第7讲 小数归一、归总问题进阶 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第7讲 小数归一、归总问题进阶 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础概念回顾 （1）归一问题 已知几组对应数量，先求出单一量（单位数量的数值，如单价、工效、速度、单产量等），再以单一量为标准，求出所求数量的问题。 核心公式： 延伸：； （2）归总问题 已知单一量和对应数量，先求出总数量（总量），再根据新的单一量或新的数量，求出对应份数的问题。 核心公式： 延伸：； 2. 进阶题型分类 （1）二次归一（双归一） 题目包含两个独立的数量维度（如 “台数 + 时间”“人数 + 天数”），需要连除两次才能得到最基本的单一量（如 “每台每小时产量”“每人每天工作量”）。 公式： （2）归一后归总 先通过已知条件求出单一量，再利用单一量计算新数量对应的总量，或新总量对应的数量。 流程：求单一量 → 算新总量 / 新数量 （3）归总后归一 先通过已知条件求出固定总量，再利用总量计算新单一量对应的份数，或新份数对应的单一量。 流程：求总数量 → 算新份数 / 新单一量 （4）差额归一 通过两组数量的差与对应总量的差，直接求出单一量，无需先算完整总量。 核心公式： 典型场景：购物盈亏、做工用料差、路程差等。 （5）隐藏条件归一归总 题目未直接说明 “单一量不变” 或 “总量不变”，但隐含该条件（如同速度行驶、同效率做工、同批货物等），需要先判断不变量再解题。 3. 解题通用步骤 ① 读题判断：确定不变量是单一量（归一）还是总量（归总）； ② 求基准量：归一用除法求单一量，归总用乘法求总量； ③ 对应求解：求总量用乘法，求数量用除法； ④ 验证结果：代入原题检验，确保小数计算准确。 例题讲解 【典型例题 1】二次归一（双归一） 3 台压路机 4.5 小时可以压路 16.2 公顷，照这样计算，1 台压路机 1 小时可以压路多少公顷？ 【跟踪训练 1】 4 台抽水机 2.5 小时可以抽水 12.5 吨，照这样计算，1 台抽水机 1 小时抽水多少吨？ 【典型例题 2】归一后归总 一辆汽车 0.8 小时行驶 48 千米，照这样的速度，它 1.5 小时可以行驶多少千米？ 【跟踪训练 2】 一台磨面机 0.6 小时磨面粉 2.4 吨，照这样计算，磨 12 吨面粉需要多少小时？ 【典型例题 3】差额归一 妈妈买苹果，买 2.5 千克还差 1.4 元，买 2 千克还剩 3.1 元。苹果每千克多少元？妈妈带了多少钱？ 【跟踪训练 3】 工厂生产零件，做 5 个零件比做 3 个零件多用钢材 2.4 千克。照这样计算，做 10 个零件需要多少千克钢材？ 【典型例题 4】归总后归一 一批货物，用载重 4.5 吨的卡车运，8 次刚好运完。如果改用载重 3.6 吨的卡车运，需要运多少次？ 【跟踪训练 4】 一本书，每天看 12.5 页，16 天可以看完。如果每天多看 7.5 页，多少天可以看完？ 【典型例题 5】复杂双归一 + 归总 5 台织布机 3.2 小时织布 240 米，照这样计算，8 台织布机织 600 米布需要多少小时？ 【跟踪训练 5】 3 个工人 2.5 小时加工零件 60 个，照这样计算，5 个工人加工 200 个零件需要多少小时？ 巩固练习 1. 2 台收割机 3.5 小时收割小麦 14.7 公顷，1 台收割机 1 小时收割多少公顷小麦？ 2. 一只蜜蜂 0.4 小时飞行 7.2 千米，照这样的速度，飞行 27 千米需要多少小时？ 3. 一堆煤，每天烧 1.2 吨，可以烧 30 天。如果每天烧 0.8 吨，可以烧多少天？ 4. 小丽买糖，买 3 千克水果糖还剩 2.8 元，买 4 千克水果糖还差 1.7 元。这种水果糖的单价是多少元？ 5. 4 台机床 5 小时生产零件 120 个，照这样计算，7 台机床 3.5 小时可以生产多少个零件？ 6. 工地运水泥，每车运 6.5 吨，12 车刚好运完。如果每车多运 1.5 吨，可以少运几车？ 7. 小明上山每小时走 2.5 千米，3.6 小时到达山顶。原路下山时每小时走 3 千米，下山需要多少小时？ 8. 加工同一种零件，师傅做 4 个比徒弟做 3 个多用钢材 0.8 千克。已知师傅每个零件用钢材 1.2 千克，徒弟每个零件用钢材多少千克？ 9. 3 头牛 4.5 天吃草 20.25 吨，照这样计算，5 头牛吃 37.5 吨草需要多少天？ 10. 一批纸，装订成每本 24 页的练习本，可以装订 50 本。如果装订成每本多 6 页的练习本，可以装订多少本？ 11. 一辆汽车从甲地开往乙地，去时速度 40 千米 / 时，2.4 小时到达。返回时速度提高 10 千米 / 时，返回需要多少小时？ 12. 学校买球，买 4 个足球和 2 个篮球共付 262.8 元，买 2 个足球和 2 个篮球共付 173.2 元。一个足球和一个篮球各多少元？ 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）3 台插秧机 2.4 小时插秧 1.8 公顷，照这样计算，1 台插秧机每小时插秧多少公顷？ 2.（希望杯六年级试题）一台榨油机 0.75 小时榨油 1.2 吨，照这样计算，榨 5 吨油需要多少小时？ 3.（小升初衔接题）一堆货物，每次运 3.6 吨，15 次可以运完。如果每次多运 0.9 吨，多少次可以运完？ 4.（华杯赛初赛）小明买铅笔，买 5 支还多 0.8 元，买 7 支还差 0.6 元。每支铅笔多少元？ 5.（苏教版培优题）2 个工人 3.5 小时加工零件 49 个，照这样计算，6 个工人加工 210 个零件需要多少小时？ 6.（重点中学分班考）一本书，每天看 18 页，10 天可以看完。如果每天多看 2 页，可以提前几天看完？ 7.（走美杯真题）修路队修一条公路，原计划每天修 2.4 千米，15 天修完。实际每天多修 0.6 千米，实际多少天修完？ 8.（六年级期末真题）4 头奶牛 5 天产奶 22.5 吨，照这样计算，8 头奶牛一星期（7 天）产奶多少吨？ 9.（希望杯模拟题）学校铺教室地面，用边长 0.6 米的方砖，需要 400 块。如果改用边长 0.8 米的方砖，需要多少块？ 10.（小升初真题）甲乙两地相距 120 千米，一辆汽车去时用了 2.5 小时，返回时速度提高了 0.2。返回需要多少小时？ 11.（华杯赛模拟题）食堂运来一批煤，计划每天烧 0.8 吨，可以烧 45 天。实际每天节约 0.2 吨，实际可以多烧多少天？ 12.（思维训练题）3 台车床 4 小时加工零件 180 个，照这样计算，增加 2 台车床，加工 450 个零件需要多少小时？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 小数归一、归总问题进阶 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础概念回顾 （1）归一问题 已知几组对应数量，先求出单一量（单位数量的数值，如单价、工效、速度、单产量等），再以单一量为标准，求出所求数量的问题。 核心公式： 延伸：； （2）归总问题 已知单一量和对应数量，先求出总数量（总量），再根据新的单一量或新的数量，求出对应份数的问题。 核心公式： 延伸：； 2. 进阶题型分类 （1）二次归一（双归一） 题目包含两个独立的数量维度（如 “台数 + 时间”“人数 + 天数”），需要连除两次才能得到最基本的单一量（如 “每台每小时产量”“每人每天工作量”）。 公式： （2）归一后归总 先通过已知条件求出单一量，再利用单一量计算新数量对应的总量，或新总量对应的数量。 流程：求单一量 → 算新总量 / 新数量 （3）归总后归一 先通过已知条件求出固定总量，再利用总量计算新单一量对应的份数，或新份数对应的单一量。 流程：求总数量 → 算新份数 / 新单一量 （4）差额归一 通过两组数量的差与对应总量的差，直接求出单一量，无需先算完整总量。 核心公式： 典型场景：购物盈亏、做工用料差、路程差等。 （5）隐藏条件归一归总 题目未直接说明 “单一量不变” 或 “总量不变”，但隐含该条件（如同速度行驶、同效率做工、同批货物等），需要先判断不变量再解题。 3. 解题通用步骤 ① 读题判断：确定不变量是单一量（归一）还是总量（归总）； ② 求基准量：归一用除法求单一量，归总用乘法求总量； ③ 对应求解：求总量用乘法，求数量用除法； ④ 验证结果：代入原题检验，确保小数计算准确。 例题讲解 【典型例题 1】二次归一（双归一） 3 台压路机 4.5 小时可以压路 16.2 公顷，照这样计算，1 台压路机 1 小时可以压路多少公顷？ 【分析】求 “每台每小时” 的压路量，包含台数和时间两个维度，属于双归一问题。用总公顷数先除以台数，得到 1 台 4.5 小时的压路量，再除以小时数，即可得到 1 台 1 小时的压路量，连续两次归一。 【详解】 1 台 4.5 小时压路：（公顷） 1 台 1 小时压路：（公顷） 综合算式：（公顷） 答：1 台压路机 1 小时可以压路 1.2 公顷。 【答案】公顷 【跟踪训练 1】 4 台抽水机 2.5 小时可以抽水 12.5 吨，照这样计算，1 台抽水机 1 小时抽水多少吨？ 【分析】双归一问题，总吨数连续除以台数和小时数；也可利用除法性质，先算总份数，再用总量相除。 【详解】 方法一：连除 （吨） 方法二：除法性质 （吨） 答：1 台抽水机 1 小时抽水 1.25 吨。 【答案】吨 【典型例题 2】归一后归总 一辆汽车 0.8 小时行驶 48 千米，照这样的速度，它 1.5 小时可以行驶多少千米？ 【分析】“照这样的速度” 说明速度不变，属于归一后归总问题。先根据路程 ÷ 时间求出速度（单一量），再用速度 × 新时间，得到新的路程总量。 【详解】 汽车速度：（千米 / 时） 1.5 小时行驶：（千米） 综合算式：（千米） 答：它 1.5 小时可以行驶 90 千米。 【答案】千米 【跟踪训练 2】 一台磨面机 0.6 小时磨面粉 2.4 吨，照这样计算，磨 12 吨面粉需要多少小时？ 【分析】先归一求出每小时磨面的重量（单一量），再用总重量 ÷ 单一量，得到需要的时间。 【详解】 每小时磨面：（吨 / 时） 需要时间：（小时） 综合算式：（小时） 答：磨 12 吨面粉需要 3 小时。 【答案】小时 【典型例题 3】差额归一 妈妈买苹果，买 2.5 千克还差 1.4 元，买 2 千克还剩 3.1 元。苹果每千克多少元？妈妈带了多少钱？ 【分析】两次购买的重量相差千克，对应的钱数相差 “差的 1.4 元 + 剩的 3.1 元”，重量差对应钱数差，用差额相除直接求出单价（单一量），再算总钱数。 【详解】 重量差：（千克） 钱数差：（元） 苹果单价：（元 / 千克） 妈妈带的钱：（元） 答：苹果每千克 9 元，妈妈带了 21.1 元。 【答案】单价元；带了元 【跟踪训练 3】 工厂生产零件，做 5 个零件比做 3 个零件多用钢材 2.4 千克。照这样计算，做 10 个零件需要多少千克钢材？ 【分析】零件数量相差个，钢材相差 2.4 千克，用差额除法求出每个零件的钢材用量，再乘 10 得到总量。 【详解】 每个零件用钢材：（千克） 10 个零件用钢材：（千克） 答：做 10 个零件需要 12 千克钢材。 【答案】千克 【典型例题 4】归总后归一 一批货物，用载重 4.5 吨的卡车运，8 次刚好运完。如果改用载重 3.6 吨的卡车运，需要运多少次？ 【分析】货物总重量不变，属于归总问题。先算总重量（总量），再用总重量 ÷ 新卡车载重，得到需要的次数。 【详解】 货物总重量：（吨） 需要次数：（次） 综合算式：（次） 答：需要运 10 次。 【答案】次 【跟踪训练 4】 一本书，每天看 12.5 页，16 天可以看完。如果每天多看 7.5 页，多少天可以看完？ 【分析】总页数不变，先归总求总页数，再算出新的每天看的页数，用总页数 ÷ 新速度得到天数。 【详解】 总页数：（页） 新速度：（页 / 天） 需要天数：（天） 答：10 天可以看完。 【答案】天 【典型例题 5】复杂双归一 + 归总 5 台织布机 3.2 小时织布 240 米，照这样计算，8 台织布机织 600 米布需要多少小时？ 【分析】先双归一求出每台每小时织布量（单一量），再算 8 台每小时的总效率，最后用总米数 ÷ 总效率得到时间。 【详解】 每台每小时织布：（米） 8 台每小时织布：（米） 需要时间：（小时） 答：需要 5 小时。 【答案】小时 【跟踪训练 5】 3 个工人 2.5 小时加工零件 60 个，照这样计算，5 个工人加工 200 个零件需要多少小时？ 【分析】先双归一求每人每小时加工数，再算 5 人总效率，最后用总量 ÷ 效率得时间。 【详解】 每人每小时加工：（个） 5 人每小时加工：（个） 需要时间：（小时） 答：需要 5 小时。 【答案】小时 巩固练习 1. 2 台收割机 3.5 小时收割小麦 14.7 公顷，1 台收割机 1 小时收割多少公顷小麦？ 【分析】双归一问题，总公顷数连续除以台数和时间。 【详解】 （公顷） 答：1 台收割机 1 小时收割 2.1 公顷小麦。 【答案】公顷 2. 一只蜜蜂 0.4 小时飞行 7.2 千米，照这样的速度，飞行 27 千米需要多少小时？ 【分析】先归一求速度，再用路程 ÷ 速度求时间。 【详解】 速度：（千米 / 时） 时间：（小时） 答：飞行 27 千米需要 1.5 小时。 【答案】小时 3. 一堆煤，每天烧 1.2 吨，可以烧 30 天。如果每天烧 0.8 吨，可以烧多少天？ 【分析】煤的总量不变，归总后归一，先算总吨数再除以每天烧的量。 【详解】 总吨数：（吨） 天数：（天） 答：可以烧 45 天。 【答案】天 4. 小丽买糖，买 3 千克水果糖还剩 2.8 元，买 4 千克水果糖还差 1.7 元。这种水果糖的单价是多少元？ 【分析】差额归一，重量差 1 千克对应钱数差元。 【详解】 重量差：（千克） 钱数差：（元） 单价：（元 / 千克） 答：水果糖的单价是 4.5 元 / 千克。 【答案】元 / 千克 5. 4 台机床 5 小时生产零件 120 个，照这样计算，7 台机床 3.5 小时可以生产多少个零件？ 【分析】先双归一求每台每小时产量，再算 7 台 3.5 小时的总量。 【详解】 每台每小时生产：（个） 7 台 3.5 小时生产：（个） 答：可以生产 147 个零件。 【答案】个 6. 工地运水泥，每车运 6.5 吨，12 车刚好运完。如果每车多运 1.5 吨，可以少运几车？ 【分析】先归总求总吨数，再算新载重量下的车数，最后求差。 【详解】 总吨数：（吨） 新载重量：（吨） 新车数：，需进一法取 10 车 少运：（车） 答：可以少运 2 车。 【答案】车 7. 小明上山每小时走 2.5 千米，3.6 小时到达山顶。原路下山时每小时走 3 千米，下山需要多少小时？ 【分析】路程不变，归总求上山路程，再除以下山速度得时间。 【详解】 上山路程：（千米） 下山时间：（小时） 答：下山需要 3 小时。 【答案】小时 8. 加工同一种零件，师傅做 4 个比徒弟做 3 个多用钢材 0.8 千克。已知师傅每个零件用钢材 1.2 千克，徒弟每个零件用钢材多少千克？ 【分析】先算师傅 4 个的总用料，减 0.8 得徒弟 3 个的用料，再除以 3 得徒弟单量。 【详解】 师傅 4 个用料：（千克） 徒弟 3 个用料：（千克） 徒弟每个用料：（千克） 答：徒弟每个零件约用钢材 1.33 千克。 【答案】约千克 9. 3 头牛 4.5 天吃草 20.25 吨，照这样计算，5 头牛吃 37.5 吨草需要多少天？ 【分析】先双归一求每头牛每天吃草量，再算 5 头牛每天吃草量，最后用总量 ÷ 日食量得天数。 【详解】 每头牛每天吃草：（吨） 5 头牛每天吃草：（吨） 需要天数：（天） 答：需要 5 天。 【答案】天 10. 一批纸，装订成每本 24 页的练习本，可以装订 50 本。如果装订成每本多 6 页的练习本，可以装订多少本？ 【分析】总页数不变，归总求总页数，再除以新的每本页数。 【详解】 总页数：（页） 新每本页数：（页） 本数：（本） 答：可以装订 40 本。 【答案】本 11. 一辆汽车从甲地开往乙地，去时速度 40 千米 / 时，2.4 小时到达。返回时速度提高 10 千米 / 时，返回需要多少小时？ 【分析】路程不变，先归总求甲乙距离，再除以返回速度。 【详解】 甲乙距离：（千米） 返回速度：（千米 / 时） 返回时间：（小时） 答：返回需要 1.92 小时。 【答案】小时 12. 学校买球，买 4 个足球和 2 个篮球共付 262.8 元，买 2 个足球和 2 个篮球共付 173.2 元。一个足球和一个篮球各多少元？ 【分析】差额归一，两组相差 2 个足球，对应钱数差就是 2 个足球的总价，先求足球单价，再求篮球单价。 【详解】 足球数量差：（个） 钱数差：（元） 足球单价：（元） 2 个篮球价格：（元） 篮球单价：（元） 答：一个足球 44.8 元，一个篮球 41.8 元。 【答案】足球元；篮球元 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）3 台插秧机 2.4 小时插秧 1.8 公顷，照这样计算，1 台插秧机每小时插秧多少公顷？ 【分析】双归一，连除台数和时间。 【详解】 （公顷） 答：1 台插秧机每小时插秧 0.25 公顷。 【答案】公顷 2.（希望杯六年级试题）一台榨油机 0.75 小时榨油 1.2 吨，照这样计算，榨 5 吨油需要多少小时？ 【分析】先归一求每小时榨油量，再用总量 ÷ 单一量求时间。 【详解】 每小时榨油：（吨 / 时） 时间：（小时） 答：榨 5 吨油需要 3.125 小时。 【答案】小时 3.（小升初衔接题）一堆货物，每次运 3.6 吨，15 次可以运完。如果每次多运 0.9 吨，多少次可以运完？ 【分析】归总求总吨数，再除以新的每次运量。 【详解】 总吨数：（吨） 新运量：（吨） 次数：（次） 答：12 次可以运完。 【答案】次 4.（华杯赛初赛）小明买铅笔，买 5 支还多 0.8 元，买 7 支还差 0.6 元。每支铅笔多少元？ 【分析】差额归一，相差 2 支铅笔对应元。 【详解】 数量差：（支） 钱数差：（元） 单价：（元） 答：每支铅笔 0.7 元。 【答案】元 5.（苏教版培优题）2 个工人 3.5 小时加工零件 49 个，照这样计算，6 个工人加工 210 个零件需要多少小时？ 【分析】先双归一求每人每小时加工数，再算 6 人效率，最后求时间。 【详解】 每人每小时加工：（个） 6 人每小时加工：（个） 时间：（小时） 答：需要 5 小时。 【答案】小时 6.（重点中学分班考）一本书，每天看 18 页，10 天可以看完。如果每天多看 2 页，可以提前几天看完？ 【分析】归总求总页数，再算新天数，最后求提前天数。 【详解】 总页数：（页） 新速度：（页 / 天） 新天数：（天） 提前：（天） 答：可以提前 1 天看完。 【答案】天 7.（走美杯真题）修路队修一条公路，原计划每天修 2.4 千米，15 天修完。实际每天多修 0.6 千米，实际多少天修完？ 【分析】总长度不变，归总后归一。 【详解】 总长：（千米） 实际每天修：（千米） 实际天数：（天） 答：实际 12 天修完。 【答案】天 8.（六年级期末真题）4 头奶牛 5 天产奶 22.5 吨，照这样计算，8 头奶牛一星期（7 天）产奶多少吨？ 【分析】双归一求每头每天产奶量，再算 8 头 7 天总量。 【详解】 每头每天产奶：（吨） 8 头 7 天产奶：（吨） 答：8 头奶牛一星期产奶 63 吨。 【答案】吨 9.（希望杯模拟题）学校铺教室地面，用边长 0.6 米的方砖，需要 400 块。如果改用边长 0.8 米的方砖，需要多少块？ 【分析】地面总面积不变，先归总算总面积，再除以新方砖面积。 【详解】 总面积：（平方米） 新方砖面积：（平方米） 块数：（块） 答：需要 225 块。 【答案】块 10.（小升初真题）甲乙两地相距 120 千米，一辆汽车去时用了 2.5 小时，返回时速度提高了 0.2。返回需要多少小时？ 【分析】先求出去时速度，再算返回速度，最后用路程 ÷ 速度求时间。 【详解】 去时速度：（千米 / 时） 返回速度：（千米 / 时） 返回时间：（小时） 答：返回约需要 2.08 小时。 【答案】约小时 11.（华杯赛模拟题）食堂运来一批煤，计划每天烧 0.8 吨，可以烧 45 天。实际每天节约 0.2 吨，实际可以多烧多少天？ 【分析】归总求总吨数，再算实际天数，最后求多烧的天数。 【详解】 总吨数：（吨） 实际每天烧：（吨） 实际天数：（天） 多烧：（天） 答：实际可以多烧 15 天。 【答案】天 12.（思维训练题）3 台车床 4 小时加工零件 180 个，照这样计算，增加 2 台车床，加工 450 个零件需要多少小时？ 【分析】先双归一求每台每小时产量，增加 2 台后共 5 台，算总效率，再求时间。 【详解】 每台每小时加工：（个） 总台数：（台） 5 台每小时加工：（个） 时间：（小时） 答：需要 6 小时。 【答案】小时 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $