计划生产一批零件，上半月完成了计划的 ，下半月完成了计划的 ，结果超产 120 个。计划生产多少个？ 【详解】 总分率： 。超产分率： 。计划产量： 个。 【答案】 700 个 9. 一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的 ，第二小时行了余下的 ，这时离乙地还有 90 千米。甲乙两地相距多少千米？ 【详解】 第一小时余 。第二小时行全程 。 共行 。 剩 对应 90 km。全程 km。 【答案】 200 千米 10. 兄弟俩共有压岁钱 800 元，哥哥给弟弟 50 元后，哥哥的钱数是弟弟的 。哥哥原来有多少钱？ 【详解】 总和不变 800。后来弟弟占 。 后来弟弟有： 元。 原来弟弟： 元。 原来哥哥： 元。 【答案】 350 元 11. 甲、乙两袋大米，甲袋重 50 千克。如果从甲袋取出 放入乙袋，两袋大米一样重。乙袋原来重多少千克？ 【详解】 甲取出 即 10 千克，甲剩 40 千克。 此时乙也是 40 千克。 乙原来： 千克。 【答案】 30 千克 12. 某车间男工人数是女工的 ，调进 2 名女工后，男工人数是女工的 。原有男工多少人？ 【详解】 男工不变。 原女工是男工的 。现女工是男工的 。 差值分率： 。 男工： 人。 【答案】 12 人 13. 修路队修一条路，第一天修了全长的 ，第二天修了全长的 ，第三天修的比前两天总和少 10 米，还剩 110 米。全长多少米？ 【详解】 前两天和分率： 。 第三天分率： 对应的长度少 10 米。 设全长 。 。 。 【答案】 600 米 14. 一个分数，分子加分母等于 100，如果分子加 23，分母加 32，新分数约分后是 。原分数是多少？ 【详解】 新分子+新分母 = 。 新分数 ，总份数 5。 新分子： 。 原分子： 。 原分母： 。 原分数： 。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $