第5讲 定义新运算（奥数培优讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

奥数培优讲义 第5讲 定义新运算 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 编写这份《定义新运算》培优专题，初衷并非引入晦涩难懂的复杂概念，而是希望为孩子们打开一扇通往“代数思维”的窗口。在六年级奥数体系中，定义新运算是连接算术与代数的关键桥梁，其核心魅力在于打破常规，考验学生对全新规则的快速理解与严格执行能力。 许多孩子初接触时，容易被陌生的符号（如※、△）迷惑，陷入寻找固有意义的误区。因此，我们从最基础的“读规则、代数字、算结果”三步法入手，层层递进。我们特别强调“位置敏感性”，无论是基础代入还是嵌套括号，必须严格区分前后顺序，因为新运算往往不满足交换律与结合律。这种对规则的敬畏与精准执行，不仅是解题技巧的提升，更是逻辑思维中“严谨性”的体现。 通过20道精选跟踪训练与3道高难度拔高题，涵盖规律推导与逆向求值，我们希望孩子们不仅能熟练应对各类题型，更能养成“先审题、后动笔”的良好习惯。愿你们在每一次符号的解码与公式的代入中，体会数学规则的秩序之美，建立从容应对未知挑战的自信。 考点梳理 1. 定义新运算核心概念 定义新运算：指题目人为规定一个从未学过的运算符号（如※、△、◎、☆等），并给定该符号专属的运算公式和计算规则，我们不需要深究符号的意义，只需要严格按照题目给定的规则，把数字代入公式计算即可。 常规新运算形式：用两个自然数a、b，定义 a☆b、a△b 等新式运算，运算结果为非负整数（本讲义所有题目均无负数结果）。 2. 核心解题步骤 第一步：读规则 仔细审题，找准新运算符号对应的计算公式，分清前后两个数的位置（新运算大多不满足交换律，a☆b 和 b☆a 结果一般不同，位置不能互换）。 第二步：代数字 将题目中给出的数字，对应替换公式中的字母a、b，列出常规四则运算算式。 第三步：算结果 按照四则运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内）计算，得出最终结果。 3. 重要运算性质（必考重点） （1）不满足交换律：绝大多数新运算，前后数字调换位置，结果会改变，必须严格对应位置代入； （2）不满足结合律：连算题型中有括号必须先算括号内部，不能随意去括号、改顺序； （3）所有新运算计算，最终结果均为自然数（0、正整数），本讲义全程规避负数结果。 4. 常见题型分类 基础代入型、分步嵌套型（带括号）、规律推导型、求未知数型 例题讲解 【典型例题1】基础代入型新运算 规定新运算：a△b = a×3 + b×2，其中a、b为自然数，计算：4△5 【详解】 根据题目定义的新运算规则：a△b = a×3 + b×2 本题中对应字母：a=4，b=5，将数字代入公式： 4△5 = 4×3 + 5×2 按照四则运算顺序，先算乘法：4×3=12，5×2=10 再算加法：12+10=22 【答案】22 【跟踪训练1】 规定新运算：a☆b = a×5 + b×1，计算：3☆6 【详解】 由新运算规则 a☆b = 5a + b，可得a=3，b=6 代入计算：3☆6 = 3×5 + 6 = 15 + 6 = 21 【答案】21 【典型例题2】区分顺序（无交换律）新运算 规定新运算：a※b = a×4 - b，计算：（1）6※2 （2）2※6 【详解】 新运算规则：前数×4 - 后数，数字位置不可调换 （1）计算6※2：a=6，b=2 6※2 = 6×4 - 2 = 24 - 2 = 22 （2）计算2※6：a=2，b=6 2※6 = 2×4 - 6 = 8 - 6 = 2 由此可见：6※2 ≠ 2※6，新运算不满足交换律 【答案】（1）22；（2）2 【跟踪训练2】 规定新运算：a◎b = a×6 - b，计算：（1）7※3 （2）3※7 【详解】 根据规则 a◎b=6a−b，分别代入计算： （1）7◎3 = 7×6 - 3 = 42 - 3 = 39 （2）3◎7 = 3×6 - 7 = 18 - 7 = 11 【答案】（1）39；（2）11 【典型例题3】嵌套括号型新运算（分步计算） 规定新运算：a△b = a×2 + b，计算：5△（3△4） 【详解】 新运算带括号，遵循先算括号内，再算括号外的规则，分步计算： 第一步：计算括号内 3△4，a=3，b=4 3△4 = 3×2 + 4 = 6 + 4 = 10 第二步：将结果代入原式，计算 5△10，a=5，b=10 5△10 = 5×2 + 10 = 10 + 10 = 20 【答案】20 【跟踪训练3】 规定新运算：a☆b = a×3 + b，计算：4☆（2☆5） 【详解】 分步计算，先算括号内部： 第一步：2☆5 = 2×3 + 5 = 6 + 5 = 11 第二步：计算4☆11 = 4×3 + 11 = 12 + 11 = 23 【答案】23 【典型例题4】规律定义型新运算 规定：1☆2=1+2，2☆3=2+3+4，3☆4=3+4+5+6，按照此规律，计算4☆3 【详解】 先观察规律：a☆b 表示从数字a开始，连续累加b个自然数 验证规律：1☆2：从1开始，加2个数（1、2）；2☆3：从2开始，加3个数（2、3、4） 因此4☆3：从4开始，连续累加3个自然数：4、5、6 计算：4+5+6=15 【答案】15 【跟踪训练4】 根据例题4的规律（a☆b表示从a开始连续加b个自然数），计算5☆4 【详解】 由规律可知，5☆4表示从5开始，连续累加4个自然数：5、6、7、8 列式计算：5+6+7+8=26 【答案】26 【典型例题5】求未知数型新运算 规定新运算：a◎b = a×2 + b×3，已知 x◎4 = 20，求x的值 【详解】 根据新运算规则，将x◎4代入公式： x◎4 = x×2 + 4×3 = 2x + 12 已知结果为20，可得等式：2x + 12 = 20 解方程：2x = 20 - 12，2x=8，x=4 【答案】x=4 【跟踪训练5】 规定新运算：a△b = a×3 + b×2，已知 y△5 = 31，求y的值 【详解】 代入运算规则：y△5 = 3y + 5×2 = 3y + 10 列等式：3y + 10 = 31 解方程：3y = 31 - 10，3y=21，y=7 【答案】y=7 提升练习 1. 规定：，计算 【详解】把代入式子 【答案】26 2. 规定：，计算 【详解】把代入式子 【答案】22 3. 规定：，计算 【详解】把代入式子 【答案】30 4. 规定：，分别计算（1） （2） 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）26；（2）23 5. 规定：，分别计算（1） （2） 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）45；（2）10 6. 规定：，计算 【详解】先算括号内： 再算外层： 【答案】40 7. 规定：，计算 【详解】括号内： 外层： 【答案】47 8. 规定：，计算 【详解】先算括号： 再算 【答案】31 9. 规定：，计算 【详解】括号内： 【答案】74 10. 规定： 表示从开始，连续个自然数相加。计算 【详解】从 3 开始，连续 5 个数：3，4，5，6，7 【答案】25 11. 规定： 表示从开始，连续个自然数相加。计算 【详解】从 6 开始连续 4 个数：6，7，8，9 【答案】30 12. 规定：，已知 ，求 【详解】代入规则： 【答案】 13. 规定：，已知 ，求 【详解】 【答案】 14. 规定：，已知 ，求 【详解】 【答案】 15. 规定：，计算 【详解】代入： 【答案】29 16. 规定：，计算 【详解】 【答案】30 17. 规定：，计算 【详解】 【答案】24 18. 规定：，计算 【详解】括号内： 【答案】107 19. 规定：，计算 【详解】 【答案】27 20. 规定：，计算 【详解】括号内： 【答案】69 模拟赛场 【奥数题1】规定：，，计算 【详解】 先分别算出两个括号： 再算 【答案】35 【奥数题2】定义：表示从开始，连续个自然数相加。如果 ，求 【详解】 ： 验证：，符合 【答案】 【奥数题3】规定：；。计算 【详解】 分步计算 【答案】120 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第5讲 定义新运算 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 编写这份《定义新运算》培优专题，初衷并非引入晦涩难懂的复杂概念，而是希望为孩子们打开一扇通往“代数思维”的窗口。在六年级奥数体系中，定义新运算是连接算术与代数的关键桥梁，其核心魅力在于打破常规，考验学生对全新规则的快速理解与严格执行能力。 许多孩子初接触时，容易被陌生的符号（如※、△）迷惑，陷入寻找固有意义的误区。因此，我们从最基础的“读规则、代数字、算结果”三步法入手，层层递进。我们特别强调“位置敏感性”，无论是基础代入还是嵌套括号，必须严格区分前后顺序，因为新运算往往不满足交换律与结合律。这种对规则的敬畏与精准执行，不仅是解题技巧的提升，更是逻辑思维中“严谨性”的体现。 通过20道精选跟踪训练与3道高难度拔高题，涵盖规律推导与逆向求值，我们希望孩子们不仅能熟练应对各类题型，更能养成“先审题、后动笔”的良好习惯。愿你们在每一次符号的解码与公式的代入中，体会数学规则的秩序之美，建立从容应对未知挑战的自信。 考点梳理 1. 定义新运算核心概念 定义新运算：指题目人为规定一个从未学过的运算符号（如※、△、◎、☆等），并给定该符号专属的运算公式和计算规则，我们不需要深究符号的意义，只需要严格按照题目给定的规则，把数字代入公式计算即可。 常规新运算形式：用两个自然数a、b，定义 a☆b、a△b 等新式运算，运算结果为非负整数（本讲义所有题目均无负数结果）。 2. 核心解题步骤 第一步：读规则 仔细审题，找准新运算符号对应的计算公式，分清前后两个数的位置（新运算大多不满足交换律，a☆b 和 b☆a 结果一般不同，位置不能互换）。 第二步：代数字 将题目中给出的数字，对应替换公式中的字母a、b，列出常规四则运算算式。 第三步：算结果 按照四则运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内）计算，得出最终结果。 3. 重要运算性质（必考重点） （1）不满足交换律：绝大多数新运算，前后数字调换位置，结果会改变，必须严格对应位置代入； （2）不满足结合律：连算题型中有括号必须先算括号内部，不能随意去括号、改顺序； （3）所有新运算计算，最终结果均为自然数（0、正整数），本讲义全程规避负数结果。 4. 常见题型分类 基础代入型、分步嵌套型（带括号）、规律推导型、求未知数型 例题讲解 【典型例题1】基础代入型新运算 规定新运算：a△b = a×3 + b×2，其中a、b为自然数，计算：4△5 【跟踪训练1】 规定新运算：a☆b = a×5 + b×1，计算：3☆6 【典型例题2】区分顺序（无交换律）新运算 规定新运算：a※b = a×4 - b，计算：（1）6※2 （2）2※6 【跟踪训练2】 规定新运算：a◎b = a×6 - b，计算：（1）7※3 （2）3※7 【典型例题3】嵌套括号型新运算（分步计算） 规定新运算：a△b = a×2 + b，计算：5△（3△4） 【跟踪训练3】 规定新运算：a☆b = a×3 + b，计算：4☆（2☆5） 【典型例题4】规律定义型新运算 规定：1☆2=1+2，2☆3=2+3+4，3☆4=3+4+5+6，按照此规律，计算4☆3 【跟踪训练4】 根据例题4的规律（a☆b表示从a开始连续加b个自然数），计算5☆4 【典型例题5】求未知数型新运算 规定新运算：a◎b = a×2 + b×3，已知 x◎4 = 20，求x的值 【跟踪训练5】 规定新运算：a△b = a×3 + b×2，已知 y△5 = 31，求y的值 提升练习 1. 规定：，计算 2. 规定：，计算 3. 规定：，计算 4. 规定：，分别计算（1） （2） 5. 规定：，分别计算（1） （2） 6. 规定：，计算 7. 规定：，计算 8. 规定：，计算 9. 规定：，计算 10. 规定： 表示从开始，连续个自然数相加。计算 11. 规定： 表示从开始，连续个自然数相加。计算 12. 规定：，已知 ，求 13. 规定：，已知 ，求 14. 规定：，已知 ，求 15. 规定：，计算 16. 规定：，计算 17. 规定：，计算 18. 规定：，计算 19. 规定：，计算 20. 规定：，计算 模拟赛场 【奥数题1】规定：，，计算 【奥数题2】定义：表示从开始，连续个自然数相加。如果 ，求 【奥数题3】规定：；。计算 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $