第10讲 牛吃草问题（奥数培优讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

奥数培优讲义 第10讲 牛吃草问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 当你翻开这页讲义，或许会被“草在长、牛在吃”的动态场景困扰。但请记住，数学的魅力正在于从变化中寻找不变。“牛吃草”问题并非简单的算术，而是一场关于“存量”与“流量”的思维博弈。 本讲义将带你透过现象看本质：无论草是匀速生长还是冬日枯萎，无论牛群是中途增减还是牛羊混养，核心逻辑始终未变——即“原有草量 + 新增草量 = 总消耗量”。我们将从最基础的单位设定出发，通过四步固定解法，帮你建立清晰的解题框架；再逐步深入至水池排水、检票排队等类比题型，让你掌握举一反三的能力。 不要畏惧复杂的条件，试着将“新长的草”分配给特定的牛去处理，剩下的牛专心对付“原有的草”。这种“分而治之”的策略，不仅适用于奥数考场，更是解决生活中复杂问题的智慧钥匙。愿你在每一次推导中，都能感受到逻辑闭环带来的喜悦与自信。加油！ 考点梳理 1. 基本概念 原有草量：草地一开始就有的草，固定不变。 草生长速度：单位时间（一般是每天）新长出来的草量；草也可能枯萎（草速为负数）。 牛吃草速度：统一规定：1头牛1天吃的草为1份，这是牛吃草问题最常用的单位。 单位设定： 2. 核心公式（草匀速生长） 设：原有草量为，草每天生长量为，牛的头数为，时间为。 总吃掉草量 = 原有草量 + 这段时间新长的草 两个关键推导公式： (1) 草每天生长速度 (2) 原有草量 3. 两类基础题型 题型①：草匀速生长（最常考） 草地不断长新草。一部分牛专门吃每天新长出来的草（"幸运牛"），剩下的牛去吃原有老草；老草吃完，草地就吃光。 解题思路： ① 求每天长草量； ② 求原有草量； ③ 固定头牛专门吃新草；剩余牛吃原有草，求时间；或者已知时间，求一共可以放多少头牛。 题型②：草匀速枯萎（冷天，草每天减少） 草不会生长，反而每天在减少。 公式变形： 总草量 = 牛吃掉的草 + 这段时间自然枯萎掉的草。 4. 常见拓展题型 (1) 求可供多少头牛吃一定天数； (2) 已知牛的数量，求吃完草地需要多少天； (3) 草枯萎型； (4) 有"新牛加入、部分牛离开"中途变化； (5) 变形题：水池进水排水、检票口排队（同模型，属于牛吃草类比题）。 5. 解题步骤（固定四步） (1) 统一单位：1头牛1天吃1份草； (2) 根据两组条件，计算每天新增草量； (3) 计算草地原有草量； (4) 根据问题，分开处理新草和原有草，列式计算。 易错提醒： 不要直接用牛的头数相除，草一直在长，总量不是固定值； 计算原有草量，一定要减去这段时间新长的草； 草枯萎题型，草速算出来是负数，不要和生长型公式混用； 最终如果算出来不是整数，含义：最后一天不需要吃完整一天。 例题讲解 【典型例题1】基础生长型：求吃完需要多少天 一片草地，草匀速生长。如果10头牛吃，可以吃20天；15头牛吃，可以吃10天。那么25头牛，多少天可以吃完这片草？ 【跟踪训练1】 一片草地，草匀速生长。20头牛可以吃12天；24头牛可以吃8天。问14头牛，多少天吃完？ 【典型例题2】牛羊混合单位换算 一片牧场，草匀速生长。16头牛吃20天，或者80只羊吃12天。已知1头牛一天吃草量等于4只羊一天吃草量。这片草地可供10头牛与60只羊一起吃多少天？ 【跟踪训练2】 一片草地，草匀速生长。20头牛吃10天，64只羊吃14天，1头牛每天吃草等于4只羊每天吃草。问12头牛和48只羊一起吃，可以吃多少天？ 【典型例题3】草枯萎型（草不断减少） 冬天的一片草地，草每天匀速枯萎。20头牛吃，可以吃5天；16头牛吃，可以吃6天。问11头牛可以吃多少天？ 【跟踪训练3】 冬季牧场，草每天匀速枯萎。30头牛吃8天；25头牛吃9天。那么多少头牛，可以吃10天？ 【典型例题4】中途有牛离开 一片草地，草匀速生长，原有草量120份，每天长草5份。一开始放20头牛吃草，吃了6天后，卖掉10头牛，剩下的牛还能吃多少天？ 【跟踪训练4】 一片草地，草匀速生长，原有草量90份，每天长草3份。放12头牛吃草，4天后，牵走6头牛，余下的牛还可以吃多少天？ 提升练习 第1题 一片草地，草匀速生长。14头牛可以吃30天，28头牛可以吃12天。那么21头牛，多少天可以吃完这片草地？ 第2题 一块牧场，草匀速生长。12头牛吃25天，24头牛吃10天。可供多少头牛吃20天？ 第3题 一片草地，草匀速生长。已知1头牛每日吃草量等于5只羊每日吃草量。20头牛吃10天，90只羊吃20天。16头牛和40只羊一起吃，可以吃多少天？ 第4题 冬季草场，草每天匀速枯萎。22头牛可吃5天，14头牛可吃8天。10头牛能吃多少天？ 第5题 一片草地，草匀速生长。原有草量160份，每天新长草4份。放养24头牛，吃5天后，牵走8头牛，剩下的牛还能吃多少天？ 第6题 一片草地，草匀速生长。18头牛吃15天，30头牛吃7天。如果要保证草永远吃不完，草地上最多可以放养多少头牛？ 第7题 水库持续匀速进水。打开6个排水闸，20小时排完；打开8个排水闸，10小时排完。如果打开12个排水闸，几小时可以排完？（每个闸每小时排水量相同，类比牛吃草） 第8题 车站检票口，排队的人匀速增加。开放3个检票口，40分钟检完；开放4个检票口，25分钟检完。开放6个检票口，多少分钟检完？（1个检票口1分钟检1份人） 第9题 一片草地，草匀速生长。25头牛吃16天，32头牛吃10天。可供多少头牛吃20天？ 第10题 冬季牧场，草匀速枯萎。32头牛吃6天，22头牛吃9天。多少头牛可以吃12天？ 第11题 一块草地，草匀速生长。15头牛吃24天，27头牛吃12天。30头牛可以吃多少天？ 第12题 一片草地，草匀速生长。已知2头牛吃草量等于7只羊吃草量。14头牛吃9天，42只羊吃12天。10头牛和21只羊一起吃，可以吃几天？ 第13题 原有草量220份，草每天长6份。放养28头牛，吃7天后，再新增10头牛，剩下草还能吃多少天？ 第14题 一片草地，草匀速生长。11头牛吃35天，19头牛吃15天。最多放养几头牛，草永远不会吃完？ 第15题 蓄水池匀速进水。开4个排水管，30小时排空；开6个排水管，15小时排空。开9个排水管，多久排空？ 第16题 草场草匀速枯萎。26头牛吃7天，18头牛吃10天。问34头牛可以吃多少天？ 第17题 一片草地，草匀速生长。22头牛吃14天，26头牛吃10天。若想8天吃完，需要多少头牛？ 第18题 车站检票，人匀速增加。5个口30分钟检完，7个口18分钟检完。想要10分钟检完，至少开几个检票口？ 第19题 一片草地，草匀速生长。13头牛吃28天，21头牛吃16天。17头牛可以吃多少天？ 第20题 一片牧场，草匀速生长。10头牛和15只羊吃12天；已知2头牛一天吃草等于5只羊一天吃草，20只羊单独吃可以吃30天。问14头牛可以吃多少天？ 模拟赛场 【奥数题1】有两片草地，大草地面积是小草地2倍。一群牛上午全部在大草地吃草，下午一半牛留在大草地，另一半去小草地。傍晚大草地吃完；小草地剩下一小块，这块地1头牛再吃1天刚好吃完。假设每头牛吃草速度相同，上、下午时间相等。这群牛一共有多少头？ 【奥数题2】一片草地，草匀速生长。如果放养25头牛，8天吃完；放养30头牛，6天吃完。现在先放若干头牛，吃4天后，撤走10头牛，剩下的牛又吃6天吃完。一开始放了多少头牛？ 【奥数题3】一片草地，草匀速生长。如果放养35头牛，6天吃完；放养20头牛，12天吃完。先放一批牛，吃3天后，新增10头牛，又吃4天吃完。最初放了多少头牛？ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第10讲 牛吃草问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 当你翻开这页讲义，或许会被“草在长、牛在吃”的动态场景困扰。但请记住，数学的魅力正在于从变化中寻找不变。“牛吃草”问题并非简单的算术，而是一场关于“存量”与“流量”的思维博弈。 本讲义将带你透过现象看本质：无论草是匀速生长还是冬日枯萎，无论牛群是中途增减还是牛羊混养，核心逻辑始终未变——即“原有草量 + 新增草量 = 总消耗量”。我们将从最基础的单位设定出发，通过四步固定解法，帮你建立清晰的解题框架；再逐步深入至水池排水、检票排队等类比题型，让你掌握举一反三的能力。 不要畏惧复杂的条件，试着将“新长的草”分配给特定的牛去处理，剩下的牛专心对付“原有的草”。这种“分而治之”的策略，不仅适用于奥数考场，更是解决生活中复杂问题的智慧钥匙。愿你在每一次推导中，都能感受到逻辑闭环带来的喜悦与自信。加油！ 考点梳理 1. 基本概念 原有草量：草地一开始就有的草，固定不变。 草生长速度：单位时间（一般是每天）新长出来的草量；草也可能枯萎（草速为负数）。 牛吃草速度：统一规定：1头牛1天吃的草为1份，这是牛吃草问题最常用的单位。 单位设定： 2. 核心公式（草匀速生长） 设：原有草量为，草每天生长量为，牛的头数为，时间为。 总吃掉草量 = 原有草量 + 这段时间新长的草 两个关键推导公式： (1) 草每天生长速度 (2) 原有草量 3. 两类基础题型 题型①：草匀速生长（最常考） 草地不断长新草。一部分牛专门吃每天新长出来的草（"幸运牛"），剩下的牛去吃原有老草；老草吃完，草地就吃光。 解题思路： ① 求每天长草量； ② 求原有草量； ③ 固定头牛专门吃新草；剩余牛吃原有草，求时间；或者已知时间，求一共可以放多少头牛。 题型②：草匀速枯萎（冷天，草每天减少） 草不会生长，反而每天在减少。 公式变形： 总草量 = 牛吃掉的草 + 这段时间自然枯萎掉的草。 4. 常见拓展题型 (1) 求可供多少头牛吃一定天数； (2) 已知牛的数量，求吃完草地需要多少天； (3) 草枯萎型； (4) 有"新牛加入、部分牛离开"中途变化； (5) 变形题：水池进水排水、检票口排队（同模型，属于牛吃草类比题）。 5. 解题步骤（固定四步） (1) 统一单位：1头牛1天吃1份草； (2) 根据两组条件，计算每天新增草量； (3) 计算草地原有草量； (4) 根据问题，分开处理新草和原有草，列式计算。 易错提醒： 不要直接用牛的头数相除，草一直在长，总量不是固定值； 计算原有草量，一定要减去这段时间新长的草； 草枯萎题型，草速算出来是负数，不要和生长型公式混用； 最终如果算出来不是整数，含义：最后一天不需要吃完整一天。 例题讲解 【典型例题1】基础生长型：求吃完需要多少天 一片草地，草匀速生长。如果10头牛吃，可以吃20天；15头牛吃，可以吃10天。那么25头牛，多少天可以吃完这片草？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草。 第一步：算出两组总草量 10头牛20天：份（原有草+20天新长草） 15头牛10天：份（原有草+10天新长草） 第二步：求每天长草量 时间差：天，草量差：份 每天新长草：份/天 第三步：求原有草量 份 第四步：分配牛。每天新长5份草，安排5头牛专门吃新草。 剩下牛：头，专门吃原有100份老草。 时间：（天） 【答案】5天 【跟踪训练1】 一片草地，草匀速生长。20头牛可以吃12天；24头牛可以吃8天。问14头牛，多少天吃完？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草。 份；份 时间差：天；草量差：份 每日长草：份/天 原有草量：份 12头牛吃新草，剩下头牛吃原有草。 时间：（天） 【答案】48天 【典型例题2】牛羊混合单位换算 一片牧场，草匀速生长。16头牛吃20天，或者80只羊吃12天。已知1头牛一天吃草量等于4只羊一天吃草量。这片草地可供10头牛与60只羊一起吃多少天？ 【详解】 先统一单位：4只羊=1头牛，全部换成牛。 80只羊 = 头牛；60只羊=头牛。 题目转化：16头牛吃20天，20头牛吃12天。求10+15=25头牛，可以吃几天。 份；份 时间差天，草差份 每日长草：份/天 原有草量：份 10头牛吃每天新长的10份草；剩余头牛吃原有草 时间：（天） 【答案】8天 【跟踪训练2】 一片草地，草匀速生长。20头牛吃10天，64只羊吃14天，1头牛每天吃草等于4只羊每天吃草。问12头牛和48只羊一起吃，可以吃多少天？ 【详解】 4只羊=1头牛，64只羊=头牛；48只羊=头牛 总牛数：头 20头牛10天：份 16头牛14天：份 时间差：天；草量差：份 每日长草：份/天 原有草量：份 安排6头牛专门吃每天新增6份草；剩下头牛吃原有草 天 【答案】天 【典型例题3】草枯萎型（草不断减少） 冬天的一片草地，草每天匀速枯萎。20头牛吃，可以吃5天；16头牛吃，可以吃6天。问11头牛可以吃多少天？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草。 份；份 时间多1天，总草量反而减少份。说明每天枯萎4份草。 原有总草量（没枯萎前）=牛吃掉的 + 这段时间枯萎的草 原有草量：份 现在11头牛，每天消耗：牛吃掉11份 + 自然枯萎4份，每天一共减少份草。 天数：（天） 【答案】8天 【跟踪训练3】 冬季牧场，草每天匀速枯萎。30头牛吃8天；25头牛吃9天。那么多少头牛，可以吃10天？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草。 份；份 时间差天，草差份，每天枯萎15份。 原有草量：份 10天，一共枯萎草：份 10天内牛能吃掉的总量：份 每天牛吃掉：头 【答案】21头 【典型例题4】中途有牛离开 一片草地，草匀速生长，原有草量120份，每天长草5份。一开始放20头牛吃草，吃了6天后，卖掉10头牛，剩下的牛还能吃多少天？ 【详解】 1牛1天吃1份。 前6天：20头牛，每天新长5份。 6天一共吃掉：份 6天新长草：份 6天后剩余草量：原有+新长−吃掉 = 份 卖掉10头，剩下10头牛。 每天新增5份草，10头牛每天消耗10份。 草地每天净减少草：份 剩余30份，天数：（天） 【答案】6天 【跟踪训练4】 一片草地，草匀速生长，原有草量90份，每天长草3份。放12头牛吃草，4天后，牵走6头牛，余下的牛还可以吃多少天？ 【详解】 1牛1天1份。 前4天吃掉：份 4天新长草：份 4天后剩余草量：份 牵走6头，剩余6头牛。每天消耗6份，新增3份，每天净消耗份。 天数：（天） 【答案】18天 提升练习 第1题 一片草地，草匀速生长。14头牛可以吃30天，28头牛可以吃12天。那么21头牛，多少天可以吃完这片草地？ 【详解】 总草量1：份（原草+30天新草） 总草量2：份（原草+12天新草） 时间差：天，草量差：份 每天长草量：份 原有草量：份 安排头牛吃每天新长草；剩余牛：头 天数：天 【答案】天 第2题 一块牧场，草匀速生长。12头牛吃25天，24头牛吃10天。可供多少头牛吃20天？ 【详解】 ； 时间差天，草差份 每日长草：份 原有草：份 20天，新长草：份 总草量：份 牛数量：头 【答案】14头 第3题 一片草地，草匀速生长。已知1头牛每日吃草量等于5只羊每日吃草量。20头牛吃10天，90只羊吃20天。16头牛和40只羊一起吃，可以吃多少天？ 【详解】 5只羊=1头牛，90只羊=头牛；40只羊=头牛 总牛数：头 ； 时间差天，草差份 每日长草：份 原有草：份 16头牛吃新草，剩余头吃原有草 天数：天 【答案】5天 第4题 冬季草场，草每天匀速枯萎。22头牛可吃5天，14头牛可吃8天。10头牛能吃多少天？ 【详解】 份；份 时间差天，草量差份，每天枯萎：份 原有草量 = 牛吃掉 + 枯萎的草：份 10头牛，每天总消耗：份 天数：天 【答案】天 第5题 一片草地，草匀速生长。原有草量160份，每天新长草4份。放养24头牛，吃5天后，牵走8头牛，剩下的牛还能吃多少天？ 【详解】 前5天吃掉：份；5天新长：份 剩余草：份 剩下牛：头 每天新增4份，每天净消耗份 天数：天 【答案】5天 第6题 一片草地，草匀速生长。18头牛吃15天，30头牛吃7天。如果要保证草永远吃不完，草地上最多可以放养多少头牛？ 【详解】 ； 时间差天，草差份 每日长草：份 想要草永远吃不完，牛每天吃草量不能超过每日长草量。最多放养7.5头，取整数最多7头。 【答案】7头 第7题 水库持续匀速进水。打开6个排水闸，20小时排完；打开8个排水闸，10小时排完。如果打开12个排水闸，几小时可以排完？（每个闸每小时排水量相同，类比牛吃草） 【详解】 设1个闸1小时排1份水。 ； 时间差小时，水量差份 每小时进水：份 原有存水：份 4个闸专门排新进的水；剩余个闸排原有水 时间：小时 【答案】5小时 第8题 车站检票口，排队的人匀速增加。开放3个检票口，40分钟检完；开放4个检票口，25分钟检完。开放6个检票口，多少分钟检完？（1个检票口1分钟检1份人） 【详解】 ； 时间差分钟，人数差 每分钟新增人数：份 原有排队人数：份 个检票口处理新增；剩余 时间：分钟 【答案】分钟 第9题 一片草地，草匀速生长。25头牛吃16天，32头牛吃10天。可供多少头牛吃20天？ 【详解】 ； 时间差天，草差份 每日长草：份 原有草：份 20天总草： 牛数量：，牛为整数，22头 【答案】22头 第10题 冬季牧场，草匀速枯萎。32头牛吃6天，22头牛吃9天。多少头牛可以吃12天？ 【详解】 ； 时间差天，草差份，每天枯萎份 原有草：份 12天一共枯萎：份 牛吃掉总量：份 牛数：头 【答案】15头 第11题 一块草地，草匀速生长。15头牛吃24天，27头牛吃12天。30头牛可以吃多少天？ 【详解】 ； 时间差天，草差份 每日长草：份 原有草：份 3头牛吃新草；剩余头吃老草 天数：天 【答案】天 第12题 一片草地，草匀速生长。已知2头牛吃草量等于7只羊吃草量。14头牛吃9天，42只羊吃12天。10头牛和21只羊一起吃，可以吃几天？ 【详解】 2牛=7羊，1羊=牛；42羊=牛；21羊=6牛，合计牛 ； 时间差天，草差份，每日长草份 原有草：份 6头牛吃新草，剩余头，天数天 【答案】7.2天 第13题 原有草量220份，草每天长6份。放养28头牛，吃7天后，再新增10头牛，剩下草还能吃多少天？ 【详解】 前7天吃掉：；7天新长 剩余草：份 总牛数：头，每天净消耗份 天数：天 【答案】天 第14题 一片草地，草匀速生长。11头牛吃35天，19头牛吃15天。最多放养几头牛，草永远不会吃完？ 【详解】 ； 时间差，草差，每日长草份 最多5头牛 【答案】5头 第15题 蓄水池匀速进水。开4个排水管，30小时排空；开6个排水管，15小时排空。开9个排水管，多久排空？ 【详解】 设1闸1小时1份。， 时间差15小时，水量差30，每小时进水份 原有水：份 2个闸处理进水，剩余闸排原有水 时间：小时 【答案】小时 第16题 草场草匀速枯萎。26头牛吃7天，18头牛吃10天。问34头牛可以吃多少天？ 【详解】 ； 时间差3天，草差份，每天枯萎份 原有草：份 每天总消耗： 天数：天 【答案】天 第17题 一片草地，草匀速生长。22头牛吃14天，26头牛吃10天。若想8天吃完，需要多少头牛？ 【详解】 ； 时间差，草差，每日长草份 原有草：份 8天新草：，总草 牛数：，取30头 【答案】30头 第18题 车站检票，人匀速增加。5个口30分钟检完，7个口18分钟检完。想要10分钟检完，至少开几个检票口？ 【详解】 ， 时间差12分钟，人数差24，每分钟新增份 原有：份 10分钟新增：，总人数 检票口：个 【答案】11个 第19题 一片草地，草匀速生长。13头牛吃28天，21头牛吃16天。17头牛可以吃多少天？ 【详解】 ； 时间差，草差，每日长草份 原有草：份 头牛吃新草；剩余 天数：天 【答案】天 第20题 一片牧场，草匀速生长。10头牛和15只羊吃12天；已知2头牛一天吃草等于5只羊一天吃草，20只羊单独吃可以吃30天。问14头牛可以吃多少天？ 【详解】 2牛=5羊，1牛=2.5羊；10牛=25羊，10牛+15羊=40羊 设1羊1天吃1份。 40羊吃12天：；20羊吃30天： 时间差天，草差，每日长草份 原有草：份 14牛=只羊。 每天吃草35份，新增份，每天净消耗 天数：天 【答案】天 模拟赛场 【奥数题1】有两片草地，大草地面积是小草地2倍。一群牛上午全部在大草地吃草，下午一半牛留在大草地，另一半去小草地。傍晚大草地吃完；小草地剩下一小块，这块地1头牛再吃1天刚好吃完。假设每头牛吃草速度相同，上、下午时间相等。这群牛一共有多少头？ 【详解】 设总牛数头；半天看作1个单位时间，1头牛半天吃1份草。 上午：全部头牛在大草地，吃掉份； 下午：头牛留在大草地，吃掉份；大草地总量份。 小草地面积是大草地一半，小草地总草量：份。 下午另一半头牛到小草地，吃掉份；剩余小草地草量：。 剩余0.5x，1头牛吃1天（2个半天）吃完，1头牛2个半天吃2份。 ，解得。总牛数头。 【答案】8头 【奥数题2】一片草地，草匀速生长。如果放养25头牛，8天吃完；放养30头牛，6天吃完。现在先放若干头牛，吃4天后，撤走10头牛，剩下的牛又吃6天吃完。一开始放了多少头牛？ 【详解】 ； 时间差，草差，每日长草：份 原有草量：份 设一开始头牛。 前4天：份；后6天：份 总吃掉草 = 原有草 + 10天新长草 【答案】28头 【奥数题3】一片草地，草匀速生长。如果放养35头牛，6天吃完；放养20头牛，12天吃完。先放一批牛，吃3天后，新增10头牛，又吃4天吃完。最初放了多少头牛？ 【详解】 ； 时间差天，草量差份 每日长草：份 原有草量：份 设最初牛头。 总时间天，总新长草份，总草量份 前3天：吃掉；后4天牛是头，吃掉 【答案】25头 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $